Изоморфизм категорий - Isomorphism of categories - Wikipedia

В теория категорий, две категории C и D находятся изоморфный если есть функторы F : C → D и грамм : D → C которые взаимно обратны друг другу, т.е. FG = 1_D (функтор тождества на D) и GF = 1_C.^[1] Это означает, что как объекты и морфизмы из C и D стоять во взаимно-однозначном соответствии друг другу. Две изоморфные категории обладают всеми свойствами, которые определены исключительно в терминах теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями своих объектов и морфизмами.

Изоморфизм категорий - очень сильное условие, которое редко выполняется на практике. Гораздо важнее понятие эквивалентность категорий; грубо говоря, для эквивалентности категорий нам не требуется, чтобы ${\displaystyle FG}$ быть равный к ${\displaystyle 1_{D}}$, но только естественно изоморфный к ${\displaystyle 1_{D}}$, а также что ${\displaystyle GF}$ естественно изоморфен ${\displaystyle 1_{C}}$.

Характеристики

Как и любое понятие изоморфизм, мы имеем следующие общие свойства, формально похожие на отношение эквивалентности:

• любая категория C изоморфен себе
• если C изоморфен D, тогда D изоморфен C
• если C изоморфен D и D изоморфен E, тогда C изоморфен E.

Функтор F : C → D дает изоморфизм категорий тогда и только тогда, когда он биективный на объектах и ​​на наборы морфизма.^[1] Этот критерий может быть удобен тем, что избавляет от необходимости строить обратный функтор грамм. (Здесь мы неформально используем «взаимное соответствие», потому что, если категория не конкретный, у нас нет такого понятия.)

Примеры

• Рассмотрим конечный группа грамм, а поле k и групповая алгебра кг. Категория k-линейный групповые представления из грамм изоморфна категории левые модули над кг. Изоморфизм можно описать следующим образом: для представления группы ρ: грамм → GL (V), куда V это векторное пространство над k, GL (V) - группа его k-линейный автоморфизмы, а ρ - групповой гомоморфизм, мы поворачиваем V влево кг модуль путем определения

$${\displaystyle \left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)}$$

для каждого v в V и каждый элемент Σ а_грамм грамм в кг. И наоборот, при левом кг модуль M, тогда M это k векторное пространство и умножение на элемент грамм из грамм дает k-линейный автоморфизм M (поскольку грамм обратима в кг), который описывает гомоморфизм групп грамм → GL (M). (Есть еще несколько вещей, которые нужно проверить: оба эти присваивания являются функторами, то есть они могут применяться к отображениям между представлениями групп, соответственно. кг модулей, и они обратны друг другу как по объектам, так и по морфизму). Смотрите также Теория представлений конечных групп # Представления, модули и алгебра свертки.

• Каждый звенеть можно рассматривать как предаддитивная категория с одним объектом. В категория функторов из всех аддитивные функторы из этой категории в категория абелевых групп изоморфна категории левых модулей над кольцом.
• Другой изоморфизм категорий возникает в теории Булевы алгебры: категория булевых алгебр изоморфна категории Булевы кольца. Для булевой алгебры B, мы поворачиваем B в логическое кольцо с помощью симметричная разница как дополнение и встреча ${\displaystyle \land }$ как умножение. И наоборот, учитывая булево кольцо р, мы определяем операцию соединения как а${\displaystyle \lor }$б = а + б + ab, а операция встречи - как умножение. Опять же, оба эти присваивания могут быть расширены до морфизмов, чтобы получить функторы, и эти функторы обратны друг другу.
• Если C - категория с начальным объектом s, то категория срезов (s↓C) изоморфна C. Вдвойне, если т является конечным объектом в C, категория функторов (C↓т) изоморфна C. Аналогично, если 1 категория с одним объектом и только морфизмом его тождества (фактически, 1 это категория терминала ), и C - любая категория, то категория функторов C¹, с функторами объектов c: 1 → C, выбирая объект c∈Ob (C), а стрелки - естественные преобразования ж: c → d между этими функторами, выбирая морфизм ж: c → d в C, снова изоморфна C.

Смотрите также

• Эквивалентность категорий

Рекомендации

1. Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике. 5 (2-е изд.). Springer-Verlag. п. 14. ISBN  0-387-98403-8. МИСТЕР  1712872.