Объединение (информатика) - Unification (computer science)

В логика и Информатика, объединение это алгоритмический процесс решение уравнений между символическими выражения.

В зависимости от того, какие выражения (также называемые термины) могут встречаться в наборе уравнений (также называемом проблема объединения), и какие выражения считаются равными, выделяют несколько рамок унификации. Если переменные более высокого порядка, то есть переменные, представляющие функции, разрешены в выражении, процесс называется объединение высшего порядка, в противном случае унификация первого порядка. Если требуется решение, чтобы сделать обе части каждого уравнения буквально равными, процесс называется синтаксический или свободное объединение, в противном случае семантический или уравнение унификации, или Электронная унификация, или унификация по модулю теории.

А решение задачи объединения обозначается как замена, то есть отображение, присваивающее символическое значение каждой переменной в выражениях задачи. Алгоритм унификации должен вычислять для данной проблемы полный, и минимальный набор подстановки, то есть набор, охватывающий все его решения и не содержащий лишних элементов. В зависимости от структуры полный и минимальный набор подстановок может иметь не более одного, не более конечного числа, или, возможно, бесконечно много членов, или может не существовать вовсе.^{[примечание 1][1]} В некоторых фреймворках вообще невозможно решить, существует ли какое-либо решение. Для синтаксической унификации первого порядка Мартелли и Монтанари^[2] предоставил алгоритм, который сообщает о неразрешимости или вычисляет полный и минимальный набор подстановок одиночных элементов, содержащий так называемые самый общий объединитель.

Например, используя Икс,у,z в качестве переменных набор одноэлементных уравнений { минусы (Икс,минусы(Икс,ноль )) = минусы(2,у)} - синтаксическая проблема объединения первого порядка, в которой есть замена { Икс ↦ 2, у ↦ минусы(2,ноль)} в качестве единственного решения. Синтаксическая проблема объединения первого порядка { у = минусы(2,у)} не имеет решения над множеством конечные сроки; однако у него есть единственное решение { у ↦ минусы(2,минусы(2,минусы(2, ...)))} по множеству бесконечные деревья.Проблема семантической унификации первого порядка { а⋅Икс = Икс⋅а } каждая подстановка имеет вид { Икс ↦ а⋅...⋅а } как решение в полугруппа, т.е. если (⋅) считается ассоциативный; та же проблема, рассматриваемая в абелева группа, где (⋅) рассматривается также коммутативный, имеет в качестве решения любую замену. Одноэлементное множество { а = у(Икс)} является синтаксической проблемой унификации второго порядка, поскольку у - функциональная переменная. Одно из решений: { Икс ↦ а, у ↦ (функция идентичности )}; еще один { у ↦ (постоянная функция сопоставление каждого значения с а), Икс ↦ (любое значение) }.

Алгоритм унификации был впервые обнаружен Жак Эрбранд,^[3][4][5] в то время как первое официальное расследование можно отнести к Джон Алан Робинсон,^[6][7] который использовал синтаксическую унификацию первого порядка в качестве основного строительного блока своей разрешающая способность процедура для логики первого порядка, большой шаг вперед в автоматическое рассуждение технология, поскольку она устранила один источник комбинаторного взрыва: поиск экземпляров терминов. Сегодня автоматическое рассуждение по-прежнему является основной прикладной областью унификации. Синтаксическая унификация первого порядка используется в логическое программирование и язык программирования система типов реализация, особенно в Хиндли-Милнер на основании вывод типа алгоритмов. Семантическая унификация используется в Решатели SMT, переписывание терминов алгоритмы и криптографический протокол Унификация более высокого порядка используется в помощниках доказательства, например Изабель и Двенадцать, и ограниченные формы унификации высшего порядка (унификация паттернов высшего порядка) используются в некоторых реализациях языков программирования, таких как lambdaProlog, поскольку паттерны более высокого порядка выразительны, но связанная с ними процедура унификации сохраняет теоретические свойства ближе к унификации первого порядка.

Общие формальные определения

Предпосылки

Формально унификационный подход предполагает

• Бесконечный набор ${\displaystyle V}$ из переменные. Для унификации высшего порядка удобно выбрать ${\displaystyle V}$ не пересекаются с множеством переменные, связанные с лямбда-членами.
• Множество ${\displaystyle T}$ из термины такой, что ${\displaystyle V\subseteq T}$. Для унификации первого и высшего порядка, ${\displaystyle T}$ обычно это набор условия первого порядка (термины, построенные из переменных и функциональных символов) и лямбда-термины (термы, содержащие некоторые переменные более высокого порядка) соответственно.
• Отображение варс: ${\displaystyle T\rightarrow }$ ℙ${\displaystyle (V)}$, присваивая каждому термину ${\displaystyle t}$ набор ${\displaystyle {\text{vars}}(t)\subsetneq V}$ из свободные переменные происходящий в ${\displaystyle t}$.
• An отношение эквивалентности ${\displaystyle \equiv }$ на ${\displaystyle T}$, указывая, какие термины считаются равными. Для унификации высшего порядка обычно ${\displaystyle t\equiv u}$ если ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle u}$ находятся альфа-эквивалент. Для электронного объединения первого порядка, ${\displaystyle \equiv }$ отражает базовые знания о некоторых функциональных символах; например, если ${\displaystyle \oplus }$ считается коммутативным, ${\displaystyle t\equiv u}$ если ${\displaystyle u}$ результаты из ${\displaystyle t}$ путем замены аргументов ${\displaystyle \oplus }$ в некоторых (возможно, во всех) случаях. ^{[заметка 2]} Если базовых знаний нет вообще, то одинаковые термины считаются равными только буквально или синтаксически; в этом случае называется свободная теория (потому что это свободный объект ), пустая теория (поскольку набор эквациональных фразы, или фоновые знания пусты), теория неинтерпретированные функции (поскольку унификация выполняется на неинтерпретируемых термины ), или теория конструкторы (потому что все функциональные символы просто создают термины данных, а не работают с ними).

Срок первого порядка

Основная статья: Срок (логика)

Учитывая набор ${\displaystyle V}$ переменных символов, набор ${\displaystyle C}$ постоянных символов и множеств ${\displaystyle F_{n}}$ из п-арные функциональные символы, также называемые символами операторов, для каждого натурального числа ${\displaystyle n\geq 1}$, набор (неотсортированных) терминов первого порядка ${\displaystyle T}$ является рекурсивно определенный как наименьший набор со следующими свойствами:^[8]

• каждый переменный символ - это термин: ${\displaystyle V\subseteq T}$,
• каждый постоянный символ - это термин: ${\displaystyle C\subseteq T}$,
• от каждого п термины ${\displaystyle t_{1},...t_{n}}$, и каждый псимвол функции ${\displaystyle f\in F_{n}}$, больший термин ${\displaystyle f(t_{1},...,t_{n})}$ можно построить.

Например, если ${\displaystyle x\in V}$ переменный символ, ${\displaystyle 1\in C}$ - постоянный символ, а ${\displaystyle {\text{add}}\in F_{2}}$ является двоичным функциональным символом, тогда ${\displaystyle x\in T,1\in T}$, и, следовательно) ${\displaystyle {\text{add}}(x,1)\in T}$ согласно правилу построения первого, второго и третьего сроков соответственно. Последний термин обычно записывается как ${\displaystyle x+1}$, с помощью инфиксная запись и более общий символ оператора + для удобства.

Член высшего порядка

Основная статья: Лямбда-исчисление

Замена

Основная статья: Подстановка (логика)

А замена это отображение ${\displaystyle \sigma :V\rightarrow T}$ от переменных к терминам; обозначение ${\displaystyle \{x_{1}\mapsto t_{1},...,x_{k}\mapsto t_{k}\}}$ относится к замене отображения каждой переменной ${\displaystyle x_{i}}$ к сроку ${\displaystyle t_{i}}$, для ${\displaystyle i=1,...,k}$, а все остальные переменные - к себе. Применение эта замена термину ${\displaystyle t}$ написано в постфиксная запись так как ${\displaystyle t\{x_{1}\mapsto t_{1},...,x_{k}\mapsto t_{k}\}}$; это означает (одновременно) заменять каждое вхождение каждой переменной ${\displaystyle x_{i}}$ в срок ${\displaystyle t}$ от ${\displaystyle t_{i}}$. Результат ${\displaystyle t\tau }$ применения замены ${\displaystyle \tau }$ к сроку ${\displaystyle t}$ называется пример этого срока ${\displaystyle t}$В качестве примера первого порядка, применяя замену { Икс ↦ час(а,у), z ↦ б } к сроку

	${\displaystyle f(}$	${\displaystyle {\textbf {x}}}$	${\displaystyle ,a,g(}$	${\displaystyle {\textbf {z}}}$	${\displaystyle ),y)}$
дает
	${\displaystyle f(}$	${\displaystyle {\textbf {h}}({\textbf {a}},{\textbf {y}})}$	${\displaystyle ,a,g(}$	${\displaystyle {\textbf {b}}}$	${\displaystyle ),y).}$

Обобщение, специализация

Если срок ${\displaystyle t}$ имеет экземпляр, эквивалентный термину ${\displaystyle u}$, то есть если ${\displaystyle t\sigma \equiv u}$ для некоторой замены ${\displaystyle \sigma }$, тогда ${\displaystyle t}$ называется более общий чем ${\displaystyle u}$, и ${\displaystyle u}$ называется более особенный чем, или включенный от, ${\displaystyle t}$. Например, ${\displaystyle x\oplus a}$ более общий, чем ${\displaystyle a\oplus b}$ если ⊕ коммутативный, с того времени ${\displaystyle (x\oplus a)\{x\mapsto b\}=b\oplus a\equiv a\oplus b}$.

Если ≡ является буквальным (синтаксическим) тождеством терминов, термин может быть как более общим, так и более специальным, чем другой, только если оба термина различаются только именами переменных, а не их синтаксической структурой; такие термины называются варианты, или переименование друг друга. Например, ${\displaystyle f(x_{1},a,g(z_{1}),y_{1})}$это вариант ${\displaystyle f(x_{2},a,g(z_{2}),y_{2})}$,поскольку

${\displaystyle f(x_{1},a,g(z_{1}),y_{1})\{x_{1}\mapsto x_{2},y_{1}\mapsto y_{2},z_{1}\mapsto z_{2}\}=f(x_{2},a,g(z_{2}),y_{2})}$

и

${\displaystyle f(x_{2},a,g(z_{2}),y_{2})\{x_{2}\mapsto x_{1},y_{2}\mapsto y_{1},z_{2}\mapsto z_{1}\}=f(x_{1},a,g(z_{1}),y_{1})}$.

Однако, ${\displaystyle f(x_{1},a,g(z_{1}),y_{1})}$ является не вариант ${\displaystyle f(x_{2},a,g(x_{2}),x_{2})}$, так как никакая замена не может преобразовать последний член в первый, поэтому последний член собственно более особенный, чем первый.

Для произвольных ${\displaystyle \equiv }$, термин может быть как более общим, так и более специальным, чем структурно другой термин. Например, если ⊕ идемпотент, то есть если всегда ${\displaystyle x\oplus x\equiv x}$, то член ${\displaystyle x\oplus y}$ более общий, чем ${\displaystyle z}$,^{[заметка 3]} и наоборот,^{[примечание 4]} несмотря на то что ${\displaystyle x\oplus y}$ и ${\displaystyle z}$ имеют разное строение.

Замена ${\displaystyle \sigma }$ является более особенный чем, или включенный на, замена ${\displaystyle \tau }$ если ${\displaystyle t\sigma }$ более особенный, чем ${\displaystyle t\tau }$ на каждый срок ${\displaystyle t}$. Мы также говорим, что ${\displaystyle \tau }$ более общий, чем ${\displaystyle \sigma }$.Например ${\displaystyle \{x\mapsto a,y\mapsto a\}}$ более особенный, чем ${\displaystyle \tau =\{x\mapsto y\}}$,но ${\displaystyle \sigma =\{x\mapsto a\}}$ нет, как ${\displaystyle f(x,y)\sigma =f(a,y)}$ не более особенный, чем${\displaystyle f(x,y)\tau =f(y,y)}$.^[9]

Проблема объединения, набор решений

А проблема объединения конечное множество { л₁ ≐ р₁, ..., л_п ≐ р_п } потенциальных уравнений, где л_я, р_я ∈ ТПодстановка σ является решение этой проблемы, если л_яσ ≡ р_яσ для ${\displaystyle i=1,...,n}$. Такую замену еще называют объединитель задачи объединения. Например, если ⊕ ассоциативный, проблема объединения { Икс ⊕ а ≐ а ⊕ Икс } имеет решения {Икс ↦ а}, {Икс ↦ а ⊕ а}, {Икс ↦ а ⊕ а ⊕ а} и т. д., а проблема { Икс ⊕ а ≐ а } не имеет решения.

Для данной задачи унификации множество S унификаторов называется полный если каждую замену решения заменить некоторой заменой σ ∈ S; набор S называется минимальный если ни один из его членов не включает другого.

Синтаксическая унификация терминов первого порядка

Принципиальная треугольная диаграмма синтаксически объединяющих терминов т₁ и т₂ заменой σ

Синтаксическая унификация терминов первого порядка является наиболее широко используемым фреймворком для унификации. Т будучи набором условия первого порядка (по некоторому заданному набору V переменных, C констант и F_п из п-арными функциональными символами) и на ≡ синтаксическое равенствоВ этом контексте каждая решаемая задача унификации {л₁ ≐ р₁, ..., л_п ≐ р_п} имеет полное и, очевидно, минимальное, одиночка набор решений {σ}.Его член σ называется самый общий объединитель (mguЧлены в левой и правой частях каждого потенциального уравнения становятся синтаксически равными при применении mgu, т.е. л₁σ = р₁σ ∧ ... ∧ л_пσ = р_пσ.Любой объединитель проблемы^{[примечание 5]} по МГУ σ.Mgu уникален до вариантов: если S₁ и S₂ являются полными и минимальными наборами решений одной и той же синтаксической проблемы унификации, то S₁ = { σ₁ } и S₂ = { σ₂ } для некоторых замен σ₁ и σ₂, и xσ₁ это вариант xσ₂ для каждой переменной Икс возникающие в проблеме.

Например, проблема объединения { Икс ≐ z, у ≐ ж(Икс)} имеет объединитель { Икс ↦ z, у ↦ ж(z) }, потому что

Икс	{ Икс ↦ z, у ↦ ж(z) }	=	z	=	z	{ Икс ↦ z, у ↦ ж(z) }	, и
у	{ Икс ↦ z, у ↦ ж(z) }	=	ж(z)	=	ж(Икс)	{ Икс ↦ z, у ↦ ж(z) }	.

Это также самый общий унификатор. Другие унификаторы для той же проблемы, например { Икс ↦ ж(Икс₁), у ↦ ж(ж(Икс₁)), z ↦ ж(Икс₁) }, { Икс ↦ ж(ж(Икс₁)), у ↦ ж(ж(ж(Икс₁))), z ↦ ж(ж(Икс₁)) }, и так далее; подобных объединителей бесконечно много.

Другой пример: проблема г(Икс,Икс) ≐ ж(у) не имеет решения относительно буквального тождества ≡, поскольку любая подстановка, применяемая к левой и правой части, сохранит самый внешний г и жсоответственно, а термины с разными внешними функциональными символами синтаксически различаются.

Алгоритм унификации

Алгоритм унификации Робинсона 1965 года

Символы упорядочены таким образом, что переменные предшествуют функциональным символам. Термины упорядочиваются по возрастанию длины записи; заказываются одинаково длительные сроки лексикографически.^[10] Для набора Т терминов, его путь несогласия п является лексикографически наименьшим путем, где два члена Т отличаются. Набор несогласий - это набор подтермы, начинающиеся с п, формально: { т|_п  : ${\displaystyle t\in T}$}.^[11]

Алгоритм:^[12]

Учитывая набор Т терминов, подлежащих унификации ${\displaystyle \sigma }$ изначально быть подмена идентичностиделать навсегда  если ${\displaystyle T\sigma }$ это одноэлементный набор тогда    вернуть ${\displaystyle \sigma }$  фи     позволять D быть набором разногласий ${\displaystyle T\sigma }$  позволять s, т быть двумя лексикографически наименьшими терминами в D    если s не переменная или s происходит в т тогда    вернуть "НЕОДНОРОДНЫЙ" фи   ${\displaystyle \sigma :=\sigma \{s\mapsto t\}}$сделанный

Первый алгоритм, данный Робинсоном (1965), был довольно неэффективным; ср. Следующий более быстрый алгоритм был разработан Мартелли, Монтанари (1982).^{[примечание 6]}В этой статье также перечислены предыдущие попытки найти эффективный алгоритм синтаксической унификации,^{[13][14][15][16][17][18]} и заявляет, что алгоритмы линейного времени были независимо открыты Мартелли, Монтанари (1976)^[15] и Патерсон, Вегман (1978).^{[16][примечание 7]}

Учитывая конечное множество ${\displaystyle G=\{s_{1}\doteq t_{1},...,s_{n}\doteq t_{n}\}}$ потенциальных уравнений алгоритм применяет правила для преобразования его в эквивалентную систему уравнений вида { Икс₁ ≐ ты₁, ..., Икс_м ≐ ты_м }где Икс₁, ..., Икс_м различные переменные и ты₁, ..., ты_м термины, не содержащие ни одного из Икс_я.Множество такой формы можно рассматривать как замену. Если решения нет, алгоритм завершается с; другие авторы используют "Ω", "{}" или "провал"в этом случае. Операция замены всех вхождений переменной Икс в проблеме г со сроком т обозначается г {Икс ↦ т}. Для простоты постоянные символы рассматриваются как функциональные символы, не имеющие аргументов.

${\displaystyle G\cup \{t\doteq t\}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle G}$		Удалить
${\displaystyle G\cup \{f(s_{0},...,s_{k})\doteq f(t_{0},...,t_{k})\}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle G\cup \{s_{0}\doteq t_{0},...,s_{k}\doteq t_{k}\}}$		разлагать
${\displaystyle G\cup \{f(s_{0},\ldots ,s_{k})\doteq g(t_{0},...,t_{m})\}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle \bot }$	если ${\displaystyle f\neq g}$ или ${\displaystyle k\neq m}$	конфликт
${\displaystyle G\cup \{f(s_{0},...,s_{k})\doteq x\}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle G\cup \{x\doteq f(s_{0},...,s_{k})\}}$		своп
${\displaystyle G\cup \{x\doteq t\}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle G\{x\mapsto t\}\cup \{x\doteq t\}}$	если ${\displaystyle x\not \in {\text{vars}}(t)}$ и ${\displaystyle x\in {\text{vars}}(G)}$	ликвидировать[примечание 8]
${\displaystyle G\cup \{x\doteq f(s_{0},...,s_{k})\}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle \bot }$	если ${\displaystyle x\in {\text{vars}}(f(s_{0},...,s_{k}))}$	проверять

Происходит проверка

Основная статья: Происходит проверка

Попытка унифицировать переменную Икс с термином, содержащим Икс как строгий подтермин Икс ≐ ж(..., Икс, ...) приведет к бесконечному члену в качестве решения для Икс, поскольку Икс будет возникать как подтерм самого себя. В наборе (конечных) членов первого порядка, как определено выше, уравнение Икс ≐ ж(..., Икс, ...) не имеет решения; следовательно ликвидировать правило может применяться только если Икс ∉ варс(тС той дополнительной проверки, которая называется происходит проверка, замедляет алгоритм, опускается, например в большинстве систем Prolog. С теоретической точки зрения пропуск проверки равносилен решению уравнений над бесконечными деревьями, см. ниже.

Доказательство расторжения

Для доказательства остановки алгоритма рассмотрим тройку ${\displaystyle \langle n_{var},n_{lhs},n_{eqn}\rangle }$где п_вар это количество переменных, которые встречаются в наборе уравнений более одного раза, п_lhs - количество функциональных символов и констант в левых частях потенциальных уравнений, а п_{уравнение} - количество уравнений. ликвидировать применены, п_вар уменьшается, поскольку Икс исключен из г и хранится только в { Икс ≐ т }. Применение любого другого правила никогда не может увеличить п_вар снова. Когда правило разлагать, конфликт, или своп применены, п_lhs уменьшается, так как по крайней мере крайняя левая сторона ж исчезает. Применив любое из оставшихся правил Удалить или проверять не может увеличиваться п_lhs, но уменьшается п_{уравнение}Следовательно, любое применение правила уменьшает тройное ${\displaystyle \langle n_{var},n_{lhs},n_{eqn}\rangle }$ с уважением к лексикографический порядок, что возможно только конечное число раз.

Конор МакБрайд наблюдает^[19] что «выражая структуру, которую использует объединение» в зависимо типизированный язык, такой как Эпиграмма, Робинсон алгоритм может быть сделан рекурсивный по количеству переменных, в этом случае отдельное доказательство прекращения становится ненужным.

Примеры синтаксической унификации терминов первого порядка

В синтаксическом соглашении Пролога символ, начинающийся с заглавной буквы, является именем переменной; символ, который начинается со строчной буквы, является функциональным символом; запятая используется как логическая и оператор. Для математической записи х, у, г используются как переменные, f, g как функциональные символы, и а, б как константы.

Обозначение Пролога	Математические обозначения	Объединяющая замена	Объяснение
а = а	{ а = а }	{}	Успешно. (тавтология )
а = б	{ а = б }	⊥	а и б не соответствовать
Х = Х	{ Икс = Икс }	{}	Успешно. (тавтология )
а = Х	{ а = Икс }	{ Икс ↦ а }	Икс объединяется с константой а
X = Y	{ Икс = у }	{ Икс ↦ у }	Икс и у имеют псевдоним
f (a, X) = f (a, b)	{ ж(а,Икс) = ж(а,б) }	{ Икс ↦ б }	функция и постоянные символы совпадают, Икс объединяется с константой б
f (а) = g (а)	{ ж(а) = г(а) }	⊥	ж и г не соответствовать
f (X) = f (Y)	{ ж(Икс) = ж(у) }	{ Икс ↦ у }	Икс и у имеют псевдоним
f (X) = g (Y)	{ ж(Икс) = г(у) }	⊥	ж и г не соответствовать
f (X) = f (Y, Z)	{ ж(Икс) = ж(у,z) }	⊥	Не получается. В ж функциональные символы имеют разную арность
f (g (X)) = f (Y)	{ ж(г(Икс)) = ж(у) }	{ у ↦ г(Икс) }	Унифицирует у со сроком ${\displaystyle g(x)}$
f (g (X), X) = f (Y, а)	{ ж(г(Икс),Икс) = ж(у,а) }	{ Икс ↦ а, у ↦ г(а) }	Унифицирует Икс с постоянным а, и у со сроком ${\displaystyle g(a)}$
Х = f (X)	{ Икс = ж(Икс) }	должно быть ⊥	Возвращает ⊥ в логике первого порядка и во многих современных диалектах Пролога (обеспечивается происходит проверка ). Преуспевает в традиционном Прологе и в Прологе II, объединяя Икс с бесконечным сроком х = е (е (е (е (...)))).
X = Y, Y = а	{ Икс = у, у = а }	{ Икс ↦ а, у ↦ а }	И то и другое Икс и у объединены с постоянной а
а = Y, X = Y	{ а = у, Икс = у }	{ Икс ↦ а, у ↦ а }	Как указано выше (порядок уравнений в системе не имеет значения)
Х = а, Ь = Х	{ Икс = а, б = Икс }	⊥	Не получается. а и б не совпадают, поэтому Икс не может быть объединен с обоими

Два члена с экспоненциально большим деревом для наименее распространенного экземпляра. это даг изображение (крайняя правая, оранжевая часть) по-прежнему имеет линейный размер.

Самый общий объединитель синтаксической проблемы унификации первого порядка размер п может иметь размер 2^п. Например, проблема ${\displaystyle (((a*z)*y)*x)*w\doteq w*(x*(y*(z*a)))}$ имеет самый общий объединитель ${\displaystyle z\mapsto a,y\mapsto a*a,x\mapsto (a*a)*(a*a),w\mapsto ((a*a)*(a*a))*((a*a)*(a*a))}$, ср. картина. Чтобы избежать экспоненциальной временной сложности, вызванной таким раздутием, передовые алгоритмы унификации работают над ориентированные ациклические графы (даги), а не деревья.^[20]

Применение: унификация в логическом программировании

Концепция унификации - одна из основных идей, лежащих в основе логическое программирование, наиболее известный на языке Пролог. Он представляет собой механизм привязки содержимого переменных и может рассматриваться как своего рода одноразовое присвоение. В Прологе эта операция обозначается символом равенства =, но это также делается при создании экземпляров переменных (см. ниже). Он также используется в других языках с помощью символа равенства =, но также в сочетании со многими операциями, включая +, -, *, /. Вывод типа алгоритмы обычно основаны на унификации.

В Прологе:

1. А переменная который не подтвержден, т.е. никаких предыдущих унификаций с ним не производилось - может быть объединено с атомом, термом или другой неустановленной переменной, таким образом, фактически становясь ее псевдонимом. Во многих современных диалектах Пролога и в логика первого порядка, переменная не может быть объединена с термином, который ее содержит; это так называемый происходит проверка.
2. Два атома могут быть объединены, только если они идентичны.
3. Точно так же термин может быть объединен с другим термином, если верхние функциональные символы и арности условий идентичны и если параметры могут быть унифицированы одновременно. Обратите внимание, что это рекурсивное поведение.

Применение: вывод типа

Унификация используется во время вывода типа, например, в функциональном языке программирования. Haskell. С одной стороны, программисту не нужно предоставлять информацию о типе для каждой функции, с другой стороны, она используется для обнаружения ошибок ввода. Выражение Haskell Верно: ['x', 'y', 'z'] неправильно набран. Функция построения списка (:) относится к типу а -> [а] -> [а], а для первого аргумента Правда переменная полиморфного типа а должен быть объединен с Правдатип, Bool. Второй аргумент, ['x', 'y', 'z'], имеет тип [Char], но а не может быть одновременно Bool и Char в то же время.

Как и в случае с Прологом, можно дать алгоритм вывода типов:

1. Любая переменная типа объединяется с любым выражением типа и создается для этого выражения. Конкретная теория может ограничить это правило проверкой на наличие событий.
2. Константы двух типов объединяются, только если они одного типа.
3. Конструкции двух типов объединяются, только если они являются приложениями конструктора одного и того же типа, и все их типы компонентов рекурсивно объединяются.

Из-за декларативного характера порядок в последовательности унификаций (обычно) не важен.

Обратите внимание, что в терминологии логика первого порядка, атом является основным утверждением и объединяется аналогично термину Пролога.

Унификация по порядку

Логика сортировки по порядку позволяет назначить Сортировать, или тип, каждому термину и объявить вид s₁ а подсортировка другого рода s₂, обычно пишется как s₁ ⊆ s₂. Например, рассуждая о биологических существах, полезно объявить сорт собака быть своего рода животное. Где бы термин какой-то s требуется, срок любой подвид s может быть предоставлен вместо этого. Например, при условии объявления функции мама: животное → животное, и постоянное объявление девушка: собака, период, термин мама(девушка) совершенно верно и имеет вид животное. Чтобы предоставить информацию о том, что мать собаки, в свою очередь, является собакой, другое заявление мама: собака → собака может быть выдан; это называется перегрузка функции, похожий на перегрузка в языках программирования.

Вальтер предоставил алгоритм объединения терминов в логику сортировки по порядку, требуя для любых двух объявленных сортов s₁, s₂ их пересечение s₁ ∩ s₂ быть объявлено тоже: если Икс₁ и Икс₂ это переменная вида s₁ и s₂соответственно уравнение Икс₁ ≐ Икс₂ имеет решение { Икс₁ = Икс, Икс₂ = Икс }, где Икс: s₁ ∩ s₂.^[21]После включения этого алгоритма в автоматическое средство доказательства теорем, основанное на предложениях, он мог решить задачу эталонного теста, переведя ее в логику упорядоченной сортировки, тем самым упорядочив ее по порядку величины, поскольку многие унарные предикаты превращались в сортировки.

Обобщенная логика Smolka с сортировкой по порядку, позволяющая параметрический полиморфизм.^[22]В его структуре объявления подсортировки распространяются на выражения сложных типов. В качестве примера программирования можно использовать параметрическую сортировку. список(Икс) могут быть объявлены (с Икс параметр типа, как в Шаблон C ++ ), и из объявления подсортировки int ⊆ плавать Соотношение список(int) ⊆ список(плавать) автоматически выводится, что означает, что каждый список целых чисел также является списком чисел с плавающей запятой.

Schmidt-Schauß обобщенная логика упорядоченной сортировки, позволяющая декларировать термины.^[23]В качестве примера, предполагая объявления подсортировки даже ⊆ int и странный ⊆ int, объявление термина, например ∀ я : int. (я + я) : даже позволяет объявить свойство целочисленного сложения, которое не может быть выражено обычной перегрузкой.

Объединение бесконечных сроков

Фон на бесконечных деревьях:

• Б. Курсель (1983). «Основные свойства бесконечных деревьев» (PDF). Теорет. Comput. Наука. 25 (2): 95–169. Дои:10.1016/0304-3975(83)90059-2. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-04-21. Получено 2013-06-28.
• Майкл Дж. Махер (июль 1988 г.). «Полная аксиоматизация алгебр конечных, рациональных и бесконечных деревьев». Proc. 3-й ежегодный симпозиум IEEE. по логике в компьютерных науках, Эдинбург. С. 348–357.
• Джоксан Джаффар; Питер Дж. Стаки (1986). "Семантика программирования с использованием бесконечной древовидной логики". Теоретическая информатика. 46: 141–158. Дои:10.1016/0304-3975(86)90027-7.

Алгоритм унификации, Пролог II:

• А. Колмерауэр (1982). К.Л. Кларк; С.-А. Тарнлунд (ред.). Пролог и бесконечные деревья. Академическая пресса.
• Ален Колмерауэр (1984). «Уравнения и неравенства на конечных и бесконечных деревьях». В ICOT (ред.). Proc. Int. Конф. по компьютерным системам пятого поколения. С. 85–99.

Приложения:

• Фрэнсис Джаннесини; Жак Коэн (1984). «Генерация синтаксического анализатора и манипулирование грамматикой с использованием бесконечных деревьев Пролога». J. Логическое программирование. 1 (3): 253–265. Дои:10.1016 / 0743-1066 (84) 90013-X.

Электронная унификация

Электронная унификация проблема поиска решений заданного набора уравнения с учетом некоторых эквациональных фоновых знаний EПоследний дан как набор универсальных равенства.Для некоторых конкретных наборов E, решение уравнения алгоритмы (a.k.a. Алгоритмы электронной унификации) были разработаны; для других было доказано, что такие алгоритмы не могут существовать.

Например, если а и б различные константы, уравнение ${\displaystyle x*a\doteq y*b}$ не имеет решения в отношении чисто синтаксическая унификация, где ничего не известно об операторе ${\displaystyle *}$Однако если ${\displaystyle *}$ как известно коммутативный, то замена {Икс ↦ б, у ↦ а} решает указанное выше уравнение, поскольку

	${\displaystyle x*a}$	{Икс ↦ б, у ↦ а}
=	${\displaystyle b*a}$		от заявление о замене
=	${\displaystyle a*b}$		коммутативностью ${\displaystyle *}$
=	${\displaystyle y*b}$	{Икс ↦ б, у ↦ а}	по (обратному) заявлению на замену

Базовые знания E может констатировать коммутативность ${\displaystyle *}$ всеобщим равенством "${\displaystyle u*v=v*u}$ для всех ты, v".

Частные базовые наборы знаний E

Используемые соглашения об именах

∀ ты,v,ш:	${\displaystyle u*(v*w)}$	=	${\displaystyle (u*v)*w}$	А	Ассоциативность ${\displaystyle *}$
∀ ты,v:	${\displaystyle u*v}$	=	${\displaystyle v*u}$	C	Коммутативность ${\displaystyle *}$
∀ ты,v,ш:	${\displaystyle u*(v+w)}$	=	${\displaystyle u*v+u*w}$	Dл	Левая распределенность ${\displaystyle *}$ над ${\displaystyle +}$
∀ ты,v,ш:	${\displaystyle (v+w)*u}$	=	${\displaystyle v*u+w*u}$	Dр	Правильная распределенность ${\displaystyle *}$ над ${\displaystyle +}$
∀ ты:	${\displaystyle u*u}$	=	ты	я	Идемпотентность ${\displaystyle *}$
∀ ты:	${\displaystyle n*u}$	=	ты	Nл	Левый нейтральный элемент п относительно ${\displaystyle *}$
∀ ты:	${\displaystyle u*n}$	=	ты	Nр	Правый нейтральный элемент п относительно ${\displaystyle *}$

Он сказал, что объединение разрешимо для теории, если для нее разработан алгоритм объединения, который завершается на Любые проблема ввода. Говорят, что объединение полуразрешимый для теории, если для нее разработан алгоритм объединения, который завершается при любом разрешимый проблема ввода, но может вечно искать решения неразрешимой проблемы ввода.

Объединение разрешимо для следующих теорий:

• А^[24]
• А,C^[25]
• А,C,я^[26]
• А,C,N_л^{[примечание 9][26]}
• А,я^[27]
• А,N_л,N_р (моноид)^[28]
• C^[29]
• Булевы кольца^[30][31]
• Абелевы группы, даже если подпись дополнена произвольными дополнительными символами (но не аксиомами)^[32]
• K4 модальные алгебры^[33]

Объединение полуразрешимо для следующих теорий:

• А,D_л,D_р^[34]
• А,C,D_л^{[примечание 9][35]}
• Коммутативные кольца^[32]

Односторонняя парамодуляция

Если есть конвергентная система переписывания терминов р доступны для E, то односторонняя парамодуляция алгоритм^[36]может использоваться для перечисления всех решений данных уравнений.

Правила односторонней парамодуляции

г ∪ { ж(s1,...,sп) ≐ ж(т1,...,тп) }	; S	⇒	г ∪ { s1 ≐ т1, ..., sп ≐ тп }	; S		разлагать
г ∪ { Икс ≐ т }	; S	⇒	г { Икс ↦ т }	; S{Икс↦т} ∪ {Икс↦т}	если переменная Икс не встречается в т	ликвидировать
г ∪ { ж(s1,...,sп) ≐ т }	; S	⇒	г ∪ { s1 ≐ ты1, ..., sп ≐ тып, р ≐ т }	; S	если ж(ты1,...,тып) → р это правило от р	мутировать
г ∪ { ж(s1,...,sп) ≐ у }	; S	⇒	г ∪ { s1 ≐ у1, ..., sп ≐ уп, у ≐ ж(у1,...,уп) }	; S	если у1,...,уп новые переменные	подражать

Начиная с г являясь проблемой объединения, которую необходимо решить, и S будучи заменой идентичности, правила применяются недетерминированно до тех пор, пока пустой набор не станет фактическим г, в этом случае фактическое S является объединяющей заменой. В зависимости от порядка применяются правила парамодуляции, от выбора фактического уравнения из г, и о выборе рПравила в мутироватьвозможны разные пути вычислений. Только некоторые приводят к решению, а другие заканчиваются г ≠ {}, если другие правила не применимы (например, г = { ж(...) ≐ г(...) }).

Пример системы перезаписи терминов р

1	приложение(ноль,z)	→ z
2	приложение(Икс.у,z)	→ Икс.приложение(у,z)

Например, система перезаписи терминов р используется для определения добавить оператор списков, построенных из минусы и ноль; где минусы(Икс,у) записывается в инфиксной записи как Икс.у для краткости; например приложение(а.б.ноль,c.d.ноль) → а.приложение(б.ноль,c.d.ноль) → а.б.приложение(ноль,c.d.ноль) → а.б.c.d.ноль демонстрирует объединение списков а.б.ноль и c.d.ноль, используя правило переписывания 2,2, и 1. Эквациональная теория E соответствующий р это закрытие конгруэнтности из р, оба рассматриваются как бинарные отношения в терминах. Например, приложение(а.б.ноль,c.d.ноль) ≡ а.б.c.d.ноль ≡ приложение(а.б.c.d.ноль,ноль). Алгоритм парамодуляции перечисляет решения уравнений относительно этого E когда кормят примером р.

Успешный пример вычислительного пути для задачи объединения { приложение(Икс,приложение(у,Икс)) ≐ а.а.ноль } показан ниже. Чтобы избежать конфликтов имен переменных, правила перезаписи последовательно переименовываются каждый раз перед их использованием правилом. мутировать; v₂, v₃, ... - имена переменных, сгенерированные компьютером для этой цели. В каждой строке выбранное уравнение из г выделен красным. Каждый раз мутировать правило применяется, выбранное правило перезаписи (1 или 2) указан в скобках. Из последней строки объединяющая подстановка S = { у ↦ ноль, Икс ↦ а.ноль } может быть получен. По факту,приложение(Икс,приложение(у,Икс)) {у↦ноль, Икс↦ а.ноль } = приложение(а.ноль,приложение(ноль,а.ноль)) ≡ приложение(а.ноль,а.ноль) ≡ а.приложение(ноль,а.ноль) ≡ а.а.ноль решает данную проблему. Второй успешный путь вычислений, который можно получить, выбрав «mutate (1), mutate (2), mutate (2), mutate (1)», приводит к замене S = { у ↦ а.а.ноль, Икс ↦ ноль }; здесь он не показан. Никакой другой путь не ведет к успеху.

Пример вычисления унификатора

Используемое правило		г	S
		{ приложение(Икс,приложение(у,Икс)) ≐ а.а.ноль }	{}
мутировать (2)	⇒	{ Икс ≐ v2.v3, приложение(у,Икс) ≐ v4, v2.приложение(v3,v4) ≐ а.а.ноль }	{}
разлагать	⇒	{ Икс ≐ v2.v3, приложение(у,Икс) ≐ v4, v2 ≐ а, приложение(v3,v4) ≐ а.ноль }	{}
ликвидировать	⇒	{ приложение(у,v2.v3) ≐ v4, v2 ≐ а, приложение(v3,v4) ≐ а.ноль }	{ Икс ↦ v2.v3 }
ликвидировать	⇒	{ приложение(у,а.v3) ≐ v4, приложение(v3,v4) ≐ а.ноль }	{ Икс ↦ а.v3 }
мутировать (1)	⇒	{ у ≐ ноль, а.v3 ≐ v5, v5 ≐ v4, приложение(v3,v4) ≐ а.ноль }	{ Икс ↦ а.v3 }
ликвидировать	⇒	{ у ≐ ноль, а.v3 ≐ v4, приложение(v3,v4) ≐ а.ноль }	{ Икс ↦ а.v3 }
ликвидировать	⇒	{ а.v3 ≐ v4, приложение(v3,v4) ≐ а.ноль }	{ у ↦ ноль, Икс ↦ а.v3 }
мутировать (1)	⇒	{ а.v3 ≐ v4, v3 ≐ ноль, v4 ≐ v6, v6 ≐ а.ноль }	{ у ↦ ноль, Икс ↦ а.v3 }
ликвидировать	⇒	{ а.v3 ≐ v4, v3 ≐ ноль, v4 ≐ а.ноль }	{ у ↦ ноль, Икс ↦ а.v3 }
ликвидировать	⇒	{ а.ноль ≐ v4, v4 ≐ а.ноль }	{ у ↦ ноль, Икс ↦ а.ноль }
ликвидировать	⇒	{ а.ноль ≐ а.ноль }	{ у ↦ ноль, Икс ↦ а.ноль }
разлагать	⇒	{ а ≐ а, ноль ≐ ноль }	{ у ↦ ноль, Икс ↦ а.ноль }
разлагать	⇒	{ ноль ≐ ноль }	{ у ↦ ноль, Икс ↦ а.ноль }
разлагать	⇒	{}	{ у ↦ ноль, Икс ↦ а.ноль }

Сужение

Треугольная диаграмма ступени сужения s ↝ т на позиции п в срок s, с объединяющей заменой σ (нижняя строка), используя правило перезаписи л → р (Верхний ряд)

Если р это конвергентная система переписывания терминов для E, подход, альтернативный предыдущему разделу, заключается в последовательном применении "сужающиеся шаги"; это в конечном итоге перечислит все решения данного уравнения. Шаг сужения (см. рисунок) состоит в

• выбор неизменяемого подтерма текущего термина,
• синтаксически объединяющий это с левой частью правила из р, и
• замена правой части созданного правила на конкретизированный термин.

Формально, если л → р это переименованная копия правила перезаписи из р, не имеющий общих переменных с термином s, а субтерм s|_п не является переменной и унифицируется с л через mgu σ, тогда s может быть суженный к сроку т = sσ[rσ]_п, т.е. на срок sσ, с субтермом на п заменены от rσ. Ситуация, которая s можно сузить до т обычно обозначается как s ↝ т.Интуитивно последовательность сужающихся шагов т₁ ↝ т₂ ↝ ... ↝ т_п можно представить себе как последовательность шагов перезаписи т₁ → т₂ → ... → т_п, но с начальным членом т₁ дорабатываются и создаются по мере необходимости, чтобы применить каждое из используемых правил.

В над пример вычисления парамодуляции соответствует следующей сужающейся последовательности (здесь "↓" указывает на создание экземпляра):

приложение(

Икс

,приложение(у,

Икс

))

↓

↓

Икс ↦ v2.v3

приложение(

v2.v3

,приложение(у,

v2.v3

))

→

v2.приложение(v3,приложение(

у

,v2.v3))

↓

у ↦ ноль

v2.приложение(v3,приложение(

ноль

,v2.v3))

→

v2.приложение(

v3

,v2.

v3

)

↓

↓

v3 ↦ ноль

v2.приложение(

ноль

,v2.

ноль

)

→

v2.v2.ноль

Последний срок, v₂.v₂.ноль может быть синтаксически унифицирован с исходным членом в правой части а.а.ноль.

В сужающая лемма^[37] гарантирует, что всякий раз, когда экземпляр термина s можно переписать на термин т с помощью конвергентной системы переписывания терминов, то s и т можно сузить и переписать на срок s’ и т’соответственно такие, что т’ это пример s’.

Формально: когда sσ →∗ т выполняется для некоторой подстановки σ, то существуют члены s’, т’ такой, что s ↝∗ s’ и т →∗ т’ и s’τ = т’ для некоторой замены τ.

Объединение высшего порядка

Во многих приложениях требуется рассмотреть объединение типизированных лямбда-терминов вместо терминов первого порядка. Такое объединение часто называют объединение высшего порядка. Хорошо изученной ветвью унификации высшего порядка является проблема унификации просто типизированных лямбда-членов по модулю равенства, определяемого преобразованиями αβη. У таких проблем унификации нет самых общих объединителей. В то время как объединение высшего порядка неразрешимый,^[38][39][40] Жерар Юэ дал полуразрешимый (предварительный) алгоритм унификации^[41] что позволяет проводить систематический поиск пространства объединителей (обобщая алгоритм объединения Мартелли-Монтанари^[2] с правилами для термов, содержащих переменные более высокого порядка), что, кажется, достаточно хорошо работает на практике. Huet^[42] и Жиль Довек^[43] написал статьи по этой теме.

Дейл Миллер описал то, что сейчас называется унификация паттернов высшего порядка.^[44] Это подмножество унификации высшего порядка разрешимо, и у разрешимых задач унификации есть унификаторы самого общего вида. Многие компьютерные системы, содержащие унификацию более высокого порядка, например, языки логического программирования высшего порядка. λProlog и Двенадцать, часто реализуют только фрагмент шаблона, а не полную унификацию более высокого порядка.

В компьютерной лингвистике одна из самых влиятельных теорий многоточие состоит в том, что эллипсы представлены свободными переменными, значения которых затем определяются с помощью унификации высшего порядка (HOU). Например, семантическое представление «Джону нравится Мэри, и Питер тоже» любить(j, м) ∧ R (п) а значение R (семантическое представление многоточия) определяется уравнением любить(j, м) = R (j) . Процесс решения таких уравнений называется объединением высшего порядка.^[45]

Например, проблема объединения { ж(а, б, а) ≐ d(б, а, c)}, где единственная переменная ж, имеет решения {ж ↦ λИкс.λу.λz.d(у, Икс, c) }, {ж ↦ λИкс.λу.λz.d(у, z, c) },{ж ↦ λИкс.λу.λz.d(у, а, c) }, {ж ↦ λИкс.λу.λz.d(б, Икс, c) },{ж ↦ λИкс.λу.λz.d(б, z, c) } и {ж ↦ λИкс.λу.λz.d(б, а, c) }.

Уэйн Снайдер дал обобщение как унификации высшего порядка, так и Е-унификации, то есть алгоритм для унификации лямбда-членов по модулю эквациональной теории.^[46]

Смотрите также

• Перезапись
• Допустимое правило
• Явная подстановка в лямбда-исчисление
• Математическая решение уравнения
• Разъединение: решение неравенств между символическими выражениями
• Анти-объединение: вычисление наименьшего общего обобщения (lgg) двух терминов, двойственное вычислению наиболее общего экземпляра (mgu)
• Выравнивание онтологий (используйте объединение с участием семантическая эквивалентность )

Заметки

1. в этом случае все еще существует полный набор подстановок (например, набор всех решений вообще); однако каждый такой набор содержит избыточные элементы.
2. Например. а ⊕ (б ⊕ ж(Икс)) ≡ а ⊕ (ж(Икс) ⊕ б) ≡ (б ⊕ ж(Икс)) ⊕ а ≡ (ж(Икс) ⊕ б) ⊕ а
3. поскольку ${\displaystyle (x\oplus y)\{x\mapsto z,y\mapsto z\}=z\oplus z\equiv z}$
4. поскольку z {z ↦ Икс ⊕ у} = Икс ⊕ у
5. формально: каждый объединитель τ удовлетворяет ∀Икс: xτ = (xσ)ρ для некоторой замены ρ
6. Алг.1, стр.261. Их правило (а) соответствует правилу своп Вот, (б) к Удалить, (c) как для разлагать и конфликт, и (г) как для ликвидировать и проверять.
7. См. Martelli, Montanari (1982),^[2] раздел 1, с.259. Статья Патерсона и Вегмана датирована 1978 годом; однако издательство журнала получило его в сентябре 1976 года.
8. Хотя правило соблюдается Икс ≐ т в г, он не может зацикливаться вечно, так как его предварительное условие Икс∈варс(г) признан недействительным своим первым применением. В общем, алгоритм всегда гарантированно завершается, см. ниже.
9. при наличии равенства C, равенства N_л и N_р эквивалентны, аналогичны для D_л и D_р

использованная литература

1. Фаж, Франсуа; Юэ, Жерар (1986). «Полные наборы объединителей и сопоставителей в теории уравнений». Теоретическая информатика. 43: 189–200. Дои:10.1016/0304-3975(86)90175-1.
2. Мартелли, Альберто; Монтанари, Уго (апрель 1982 г.). «Эффективный алгоритм объединения». ACM Trans. Программа. Lang. Syst. 4 (2): 258–282. Дои:10.1145/357162.357169. S2CID  10921306.
3. Ж. Эрбранд: Исследования по теории демонстрации. Travaux de la société des Sciences et des Lettres de Varsovie, Класс III, Математические и физические науки, 33, 1930.
4. Клаус-Питер Вирт; Йорг Зикманн; Кристоф Бензмюллер; Серж Аутексье (2009). Лекции о Жаке Эрбранде как логике (Отчет SEKI). DFKI. arXiv:0902.4682. Здесь: стр.56
5. Жак Эрбранд (1930). Поиски по теории демонстрации (PDF) (Кандидатская диссертация). А. 1252. Université de Paris. Здесь: с.96-97
6. J.A. Робинсон (январь 1965 г.). «Машинно-ориентированная логика, основанная на принципе разрешения». Журнал ACM. 12 (1): 23–41. Дои:10.1145/321250.321253. S2CID  14389185.; Здесь: раздел 5.8, стр.32
7. J.A. Робинсон (1971). «Вычислительная логика: объединение вычислений» (PDF). Машинный интеллект. 6: 63–72.
8. C.C. Чанг; Х. Джером Кейслер (1977). Модельная теория. Исследования по логике и основам математики. 73. Северная Голландия.; здесь: Раздел 1.3
9. K.R. Кв. «От логического программирования к Прологу», с. 24. Прентис Холл, 1997.
10. Робинсон (1965);^[6] №2.5, 2.14, стр.25
11. Робинсон (1965);^[6] №5.6, стр.32
12. Робинсон (1965);^[6] №5.8, стр.32
13. Льюис Денвер Бакстер (февраль 1976 г.). Практически линейный алгоритм унификации (PDF) (Рез. Отчет). CS-76-13. Univ. Ватерлоо, Онтарио.
14. Жерар Юэ (Сентябрь 1976 г.). Resolution d'Equations dans des Langages d'Ordre 1,2, ... ω (Эти d'etat). Парижский университет VII.
15. Альберто Мартелли и Уго Монтанари (июль 1976 г.). Объединение в линейном времени и пространстве: структурированная презентация (Внутреннее примечание). IEI-B76-16. Consiglio Nazionale delle Ricerche, Пиза.
16. Майкл Стюарт Патерсон и М. Wegman (апрель 1978 г.). «Линейное объединение». J. Comput. Syst. Наука. 16 (2): 158–167. Дои:10.1016/0022-0000(78)90043-0.
17. J.A. Робинсон (Январь 1976 г.). «Быстрое объединение». В Вудро В. Бледсо, Майкл М. Рихтер (ред.). Proc. Мастерская по доказательству теорем Обервольфах. Отчет о семинаре в Обервольфахе. 1976/3.
18. М. Вентурини-Зилли (октябрь 1975 г.). «Сложность алгоритма унификации выражений первого порядка». Calcolo. 12 (4): 361–372. Дои:10.1007 / BF02575754. S2CID  189789152.
19. Макбрайд, Конор (октябрь 2003 г.). «Объединение первого порядка с помощью структурной рекурсии». Журнал функционального программирования. 13 (6): 1061–1076. CiteSeerX  10.1.1.25.1516. Дои:10.1017 / S0956796803004957. ISSN  0956-7968. Получено 30 марта 2012.
20. например Патерсон, Вегман (1978),^[16] раздел 2, с.159
21. Вальтер, Кристоф (1985). "Механическое решение парового катка Шуберта с помощью многоуровневого разрешения" (PDF). Артиф. Intell. 26 (2): 217–224. Дои:10.1016/0004-3702(85)90029-3.
22. Смолка, Герт (ноябрь 1988 г.). Логическое программирование с типами, отсортированными по полиморфному порядку (PDF). Int. Практикум по алгебраическому и логическому программированию. LNCS. 343. Springer. С. 53–70. Дои:10.1007/3-540-50667-5_58.
23. Шмидт-Шаус, Манфред (апрель 1988 г.). Вычислительные аспекты упорядоченной логики с объявлениями термов. LNAI. 395. Springer.
24. Гордон Д. Плоткин, Теоретико-решеточные свойства допущения, Меморандум МИП-Р-77, Унив. Эдинбург, июнь 1970 г.
25. Марк Э. Стикель, Алгоритм объединения ассоциативно-коммутативных функций., J. Assoc. Comput. Mach., Т.28, №3, с. 423–434, 1981
26. Ф. Фагес, Ассоциативно-коммутативное объединение, J. Symbolic Comput., Том 3, № 3, стр. 257–275, 1987
27. Франц Баадер, Объединение в идемпотентных полугруппах имеет нулевой тип, J. Automat. Рассуждения, том 2, номер 3, 1986
28. Дж. Маканин, Проблема разрешимости уравнений в свободной полугруппе, Акад. АН СССР, т. 233, № 2, 1977 г.
29. Ф. Фагес (1987). «Ассоциативно-коммутативное объединение» (PDF). J. Символическое вычисление. 3 (3): 257–275. Дои:10.1016 / s0747-7171 (87) 80004-4.
30. Мартин У., Нипков Т. (1986). «Объединение в булевых кольцах». В Jörg H. Siekmann (ed.). Proc. 8-й CADE. LNCS. 230. Springer. С. 506–513.
31. А. Буде; Ж. П. Жуано; М. Шмидт-Шаус (1989).«Объединение булевых колец и абелевых групп». Журнал символических вычислений. 8 (5): 449–477. Дои:10.1016 / s0747-7171 (89) 80054-9.
32. Баадер и Снайдер (2001), стр. 486.
33. Ф. Баадер и С. Гиларди, Унификация модальной и описательной логики, Логический журнал IGPL 19 (2011), вып. 6. С. 705–730.
34. П. Сабо, Unifikationstheorie erster Ordnung (Теория объединения первого порядка), Диссертация, Univ. Карлсруэ, Западная Германия, 1982 г.
35. Йорг Х. Зикманн, Универсальное объединение, Proc. 7-й Int. Конф. on Automated Deduction, Springer LNCS vol.170, pp. 1–42, 1984.
36. Н. Дершовиц и Г. Сивакумар, Решение задач в равноправных языках, Proc. 1-й Int. Семинар по системам условной перезаписи терминов, Springer LNCS, том 308, стр. 45–55, 1988 г.
37. Фэй (1979). «Объединение первого порядка в теории уравнений». Proc. 4-й семинар по автоматическому вычету. С. 161–167.
38. Уоррен Д. Гольдфарб (1981). «Неразрешимость проблемы объединения второго порядка». TCS. 13 (2): 225–230. Дои:10.1016/0304-3975(81)90040-2.
39. Жерар П. Юэ (1973). «Неразрешимость объединения в логике третьего порядка». Информация и контроль. 22 (3): 257–267. Дои:10.1016 / S0019-9958 (73) 90301-X.
40. Клаудио Луччези: Неразрешимость проблемы унификации для языков третьего порядка (исследовательский отчет CSRR 2059; факультет компьютерных наук, Университет Ватерлоо, 1972)
41. Жерар Юэ: алгоритм объединения для типизированного лямбда-исчисления []
42. Жерар Юэ: объединение высшего порядка 30 лет спустя
43. Жиль Довек: Объединение и соответствие высшего порядка. Справочник по автоматическому мышлению 2001: 1009–1062
44. Миллер, Дейл (1991). «Язык логического программирования с лямбда-абстракцией, функциональными переменными и простой унификацией» (PDF). Журнал логики и вычислений. 1 (4): 497–536. Дои:10.1093 / logcom / 1.4.497.
45. Гардент, Клэр; Кольхейз, Майкл; Конрад, Карстен (1997). «Многоуровневый подход объединения высшего порядка к многоточию». Отправлено в Европейский Ассоциация компьютерной лингвистики (EACL). CiteSeerX  10.1.1.55.9018.
46. Уэйн Снайдер (июль 1990 г.). «Электронное объединение высшего порядка». Proc. 10-я конференция по автоматическому отчислению. LNAI. 449. Springer. С. 573–587.

дальнейшее чтение

• Франц Баадер и Уэйн Снайдер (2001). «Теория объединения». В Джон Алан Робинсон и Андрей Воронков, редакторы, Справочник по автоматическому мышлению, том I, страницы 447–533. Издательство Elsevier Science.
• Жиль Доук (2001). «Объединение и соответствие высшего порядка». В Справочник по автоматическому мышлению.
• Франц Баадер и Тобиас Нипков (1998). Перезапись терминов и все такое. Издательство Кембриджского университета.
• Франц Баадер и Йорг Х. Зикманн [де ] (1993). «Теория объединения». В Справочник по логике в искусственном интеллекте и логическом программировании.
• Жан-Пьер Жуанно и Клод Киршнер (1991). "Решение уравнений в абстрактных алгебрах: обзор объединения на основе правил". В Вычислительная логика: Очерки в честь Алана Робинсона.
• Нахум Дершовиц и Жан-Пьер Жуанно, Системы перезаписи, в: Ян ван Леувен (ред.), Справочник по теоретической информатике, том B Формальные модели и семантика, Elsevier, 1990, стр. 243–320.
• Йорг Х. Зикманн (1990). «Теория объединения». В Клод Киршнер (редактор) Объединение. Академическая пресса.
• Кевин Найт (март 1989 г.). «Объединение: междисциплинарное исследование» (PDF). Опросы ACM Computing. 21 (1): 93–124. CiteSeerX  10.1.1.64.8967. Дои:10.1145/62029.62030. S2CID  14619034.
• Жерар Юэ и Дерек К. Оппен (1980). «Уравнения и правила перезаписи: обзор». Технический отчет. Стэндфордский Университет.
• Раулефс, Питер; Зикманн, Йорг; Szabó, P .; Unvericht, E. (1979). «Краткий обзор современного состояния проблем сопоставления и унификации». Бюллетень ACM SIGSAM. 13 (2): 14–20. Дои:10.1145/1089208.1089210. S2CID  17033087.
• Клод Киршнер и Элен Киршнер. Переписывание, решение, доказательство. В подготовке.