Логическое кольцо - Boolean ring

В математика, а Логическое кольцо р это звенеть для которого Икс2 = Икс для всех Икс в р,[1][2][3] то есть кольцо, состоящее только из идемпотентные элементы.[4][5] Примером может служить кольцо целые числа по модулю 2.

Каждое булево кольцо порождает Булева алгебра, с кольцевым умножением, соответствующим соединение или же встретить ∧, и добавление кольца к исключительная дизъюнкция или же симметричная разница (нет дизъюнкция ∨,[6] что составило бы полукольцо ). Булевы кольца названы в честь основателя булевой алгебры, Джордж Буль.

Обозначения

Существует как минимум четыре различных несовместимых системы обозначений булевых колец и алгебр:

  • В коммутативная алгебра стандартное обозначение - использовать Икс + у = (Икс ∧ ¬ у) ∨ (¬ Икс ∧ у) для кольцевой суммы Икс и у, и используйте ху = Икс ∧ у для своего продукта.
  • В логика, обычное обозначение - использовать Икс ∧ у для встречи (то же, что и кольцо) и используйте Икс ∨ у для соединения, заданного в терминах кольцевой нотации (приведенной чуть выше) Икс + у + ху.
  • В теория множеств и логику также часто используют Икс · у для встречи, и Икс + у для присоединения Икс ∨ у. Это использование + отличается от использования в теории колец.
  • Редкое соглашение - использовать ху для продукта и Икс ⊕ у для кольцевой суммы, чтобы избежать двусмысленности +.

Исторически термин «логическое кольцо» использовался для обозначения «логического кольца, возможно, без идентичности», а «булева алгебра» использовалась для обозначения логического кольца с идентичностью. Наличие тождества необходимо, чтобы рассматривать кольцо как алгебру над поле из двух элементов: иначе не может быть (унитального) кольцевого гомоморфизма поля двух элементов в булево кольцо. (Это то же самое, что и старое использование терминов «кольцо» и «алгебра» в теория меры.[а])

Примеры

Одним из примеров логического кольца является набор мощности любого набора Икс, где добавка в кольце симметричная разница, а умножение пересечение. В качестве другого примера мы также можем рассмотреть множество всех конечный или cofinite подмножества Икс, опять же с симметричной разностью и пересечением в качестве операций. В общем, с этими операциями любые поле наборов является булевым кольцом. К Теорема Стоуна о представлении всякое булево кольцо изоморфно поле наборов (рассматривается как кольцо с этими операциями).

Связь с булевыми алгебрами

Диаграммы Венна для булевых операций соединения, дизъюнкции и дополнения

Поскольку операция соединения ∨ в булевой алгебре часто записывается аддитивно, в этом контексте имеет смысл обозначать сложение колец символом, который часто используется для обозначения Эксклюзивный или.

Учитывая логическое кольцо р, за Икс и у в р мы можем определить

Икс ∧ у = ху,
Икс ∨ у = Икс ⊕ у ⊕ ху,
¬Икс = 1 ⊕ Икс.

Затем эти операции удовлетворяют всем аксиомам для встреч, объединений и дополнений в Булева алгебра. Таким образом, каждое булево кольцо становится булевой алгеброй. Точно так же каждая булева алгебра становится булевым кольцом таким образом:

ху = Икс ∧ у,
Икс ⊕ у = (Икс ∨ у) ∧ ¬(Икс ∧ у).

Если таким образом булево кольцо переводится в булеву алгебру, а затем булева алгебра преобразуется в кольцо, результатом является исходное кольцо. Аналогичный результат верен, начиная с булевой алгебры.

Карта между двумя логическими кольцами - это кольцевой гомоморфизм если и только если это гомоморфизм соответствующих булевых алгебр. Кроме того, подмножество булевого кольца является кольцо идеальное (идеал первичного кольца, максимальный идеал кольца) тогда и только тогда, когда он является заказать идеальный (идеал простого порядка, идеал максимального порядка) булевой алгебры. В кольцо частного булевого кольца по модулю идеала кольца соответствует фактор-алгебре соответствующей булевой алгебры по модулю соответствующего идеала порядка.

Свойства булевых колец

Каждое логическое кольцо р удовлетворяет Икс ⊕ Икс = 0 для всех Икс в р, потому что мы знаем

Икс ⊕ Икс = (Икс ⊕ Икс)2 = Икс2 ⊕ Икс2 ⊕ Икс2 ⊕ Икс2 = Икс ⊕ Икс ⊕ Икс ⊕ Икс

и с тех пор (р, ⊕) - абелева группа, можно вычесть Икс ⊕ Икс с обеих сторон этого уравнения, что дает Икс ⊕ Икс = 0. Аналогичное доказательство показывает, что каждое булево кольцо является коммутативный:

Икс ⊕ у = (Икс ⊕ у)2 = Икс2 ⊕ ху ⊕ yx ⊕ у2 = Икс ⊕ ху ⊕ yx ⊕ у

и это дает ху ⊕ yx = 0, что означает ху = yx (используя первое свойство выше).

Недвижимость Икс ⊕ Икс = 0 показывает, что любое булево кольцо является ассоциативная алгебра над поле F2 с двумя элементами точно одним способом. В частности, любое конечное булево кольцо имеет как мощность а сила двух. Не всякая ассоциативная алгебра с единицей над F2 является логическим кольцом: рассмотрим, например, кольцо многочленов F2[Икс].

Факторное кольцо р/я любого булевого кольца р по модулю любого идеала я снова является булевым кольцом. Точно так же любой подкольцо булевого кольца является булевым кольцом.

Любой локализация логического кольца р набором является булевым кольцом, поскольку каждый элемент в локализации идемпотентен.

Максимальное кольцо частных (в смысле Утуми и Ламбек ) булевого кольца р является булевым кольцом, поскольку каждый частичный эндоморфизм идемпотентен.[7]

Каждый главный идеал п в булевом кольце р является максимальный: the кольцо частного р/п является область целостности а также булево кольцо, поэтому оно изоморфно кольцу поле F2, что показывает максимальность п. Поскольку максимальные идеалы всегда первичны, простые идеалы и максимальные идеалы в булевых кольцах совпадают.

Булевы кольца регулярные кольца фон Неймана.

Булевы кольца абсолютно плоские: это означает, что каждый модуль над ними плоский.

Каждый конечно порожденный идеал булевого кольца есть главный (в самом деле, (Икс,у) = (Икс + у + ху)).

Объединение

Объединение в булевых кольцах разрешимый,[8] то есть существуют алгоритмы для решения произвольных уравнений над булевыми кольцами. И объединение, и согласование в конечно порожденный свободные булевы кольца НП-полный, и оба NP-жесткий в конечно представленный Булевы кольца.[9] (Фактически, как любая проблема объединения ж(Икс) = грамм(Икс) в булевом кольце можно переписать как задачу соответствия ж(Икс) + грамм(Икс) = 0, задачи эквивалентны.)

Объединение в булевых кольцах является унитарным, если все неинтерпретированные функциональные символы являются нулевыми, и финитными в противном случае (т.е. если все функциональные символы, не встречающиеся в сигнатуре булевых колец, являются константами, тогда существует самый общий объединитель, а в противном случае минимальная комплектация унификаторов конечно).[10]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Когда булево кольцо имеет тождество, на нем становится определяемой операция дополнения, и ключевая характеристика современных определений как булевой алгебры, так и сигма-алгебра в том, что у них есть дополнительные операции.

Рекомендации

  1. ^ Фрали (1976), п. 200)
  2. ^ Герштейн (1975, п. 130)
  3. ^ Маккой (1968), п. 46)
  4. ^ Фрали (1976), п. 25)
  5. ^ Герштейн (1975, п. 268)
  6. ^ https://math.stackexchange.com/q/1621618
  7. ^ Б. Брейнерд, Дж. Ламбек (1959). «О кольце частных булевого кольца». Канадский математический бюллетень. 2: 25–29. Дои:10.4153 / CMB-1959-006-x. Следствие 2.
  8. ^ Martin, U .; Нипков, Т. (1986). «Объединение в булевых кольцах». В Jörg H. Siekmann (ed.). Proc. 8-й CADE. LNCS. 230. Springer. С. 506–513. Дои:10.1007/3-540-16780-3_115. ISBN  978-3-540-16780-8.
  9. ^ Кандри-Роди, Абделила; Капур, Дипак; Нарендран, Палиат (1985). «Теоретико-идеальный подход к проблемам слов и проблемам объединения над конечно заданными коммутативными алгебрами». Методы и приложения перезаписи. Конспект лекций по информатике. 202. С. 345–364. Дои:10.1007/3-540-15976-2_17. ISBN  978-3-540-15976-6.
  10. ^ А. Буде; Ж.-П. Jouannaud; М. Шмидт-Шаус (1989). «Объединение булевых колец и абелевых групп». Журнал символических вычислений. 8 (5): 449–477. Дои:10.1016 / s0747-7171 (89) 80054-9.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка