Гомологии Хохшильда - Hochschild homology

В математика, Гомологии Хохшильда (и когомологии) это теория гомологии для ассоциативный алгебры над кольца. Существует также теория гомологии Хохшильда некоторых функторы. Когомологии Хохшильда были введены Герхард Хохшильд  (1945 ) для алгебр над поле, и распространен на алгебры над более общими кольцами посредством Анри Картан и Сэмюэл Эйленберг  (1956 ).

Определение гомологий Хохшильда алгебр

Позволять k быть полем, А ан ассоциативный k-алгебра, и M ан А-бимодуль. Обертывающая алгебра А тензорное произведение ${displaystyle A^{e}=Aotimes A^{o}}$ из А с этими противоположная алгебра. Бимодули над А по существу такие же, как модули над обертывающей алгеброй А, так в частности А и M можно рассматривать как А^е-модули. Картан и Эйленберг (1956) определила группу гомологий и когомологий Хохшильда А с коэффициентами в M с точки зрения Функтор Tor и Функтор Ext от

${displaystyle HH_{n}(A,M)=operatorname {Tor} _{n}^{A^{e}}(A,M)}$

${displaystyle HH^{n}(A,M)=operatorname {Ext} _{A^{e}}^{n}(A,M)}$

Комплекс Хохшильда

Позволять k быть кольцом, А ан ассоциативный k-алгебра это проективный k-модуль и M ан А-бимодуль. Мы напишем ${displaystyle A^{otimes n}}$ для п-сложить тензорное произведение из А над k. В цепной комплекс который порождает гомологии Хохшильда, задается формулой

${displaystyle C_{n}(A,M):=Motimes A^{otimes n}}$

с граничным оператором ${displaystyle d_{i}}$ определяется

${displaystyle {egin{aligned}d_{0}(motimes a_{1}otimes cdots otimes a_{n})&=ma_{1}otimes a_{2}cdots otimes a_{n}d_{i}(motimes a_{1}otimes cdots otimes a_{n})&=motimes a_{1}otimes cdots otimes a_{i}a_{i+1}otimes cdots otimes a_{n}d_{n}(motimes a_{1}otimes cdots otimes a_{n})&=a_{n}motimes a_{1}otimes cdots otimes a_{n-1}end{aligned}}}$

где ${displaystyle a_{i}}$ в А для всех ${displaystyle 1leq ileq n}$ и ${displaystyle min M}$. Если мы позволим

${displaystyle b=sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}d_{i},}$

тогда ${displaystyle bcirc b=0}$, так ${displaystyle (C_{n}(A,M),b)}$ это цепной комплекс называется Комплекс Хохшильда, а его гомология Гомологии Хохшильда из А с коэффициентами в M.

Замечание

Карты ${displaystyle d_{i}}$ находятся карты лица делая семью из модули ${displaystyle (C_{n}(A,M),b)}$ а симплициальный объект в категория из k-модули, т.е. функтор ∆^о → k-mod, где Δ - категория симплекс и k-mod - это категория k-модули. Здесь Δ^о это противоположная категория из Δ. В карты вырождения определены

${displaystyle s_{i}(a_{0}otimes cdots otimes a_{n})=a_{0}otimes cdots otimes a_{i}otimes 1otimes a_{i+1}otimes cdots otimes a_{n}.}$

Гомологии Хохшильда - это гомологии этого симплициального модуля.

Гомологии Хохшильда функторов

В симплициальный круг ${displaystyle S^{1}}$ симплициальный объект в категории ${displaystyle operatorname {Fin} _{*}}$ конечных отмеченных множеств, т.е. функтор ${displaystyle Delta ^{o} o operatorname {Fin} _{*}.}$ Таким образом, если F является функтором ${displaystyle Fcolon operatorname {Fin} o k-mathrm {mod} }$, мы получим симплициальный модуль, составив F с участием ${displaystyle S^{1}}$.

${displaystyle Delta ^{o}{overset {S^{1}}{longrightarrow }}operatorname {Fin} _{*}{overset {F}{longrightarrow }}k{ ext{-mod}}.}$

Гомологиями этого симплициального модуля является Гомологии Хохшильда функтора F. Приведенное выше определение гомологий Хохшильда коммутативных алгебр является частным случаем, когда F это Loday функтор.

Loday функтор

А скелет для категории конечных отмеченных множеств задаются объектами

${displaystyle n_{+}={0,1,ldots ,n},}$

где 0 - базовая точка, а морфизмы являются картами множества, сохраняющими базовую точку. Позволять А коммутативная k-алгебра и M быть симметричным А-бимодуль^{[требуется дальнейшее объяснение ]}. Функтор Лодея ${displaystyle L(A,M)}$ дается на объектах в ${displaystyle operatorname {Fin} _{*}}$ от

${displaystyle n_{+}mapsto Motimes A^{otimes n}.}$

Морфизм

${displaystyle f:m_{+} o n_{+}}$

отправляется на морфизм ${displaystyle f_{*}}$ данный

${displaystyle f_{*}(a_{0}otimes cdots otimes a_{n})=b_{0}otimes cdots otimes b_{m}}$

где

${displaystyle forall jin {0,ldots ,n}:qquad b_{j}={egin{cases}prod _{iin f^{-1}(j)}a_{i}&f^{-1}(j)eq emptyset 1&f^{-1}(j)=emptyset end{cases}}}$

Другое описание гомологий Хохшильда алгебр

Гомологии Хохшильда коммутативной алгебры А с коэффициентами в симметричной А-бимодуль M - гомологии, ассоциированные с композицией

${displaystyle Delta ^{o}{overset {S^{1}}{longrightarrow }}operatorname {Fin} _{*}{overset {{mathcal {L}}(A,M)}{longrightarrow }}k{ ext{-mod}},}$

и это определение согласуется с приведенным выше.

Топологические гомологии Хохшильда

Вышеупомянутая конструкция комплекса Хохшильда может быть адаптирована к более общим ситуациям, а именно путем замены категории (комплексов) k-модули ∞-категория (с тензорным произведением) C, и А ассоциативной алгеброй в этой категории. Применяя это к категории C = Sp из спектры, и А будучи Спектр Эйленберга – Маклейна связано с обычным кольцом р дает топологические гомологии Хохшильда, обозначается THH (р). (Нетопологические) гомологии Хохшильда, введенные выше, могут быть переинтерпретированы в этом направлении, взяв за C то производная категория из ${displaystyle mathbb {Z} }$-модули (как ∞-категория).

Замена тензорных произведений на сферический спектр тензорными произведениями над ${displaystyle mathbb {Z} }$ (или спектр Эйленберга – Маклейна ${displaystyle Hmathbb {Z} }$) приводит к естественной карте сравнения ${displaystyle THH(R) o HH(R)}$. Он индуцирует изоморфизм гомотопических групп в степенях 0, 1 и 2. В общем, однако, они разные, и THH имеет тенденцию давать более простые группы, чем HH. Например,

${displaystyle THH(mathbb {F} _{p})=mathbb {F} _{p}[x],}$

${displaystyle HH(mathbb {F} _{p})=mathbb {F} _{p}langle xangle }$

- кольцо многочленов (с Икс степени 2) по сравнению с кольцом разделенные полномочия в одной переменной.

Ларс Хессельхольт  (2016 ) показал, что Дзета-функция Хассе – Вейля гладкого правильного разнообразия над ${displaystyle mathbb {F} _{p}}$ можно выразить с помощью регуляризованные детерминанты с топологическими гомологиями Хохшильда.

Смотрите также

• Циклическая гомология

использованная литература

• Картан, Анри; Эйленберг, Самуэль (1956), Гомологическая алгебра, Принстонская математическая серия, 19, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-04991-5, Г-Н  0077480
• Говоров, В.Е .; Михалев, А. (2001) [1994], «Когомологии алгебр», Энциклопедия математики, EMS Press
• Хессельхольт, Ларс (2016), Топологические гомологии Хохшильда и дзета-функция Хассе-Вейля, arXiv:1602.01980, Bibcode:2016arXiv160201980H
• Хохшильд, Герхард (1945), "О группах когомологий ассоциативной алгебры", Анналы математики, Вторая серия, 46: 58–67, Дои:10.2307/1969145, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969145, Г-Н  0011076
• Жан-Луи Лоде, Циклические гомологии, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN  3-540-63074-0
• Ричард С. Пирс, Ассоциативные алгебры, Тексты для выпускников по математике (88), Springer, 1982.
• Пирашвили, Теймураз (2000). "Разложение Ходжа для гомологий Хохшильда более высокого порядка". Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure). 33 (2): 151–179. Дои:10.1016 / S0012-9593 (00) 00107-5.

внешние ссылки

• Дилан Г.Л. Аллегретти, Дифференциальные формы на некоммутативных пространствах.. Элементарное введение в некоммутативная геометрия который использует гомологии Хохшильда для обобщения дифференциальных форм).
• Когомологии Хохшильда в nLab