Стабильная теория гомотопии - Stable homotopy theory

В математика, теория стабильной гомотопии это часть теория гомотопии (и поэтому алгебраическая топология ) касается всей структуры и явлений, которые остаются после достаточно большого количества применений подвесной функтор. Основополагающим результатом стал Теорема Фрейденталя о подвеске, в котором говорится, что при любом заостренное пространство ${\displaystyle X}$, гомотопические группы ${\displaystyle \pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)}$ стабилизировать для ${\displaystyle n}$ достаточно большой. В частности, гомотопические группы сфер ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$ стабилизировать для ${\displaystyle n\geq k+2}$. Например,

${\displaystyle \langle {\text{id}}_{S^{1}}\rangle =\mathbb {Z} =\pi _{1}(S^{1})\cong \pi _{2}(S^{2})\cong \pi _{3}(S^{3})\cong \cdots }$

${\displaystyle \langle \eta \rangle =\mathbb {Z} =\pi _{3}(S^{2})\to \pi _{4}(S^{3})\cong \pi _{5}(S^{4})\cong \cdots }$

В двух приведенных выше примерах все отображения между гомотопическими группами являются приложениями подвесной функтор. Первый пример - стандартное следствие Теорема Гуревича, который ${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} }$. Во втором примере Карта Хопфа, ${\displaystyle \eta }$, отображается в его приостановку ${\displaystyle \Sigma \eta }$ который порождает ${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2}$.

Одна из важнейших проблем теории стабильной гомотопии - вычисление стабильные гомотопические группы сфер. Согласно теореме Фрейденталя, в стабильный диапазон гомотопические группы сфер зависят не от конкретных размеров сфер в области и мишени, а от разницы в этих размерах. Имея это в виду, k-й стабильный стержень

${\displaystyle \pi _{k}^{s}:=\lim _{n}\pi _{n+k}(S^{n})}$.

Это абелева группа для всех k. Это теорема Жан-Пьер Серр^[1] что эти группы конечны при ${\displaystyle k\neq 0}$. Фактически композиция делает ${\displaystyle \pi _{*}^{S}}$ в градуированное кольцо. Теорема о Горо Нисида^[2] утверждает, что все элементы положительной градуировки в этом кольце нильпотентны. Таким образом, единственными простыми идеалами являются простые числа в ${\displaystyle \pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z} }$. Итак, структура ${\displaystyle \pi _{*}^{s}}$ довольно сложно.

В современной трактовке теории стабильной гомотопии пространства обычно заменяются на спектры. Следуя этой мысли, целая стабильная гомотопическая категория могут быть созданы. Эта категория имеет много хороших свойств, которых нет в (нестабильной) гомотопической категории пространств, что следует из того факта, что функтор надстройки становится обратимым. Например, понятие последовательность кофибрации и последовательность расслоений эквивалентны.

Смотрите также

• Фильтрация Адамса
• Теория хроматической гомотопии
• Эквивариантная стабильная теория гомотопий
• Теорема о нильпотентности

Рекомендации

1. Серр, Жан-Пьер (1953). "Группы гомотопии и классы абелиенских групп". Анналы математики. 58 (2): 258–295. Дои:10.2307/1969789. JSTOR  1969789.
2. Нисида, Горо (1973), «Нильпотентность элементов стабильных гомотопических групп сфер», Журнал математического общества Японии, 25 (4): 707–732, Дои:10.2969 / jmsj / 02540707, ISSN  0025-5645, МИСТЕР  0341485

• Адамс, Дж. Франк (1966), Стабильная теория гомотопии, Издание второе исправленное. Лекции, прочитанные в Калифорнийском университете в Беркли, 1961, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, МИСТЕР  0196742
• Мэй, Дж. Питер (1999), "Стабильная алгебраическая топология, 1945–1966 гг." (PDF), Стабильная алгебраическая топология, 1945--1966 гг., Амстердам: Северная Голландия, стр. 665–723, CiteSeerX  10.1.1.30.6299, Дои:10.1016 / B978-044482375-5 / 50025-0, ISBN  9780444823755, МИСТЕР  1721119
• Равенел, Дуглас С. (1992), Нильпотентность и периодичность в стабильной теории гомотопий, Анналы математических исследований, 128, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-02572-8, МИСТЕР  1192553