Топологии Уитни - Whitney topologies

В математике и особенно дифференциальная топология, функциональный анализ и теория сингулярности, то Топологии Уитни площадь счетно бесконечный семья топологии определен на множестве гладкие отображения между двумя гладкие многообразия. Они названы в честь американского математика. Хасслер Уитни.

Строительство

Позволять M и N - два вещественных гладких многообразия. Кроме того, пусть C^∞ (M,N) обозначают пространство гладких отображений между M и N. Обозначение C^∞ означает, что отображения бесконечно дифференцируемы, т.е. частные производные всех заказов существуют и непрерывный.^[1]

Уитни С^k-топология

Для некоторых целое число k ≥ 0, пусть J^k(M,N) обозначают k-реактивное пространство сопоставлений между M и N. Пространство струи может быть наделено гладкой структурой (то есть структурой в виде C^∞ многообразие), которые превращают его в топологическое пространство. Эта топология используется для определения топологии на C^∞(M,N).

За фиксированный целое число k ≥ 0 рассмотреть открытое подмножество U ⊂ J^k(M,N), и обозначим через S^k(U) следующее:

${\displaystyle S^{k}(U)=\{f\in C^{\infty }(M,N):(J^{k}f)(M)\subseteq U\}.}$

Наборы S^k(U) образуют основа для Уитни С^k-топология на C^∞(M,N).^[2]

Уитни С^∞-топология

Для каждого выбора k ≥ 0, Whitney C^k-топология дает топологию для C^∞(M,N); другими словами, Whitney C^k-топология сообщает нам, какие подмножества C^∞(M,N) - открытые множества. Обозначим через W^k множество открытых подмножеств C^∞(M,N) относительно Уитни C^k-топология. Тогда Уитни С^∞-топология определяется как топология, основа дан кем-то W, куда:^[2]

${\displaystyle W=\bigcup _{k=0}^{\infty }W^{k}.}$

Размерность

Обратите внимание, что C^∞(M,N) имеет бесконечную размерность, тогда как J^k(M,N) имеет конечную размерность. Фактически, J^k(M,N) - вещественное конечномерное многообразие. Чтобы увидеть это, позвольте ℝ^k[Икс₁,…,Икс_м] обозначим пространство многочлены, с действительными коэффициентами, в м переменные порядка не более k и с нулем в качестве постоянного члена. Это настоящий векторное пространство с размером

${\displaystyle \dim \left\{\mathbb {R} ^{k}[x_{1},\ldots ,x_{m}]\right\}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(m+i-1)!}{(m-1)!\cdot i!}}=\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}-1\right).}$

Письмо а = dim {ℝ^k[Икс₁,…,Икс_м]} то по стандартной теории векторных пространств ℝ^k[Икс₁,…,Икс_м] ≅ ℝ^а, как и реальное конечномерное многообразие. Затем определите:

${\displaystyle B_{m,n}^{k}=\bigoplus _{i=1}^{n}\mathbb {R} ^{k}[x_{1},\ldots ,x_{m}],\implies \dim \left\{B_{m,n}^{k}\right\}=n\dim \left\{A_{m}^{k}\right\}=n\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}-1\right).}$

С помощью б для обозначения размера B^k_м,п, Мы видим, что B^k_м,п ≅ ℝ^б, а также реальное конечномерное многообразие.

Фактически, если M и N иметь размер м и п соответственно тогда:^[3]

${\displaystyle \dim \!\left\{J^{k}(M,N)\right\}=m+n+\dim \!\left\{B_{n,m}^{k}\right\}=m+n\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}\right).}$

Топология

Рассмотрим сюръективное отображение из пространства гладких отображений между гладкими многообразиями и k-реактивное пространство:

${\displaystyle \pi ^{k}:C^{\infty }(M,N)\twoheadrightarrow J^{k}(M,N)\ {\mbox{where}}\ \pi ^{k}(f)=(j^{k}f)(M).}$

В Whitney C^k-топология открытых множеств в C^∞(M,N) являются по определению прообразами открытых множеств в J^k(M,N). Отсюда следует, что отображение π^k между C^∞(M,N) с учетом Whitney C^k-топология и J^k(M,N) с учетом евклидовой топологии непрерывный.

Учитывая Whitney C^∞-топология, пространство C^∞(M,N) это Пространство Бэра, т.е. каждый остаточный набор является плотный.^[4]

Рекомендации

1. Голубицкий, М.; Гийемен, В. (1974), Устойчивые отображения и их особенности, Springer, стр. 1, ISBN  0-387-90072-1
2. Голубицкий и Гийемен (1974), п. 42.
3. Голубицкий и Гийемен (1974), п. 40.
4. Голубицкий и Гийемен (1974), п. 44.