Скелет (теория категорий) - Skeleton (category theory)

Для использования в других целях см. Скелет (значения).

В математика, а скелет из категория это подкатегория что, грубо говоря, не содержит посторонних изоморфизмы. В определенном смысле костяк категории - это «наименьший» эквивалент категория, которая фиксирует все "категориальные свойства" оригинала. Фактически, две категории эквивалент если и только если у них есть изоморфный скелеты. Категория называется скелетный если изоморфные объекты обязательно идентичны.

Определение

Скелет категории C является эквивалентная категория D в котором никакие два различных объекта не изоморфны. Это обычно считается подкатегорией. В деталях скелет C это категория D такой, что:

• D это подкатегория из C: каждый объект D является объектом C

${\displaystyle \mathrm {Ob} (D)\subseteq \mathrm {Ob} (C)}$

для каждой пары объектов d₁ и d₂ из D, то морфизмы в D морфизмы в C, т.е.

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})\subseteq \mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2})}$

и идентичности и композиции в D ограничения тех, кто в C.

• Включение D в C является полный, что означает, что для каждой пары объектов d₁ и d₂ из D мы усиливаем указанное выше отношение подмножества до равенства:

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})=\mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2})}$

• Включение D в C является по существу сюръективный: Каждый C-объект изоморфен некоторому D-объект.
• D скелетный: нет двух разных D-объекты изоморфны.

Существование и уникальность

Это основной факт, что у каждой небольшой категории есть скелет; в более общем плане каждый доступная категория есть скелет. (Это эквивалентно аксиома выбора.) Кроме того, хотя в категории может быть много различных скелетов, любые два скелета являются изоморфны как категории, так вплоть до изоморфизм категорий, каркас категории уникальный.

Важность скелетов проистекает из того, что они (с точностью до изоморфизма категорий) являются каноническими представителями классов эквивалентности категорий при отношение эквивалентности из эквивалентность категорий. Это следует из того факта, что любой каркас категории C эквивалентно C, и что две категории эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют изоморфный скелет.

Примеры

• Категория Набор из всех наборы имеет подкатегорию всех Количественные числительные как скелет.
• Категория K-Vect из всех векторные пространства за фиксированный поле ${\displaystyle K}$ имеет подкатегорию, состоящую из всех степеней ${\displaystyle K^{(\alpha )}}$, куда α - любое кардинальное число, как скелет; для любого конечного м и п, карты ${\displaystyle K^{m}\to K^{n}}$ точно п × м матрицы с записями в K.
• FinSet, категория всех конечные множества имеет FinOrd, категория всех конечных порядковые номера, как скелет.
• Категория всех упорядоченные наборы имеет подкатегорию всех порядковые номера как скелет.
• А Предварительный заказ, т.е. небольшая категория такая, что для каждой пары объектов ${\displaystyle A,B}$, набор ${\displaystyle Hom(A,B)}$ либо имеет один элемент, либо пусто, имеет частично заказанный набор как скелет.

Смотрите также

• Глоссарий теории категорий
• Тонкая категория

Рекомендации

• Адамек, Иржи, Херрлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории. Первоначально опубликовано John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6. (теперь бесплатная онлайн-версия)
• Роберт Голдблатт (1984). Топои, категориальный анализ логики (Исследования по логике и основам математики, 98). Северная Голландия. Перепечатано в 2006 г. издательством Dover Publications.