Сильно структурированный кольцевой спектр - Highly structured ring spectrum - Wikipedia

В математике высокоструктурированный кольцевой спектр или же ${ displaystyle A _ { infty}}$ -ring - это объект в теория гомотопии кодирование уточнения мультипликативной структуры на теория когомологий. Коммутативный вариант ${ displaystyle A _ { infty}}$ -кольцо называется ${ displaystyle E _ { infty}}$ -звенеть. Первоначально мотивированные вопросами геометрическая топология и теория расслоения, сегодня они чаще всего используются в теория стабильной гомотопии.

Фон

Высокоструктурированные кольцевые спектры обладают лучшими формальными свойствами, чем теории мультипликативных когомологий - точка, используемая, например, при построении топологические модульные формы, и это позволило также новые конструкции более классических объектов, таких как Моравская К-теория. Помимо своих формальных свойств, ${ displaystyle E _ { infty}}$ -структуры также важны в вычислениях, поскольку они допускают операции в основной теории когомологий, аналогичные (и обобщающие) хорошо известные Операции Стинрода в обычных когомологиях. Поскольку не каждая теория когомологий допускает такие операции, не всякая мультипликативная структура может быть уточнена до ${ displaystyle E _ { infty}}$ -структура, и даже в тех случаях, когда это возможно, доказать это может оказаться непростой задачей.

Приблизительное представление о высокоструктурированных кольцевых спектрах таково: если умножение в теории когомологий (аналогично умножению в сингулярных когомологиях, индуцирующее чашка продукта ) выполняет ассоциативность (и коммутативность) только с точностью до гомотопии, это слишком слабо для многих конструкций (например, для пределы и копределы в смысле теории категорий). С другой стороны, наивное требование строгой ассоциативности (или коммутативности) является слишком ограничительным для многих желаемых примеров. Основная идея состоит в том, что отношения должны поддерживать только гомотопию, но эти гомотопии должны снова удовлетворять некоторым гомотопическим отношениям, гомотопии которых снова удовлетворяют некоторым дополнительным условиям гомотопии; и так далее. Классический подход организует эту структуру через операды, а недавний подход Джейкоб Лурье справляется с этим, используя ${ displaystyle infty}$ -операции в ${ displaystyle infty}$ -категории. В наиболее широко используемых сегодня подходах используется язык категории моделей.^{[нужна цитата ]}

Все эти подходы зависят от тщательного построения основной категории спектры.

Подходы к определению

Операды

Теория операды мотивирован изучением пространства петель. Пространство петель ΩX имеет умножение

{ Displaystyle Omega X times Omega X to Omega X}

по составу петель. Здесь два цикла ускоряются в 2 раза, и первый занимает интервал [0,1 / 2], а второй [1 / 2,1]. Это произведение не ассоциативно, поскольку скейлинги несовместимы, но оно ассоциативно с точностью до гомотопии, а гомотопии когерентны с точностью до высших гомотопий и так далее. Эту ситуацию можно уточнить, сказав, что ΩX - алгебра над небольшая интервальная операда. Это пример ${ displaystyle A _ { infty}}$ -операда, т.е. операда топологических пространств, гомотопически эквивалентная ассоциативная операда но который обладает соответствующей «свободой», позволяющей вещам поддерживать только гомотопию (кратко: любая кофибрантная замена ассоциативной операды). An ${ displaystyle A _ { infty}}$ -колец спектр теперь можно представить как алгебру над ${ displaystyle A _ { infty}}$ -операция в подходящей категории спектров и подходящих условиях совместимости (см. май 1977 г.).

Для определения ${ displaystyle E _ { infty}}$ -кольцевые спектры по сути работает тот же подход, когда заменяется ${ displaystyle A _ { infty}}$ -оператор ${ displaystyle E _ { infty}}$ -операда, т.е. операда стягиваемых топологических пространств с аналогичными условиями «свободы». Пример такой операды может быть снова мотивирован изучением пространств петель. Произведение двойного петлевого пространства ${ displaystyle Omega ^ {2} X}$ уже коммутативна с точностью до гомотопии, но эта гомотопия не удовлетворяет никаким высшим условиям. Чтобы получить полную когерентность высших гомотопий, нужно предположить, что пространство (эквивалентно) п-сложить петли для всехп. Это приводит к ${ displaystyle infty}$ -кубическая операда из бесконечномерных кубов в бесконечномерном пространстве, которая является примером ${ displaystyle E _ { infty}}$ -операционная.

Вышеупомянутый подход был впервые предложен Дж. Питер Мэй. Вместе с Элмендорфом, Крисом и Манделлом он разработал в 90-х годах вариант своего старого определения спектров, так называемого S-модули (см. Элмендорф и др., 2007). S-модули обладают структура модели, чьей гомотопической категорией является стабильная гомотопическая категория. В S-модулях категория модулей над ${ displaystyle A _ { infty}}$ -операция и категория моноиды находятся Квиллен эквивалент а также категория модулей над ${ displaystyle E _ { infty}}$ -операда и категория коммутативных моноидов. Следовательно, можно ли определить ${ displaystyle A _ { infty}}$ -колец спектров и ${ displaystyle E _ { infty}}$ -колец спектров как (коммутативных) моноидов в категории S-модулей, так называемых (коммутативные) S-алгебры. Поскольку с (коммутативными) моноидами легче работать, чем с алгебрами над сложными операдами, этот новый подход для многих целей более удобен. Однако следует отметить, что собственное построение категории S-модулей технически довольно сложно.

Диаграмма спектров

Другой подход к цели увидеть высоко структурированные кольцевые спектры как моноиды в подходящей категории спектров - это категории диаграммных спектров. Вероятно, самая известная из них - это категория симметричных спектров, впервые предложенная Джеффом Смитом. Его основная идея заключается в следующем:

В самом наивном смысле спектр представляет собой последовательность (точечных) пространств ${ Displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, точки)}$ вместе с картами ${ displaystyle Sigma X_ {i} to X_ {i + 1}}$ , где ΣX обозначает приостановка. Другая точка зрения такова: категорию последовательностей пространств рассматривают вместе с моноидальный структура дана разбить продукт. Тогда последовательность сфер ${ Displaystyle (S ^ {0}, S ^ {1}, точки)}$ имеет структуру моноида, а спектры являются модулями над этим моноидом. Если бы этот моноид был коммутативным, то возникла бы моноидальная структура на категории модулей над ним (как в алгебра модули над коммутативным кольцом имеют тензорное произведение). Но моноидная структура последовательности сфер не коммутативна из-за различного порядка координат.

Идея в том, что теперь можно встроить изменения координат в определение последовательности: симметричная последовательность это последовательность пространств ${ Displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, точки)}$ вместе с действием п-го симметричная группа на ${ displaystyle X_ {n}}$ . Если снабдить его подходящим моноидальным произведением, получится, что последовательность сфер представляет собой коммутативный моноид. Сейчас же симметричные спектры являются модулями над последовательностью сфер, т.е.последовательностью пространств ${ Displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, точки)}$ вместе с действием п-го симметричная группа на ${ displaystyle X_ {n}}$ и карты ${ displaystyle Sigma X_ {i} to X_ {i + 1}}$ удовлетворяющие подходящим условиям эквивариантности. Категория симметричных спектров имеет моноидальное произведение, обозначаемое ${ Displaystyle клин}$ . А сильно структурированный (коммутативный) кольцевой спектр теперь определяется как (коммутативный) моноид в симметричных спектрах, называемый (коммутативный) симметричный кольцевой спектр. Это сводится к предоставлению карт

{ Displaystyle X_ {n} клин X_ {m} to X_ {n + m},}

которые удовлетворяют подходящим условиям эквивариантности, унитарности и ассоциативности (и коммутативности) (см. Schwede 2007).

Существует несколько модельных структур на симметричных спектрах, которые имеют в качестве гомотопии стабильную гомотопическую категорию. Также здесь верно, что категория модулей над ${ displaystyle A _ { infty}}$ -операция и категория моноиды находятся Квиллен эквивалент а также категория модулей над ${ displaystyle E _ { infty}}$ -операда и категория коммутативных моноидов.

Вариантом симметричных спектров являются ортогональные спектры, где симметрическая группа заменяется ортогональной (см. Mandell et al., 2001). У них есть то преимущество, что наивно определенные гомотопические группы совпадают с группами в стабильной гомотопической категории, что не относится к симметричным спектрам. (То есть спектр сферы теперь является конфибрантным.) С другой стороны, симметричные спектры имеют то преимущество, что их также можно определить для симплициальные множества. Симметричный и ортогональный спектры, возможно, являются простейшими способами построения разумного симметричная моноидальная категория спектров.

Бесконечные категории

Бесконечные категории - это вариант классических категорий, где композиция морфизмов не определена однозначно, а только с точностью до стягиваемого выбора. Вообще говоря, не имеет смысла говорить, что диаграмма коммутирует строго в бесконечной категории, а только то, что она коммутирует с точностью до когерентной гомотопии. Можно определить бесконечную категорию спектров (как это сделано Лурье ). Можно также определить бесконечные версии (коммутативных) моноидов, а затем определить ${ displaystyle A _ { infty}}$ -кольцевые спектры как моноиды в спектрах и ${ displaystyle E _ { infty}}$ -кольцевые спектры как коммутативные моноиды в спектрах. Это разработано в книге Лурье. Высшая алгебра.

Сравнение

Категории S-модулей, симметричные и ортогональные спектры и их категории (коммутативных) моноидов допускают сравнения через эквивалентности Квиллена благодаря работе нескольких математиков (включая Шведе). Несмотря на это, модельная категория S-модулей и модельная категория симметричных спектров ведут себя совершенно по-разному: в S-модулях каждый объект является фибрантным (что неверно в симметричных спектрах), тогда как в симметричных спектрах сферический спектр является конфибрантным. (что неверно в S-модулях). По теореме Льюиса невозможно построить одну категорию спектров, обладающую всеми желаемыми свойствами. Сравнение подхода категорий бесконечности к спектрам с более классическим подходом категорий моделей симметричных спектров можно найти в работе Лурье. Высшая алгебра 4.4.4.9.

Примеры

Проще всего записать конкретные примеры ${ displaystyle E _ { infty}}$ -колец спектров в симметричных / ортогональных спектрах. Наиболее фундаментальный пример - спектр сферы с (каноническим) отображением умножения ${ Displaystyle S ^ {n} клин S ^ {m} to S ^ {n + m}}$ . Также несложно записать карты умножения для Спектры Эйленберга-Маклейна (представляющий обычные когомология ) и некоторые Спектры Тома (представляющий бордизм теории). Топологическая (реальная или комплексная) K-теория также является примером, но ее труднее получить: в симметричных спектрах используется C * -алгебра интерпретации K-теории, в подходе операд используется машина мультипликативных бесконечное пространство цикла теория.

Более свежий подход к поиску ${ displaystyle E _ { infty}}$ -уточнения мультипликативных теорий когомологий Теория препятствий Гёрсса-Хопкинса. Удалось найти ${ displaystyle E _ { infty}}$ -колец конструкции на Спектры Любина – Тейта. и дальше эллиптические спектры. Аналогичным (но более старым) методом можно также показать, что Моравская К-теория а также другие варианты Когомологии Брауна-Петерсона обладать ${ displaystyle A _ { infty}}$ -кольцевая структура (см., например, Baker and Jeanneret, 2002). Бастерра и Манделл показали, что когомологии Брауна – Петерсона имеют даже ${ displaystyle E_ {4}}$ -кольцевая структура, где ${ displaystyle E_ {4}}$ -структура определяется заменой операды бесконечномерных кубов в бесконечномерном пространстве на 4-мерные кубы в 4-мерном пространстве в определении ${ displaystyle E _ { infty}}$ -кольцевые спектры. С другой стороны, Тайлер Лоусон показал, что Когомологии Брауна – Петерсона не имеет ${ displaystyle E _ { infty}}$ структура.

Конструкции

Сильно структурированные кольцевые спектры допускают множество построений.

Они образуют модельную категорию, поэтому существуют (гомотопические) пределы и копределы.
Модули над сильно структурированным кольцевым спектром образуют категория стабильной модели. В частности, их гомотопическая категория триангулированный. Если кольцевой спектр имеет ${ displaystyle E_ {2}}$ -структура, категория модулей имеет моноидальную разбить продукт; если это хотя бы ${ displaystyle E_ {4}}$ , то оно имеет симметричное моноидальное (разбивающее) произведение.
Можно формировать групповые кольцевые спектры.
Можно определить алгебраическая K-теория, топологический Гомологии Хохшильда и т. д. высокоструктурированного кольцевого спектра.
Можно определить пространство единиц, что имеет решающее значение для некоторых вопросов ориентируемости связок.