Топологии Уитни - Whitney topologies

В математике и особенно дифференциальная топология, функциональный анализ и теория сингулярности, то Топологии Уитни площадь счетно бесконечный семья топологии определен на множестве гладкие отображения между двумя гладкие многообразия. Они названы в честь американского математика. Хасслер Уитни.

Строительство

Позволять M и N - два вещественных гладких многообразия. Кроме того, пусть C (M,N) обозначают пространство гладких отображений между M и N. Обозначение C означает, что отображения бесконечно дифференцируемы, т.е. частные производные всех заказов существуют и непрерывный.[1]

Уитни Сk-топология

Для некоторых целое число k ≥ 0, пусть Jk(M,N) обозначают k-реактивное пространство сопоставлений между M и N. Пространство струи может быть наделено гладкой структурой (то есть структурой в виде C многообразие), которые превращают его в топологическое пространство. Эта топология используется для определения топологии на C(M,N).

За фиксированный целое число k ≥ 0 рассмотреть открытое подмножество U ⊂ Jk(M,N), и обозначим через Sk(U) следующее:

Наборы Sk(U) образуют основа для Уитни Сk-топология на C(M,N).[2]

Уитни С-топология

Для каждого выбора k ≥ 0, Whitney Ck-топология дает топологию для C(M,N); другими словами, Whitney Ck-топология сообщает нам, какие подмножества C(M,N) - открытые множества. Обозначим через Wk множество открытых подмножеств C(M,N) относительно Уитни Ck-топология. Тогда Уитни С-топология определяется как топология, основа дан кем-то W, куда:[2]

Размерность

Обратите внимание, что C(M,N) имеет бесконечную размерность, тогда как Jk(M,N) имеет конечную размерность. Фактически, Jk(M,N) - вещественное конечномерное многообразие. Чтобы увидеть это, позвольте k[Икс1,…,Иксм] обозначим пространство многочлены, с действительными коэффициентами, в м переменные порядка не более k и с нулем в качестве постоянного члена. Это настоящий векторное пространство с размером

Письмо а = dim {ℝk[Икс1,…,Иксм]} то по стандартной теории векторных пространств k[Икс1,…,Иксм] ≅ ℝа, как и реальное конечномерное многообразие. Затем определите:

С помощью б для обозначения размера Bkм,п, Мы видим, что Bkм,п ≅ ℝб, а также реальное конечномерное многообразие.

Фактически, если M и N иметь размер м и п соответственно тогда:[3]

Топология

Рассмотрим сюръективное отображение из пространства гладких отображений между гладкими многообразиями и k-реактивное пространство:

В Whitney Ck-топология открытых множеств в C(M,N) являются по определению прообразами открытых множеств в Jk(M,N). Отсюда следует, что отображение πk между C(M,N) с учетом Whitney Ck-топология и Jk(M,N) с учетом евклидовой топологии непрерывный.

Учитывая Whitney C-топология, пространство C(M,N) это Пространство Бэра, т.е. каждый остаточный набор является плотный.[4]

Рекомендации

  1. ^ Голубицкий, М.; Гийемен, В. (1974), Устойчивые отображения и их особенности, Springer, стр. 1, ISBN  0-387-90072-1
  2. ^ а б Голубицкий и Гийемен (1974), п. 42.
  3. ^ Голубицкий и Гийемен (1974), п. 40.
  4. ^ Голубицкий и Гийемен (1974), п. 44.