Gδ множество - Gδ set

В математической области топология, а грамм_δ набор это подмножество из топологическое пространство это счетный пересечение из открытые наборы. Обозначения возникли в Немецкий с грамм за Гебиет (Немецкий: область или окрестность), что в данном случае означает открытое множество, и δ для Durchschnitt (Немецкий: пересечение). Период, термин внутренний ограничивающий набор также используется. грамм_δ наборы и их двойственные, F_σ наборы, являются вторым уровнем Борелевская иерархия.

Определение

В топологическом пространстве a грамм_δ набор это счетный пересечение из открытые наборы. G_δ наборы точно уровня Π⁰
₂ наборы Борелевская иерархия.

Примеры

• Любое открытое множество тривиально является G_δ набор.
• В иррациональные числа являются G_δ установить в реальных числах р. Их можно записать как счетное пересечение открытых множеств {q}^c куда q является рациональный.
• Набор рациональных чисел Q является нет а G_δ установить в р. Если Q были пересечением открытых множеств А_п, каждый А_п было бы плотный в р потому что Q плотно в р. Однако приведенная выше конструкция дала иррациональные числа как счетное пересечение открытых плотных подмножеств. Пересечение обоих этих множеств дает пустой набор как счетное пересечение открытых плотных множеств в р, нарушение Теорема Бэра о категории.
• В набор непрерывности любой вещественнозначной функции является G_δ подмножество своего домена (см. раздел характеристики для более общего и полного утверждения).
• Нулевое множество производная всюду дифференцируемой вещественнозначной функции на р является G_δ набор; это может быть плотное множество с пустой внутренней частью, как показано Строительство Помпею.

Более сложный пример G_δ множество дается следующей теоремой:

Теорема: Набор ${\displaystyle D=\left\{f\in C([0,1]):f{\text{ is not differentiable at any point of }}[0,1]\right\}}$ содержит плотную G_δ подмножество метрического пространства ${\displaystyle C([0,1])}$. (Видеть Функция Вейерштрасса § Плотность нигде не дифференцируемых функций.)

Характеристики

Понятие G_δ устанавливается в метрика (и топологический ) пространств связано с понятием полнота метрического пространства, а также Теорема Бэра о категории. См. Результат о полностью метризуемых пространствах в списке свойств ниже.

${\displaystyle \mathrm {G_{\delta }} }$ наборы и их дополнения также важны в реальный анализ, особенно теория меры.

Основные свойства

• В дополнять группы G_δ набор является F_σ установить, и наоборот.
• Пересечение счетного числа G_δ множества - это G_δ набор.
• Союз конечно много G_δ множества - это G_δ набор.
• Счетное объединение G_δ множества (которые мы назвали бы G_δσ множество) не является G_δ поставил в общем. Например, рациональные числа Q не образуют G_δ установить в р.
• В топологическом пространстве нулевой набор каждой действительной непрерывной функции ${\displaystyle f}$ является G_δ установить, поскольку ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ является пересечением открытых множеств ${\displaystyle \{x\in X:-1/n<f(x)<1/n\}}$, ${\displaystyle (n=1,2,...)}$.
• В метризуемый пространство, каждый закрытый набор является G_δ множество и, соответственно, каждое открытое множество является F_σ набор.^[1] Действительно, замкнутое множество ${\displaystyle F\subseteq X}$ - нулевое множество непрерывной функции ${\displaystyle f(x)=d(x,F)}$, куда ${\displaystyle d}$ указывает на расстояние от точки до множества. То же самое и в псевдометризуемый пробелы.
• В первый счетный Т₁ Космос, каждый одиночка является G_δ набор.^[2]
• А подпространство А из полностью метризуемый Космос Икс сам по себе вполне метризуем тогда и только тогда, когда А является G_δ установить в Икс.^[3][4]

Следующие результаты относятся к Польские просторы:^[5]

• Позволять ${\displaystyle X}$ быть польским пространством. Тогда подмножество ${\displaystyle G\subseteq X}$ с топология подпространства польский тогда и только тогда, когда это G_δ установить в ${\displaystyle X}$.
• Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ польский тогда и только тогда, когда он гомеоморфный в G_δ подмножество компактный метрическое пространство.

Множество непрерывности действительных функций

Свойство ${\displaystyle \mathrm {G_{\delta }} }$ множеств состоит в том, что они - возможные множества, на которых функция из топологического пространства в метрическое пространство непрерывный. Формально: Множество точек, в которых такая функция ${\displaystyle f}$ является непрерывным ${\displaystyle \mathrm {G_{\delta }} }$ набор. Это потому, что непрерывность в точке ${\displaystyle p}$ можно определить как ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ формула, а именно: для всех положительных целых чисел ${\displaystyle n}$, есть открытый набор ${\displaystyle U}$ содержащий ${\displaystyle p}$ такой, что ${\displaystyle d(f(x),f(y))<1/n}$ для всех ${\displaystyle x,y}$ в ${\displaystyle U}$. Если значение ${\displaystyle n}$ фиксировано, набор ${\displaystyle p}$ для которого существует такое открытое ${\displaystyle U}$ сам по себе является открытым множеством (являющимся объединением открытых множеств), а универсальный квантор на ${\displaystyle n}$ соответствует (счетному) пересечению этих множеств. В реальной строке верно и обратное; для любого G_δ подмножество А реальной линии есть функция ж: р → р непрерывный ровно в точках А. Как следствие, хотя иррациональные числа могут быть множеством точек непрерывности функции (см. функция попкорна ), невозможно построить функцию, непрерывную только на рациональных числах.

грамм_δ Космос

А грамм_δ Космос^[6] топологическое пространство, в котором каждое закрытый набор является G_δ набор (Джонсон 1970 ). А нормальное пространство это тоже G_δ пространство называется совершенно нормально. Например, любое метризуемое пространство совершенно нормально.

Смотрите также

• F_σ набор, то двойной концепция; обратите внимание, что "G" - немецкий (Гебиет ), а "F" - французский (Fermé ).
• п-Космос, любое пространство, обладающее тем свойством, что каждое G_δ набор открыт

Примечания

1. Уиллард, 15С, стр. 105
2. https://math.stackexchange.com/questions/1882733
3. Уиллард, теорема 24.12, с. 179
4. Энгелькинг, теоремы 4.3.23 и 4.3.24 на с. 274. Из исторических заметок на с. 276, прямая импликация была показана в частном случае С. Мазуркевичем и в общем случае М. Лаврентьевым; обратная импликация была показана в частном случае П. Александровым и в общем случае Ф. Хаусдорфом.
5. Фремлин, стр. 334
6. Steen & Seebach, стр. 162

Рекомендации

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология. Heldermann Verlag, Берлин. ISBN  3-88538-006-4.
• Келли, Джон Л. (1955). Общая топология. ван Ностранд. п.134.
• Стин, Линн Артур; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии (Дувр переиздание 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-486-68735-3. МИСТЕР  0507446.
• Фремлин, Д.Х. (2003) [2003]. «4, Общая топология». Теория меры, том 4. Петербург, Англия: Логистика электронных книг. ISBN  0-9538129-4-4. Архивировано из оригинал 1 ноября 2010 г.. Получено 1 апреля 2011.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970], Общая топология (Дувр перепечатка изд. 1970 г.), Addison-Wesley
• Джонсон, Рой А. (1970). «Компактное неметризуемое пространство, в котором каждое замкнутое подмножество является G-дельтой». Американский математический ежемесячник. 77 (2): 172–176. Дои:10.2307/2317335. JSTOR  2317335.