Система Постникова - Postnikov system

В теория гомотопии, филиал алгебраическая топология, а Система Постникова (или же Постникова башня) является способом разложения топологическое пространство с гомотопические группы используя обратная система топологических пространств, гомотопический тип на степени ${\displaystyle k}$ согласуется с усеченным гомотопическим типом исходного пространства ${\displaystyle X}$. Системы Постникова были введены и названы в честь Михаил Постников.

Определение

А Система Постникова из связное пространство ${\displaystyle X}$ обратная система пространств

${\displaystyle \cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *}$

с последовательностью карт ${\displaystyle \phi _{n}\colon X\to X_{n}}$ совместим с обратной системой, такой что

1. Карта ${\displaystyle \phi _{n}\colon X\to X_{n}}$ индуцирует изоморфизм ${\displaystyle \pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})}$ для каждого ${\displaystyle i\leq n}$.
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$ за ${\displaystyle i>n}$.^[1]
3. Каждая карта ${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ это расслоение, поэтому волокно ${\displaystyle F_{n}}$ является Пространство Эйленберга – Маклейна, ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$.

Первые два условия означают, что ${\displaystyle X_{1}}$ также ${\displaystyle K(\pi _{1}(X),1)}$-Космос. В более общем смысле, если ${\displaystyle X}$ является ${\displaystyle (n-1)}$-связано, затем ${\displaystyle X_{n}}$ это ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$-пространство и все ${\displaystyle X_{i}}$ за ${\displaystyle i<n}$ находятся стягиваемый. Обратите внимание, что третье условие включено не обязательно некоторыми авторами.

Существование

Системы Постникова существуют на связанных Комплексы CW,^[2] и есть слабая гомотопическая эквивалентность между ${\displaystyle X}$ и его обратный предел, поэтому

${\displaystyle X\simeq \varprojlim {}X_{n}}$

показывая ${\displaystyle X}$ это CW приближение своего обратного предела. Их можно построить на CW-комплексе, итеративно убивая гомотопические группы. Если у нас есть карта ${\displaystyle f\colon S^{n}\to X}$ представляющий гомотопический класс ${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}$, мы можем взять выталкивание вдоль карты границ ${\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}$, убивая гомотопический класс. За ${\displaystyle X_{m}}$ этот процесс можно повторить для всех ${\displaystyle n>m}$, дающее пространство, имеющее исчезающие гомотопические группы ${\displaystyle \pi _{n}(X_{m})}$. Используя тот факт, что ${\displaystyle X_{n-1}}$может быть построен из ${\displaystyle X_{n}}$ убивая все гомотопические карты ${\displaystyle S^{n}\to X_{n}}$, получаем отображение ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$.

Главное свойство

Одно из основных свойств башни Постникова, делающее ее настолько мощным для изучения при вычислении когомологий, - это тот факт, что пространства ${\displaystyle X_{n}}$ гомотопны комплексу CW ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n}}$ который отличается от ${\displaystyle X}$ только по ячейкам измерения ${\displaystyle \geq n+2}$.

Гомотопическая классификация расслоений

Последовательность расслоений ${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$^[3] имеют гомотопически определенные инварианты, то есть гомотопические классы отображений ${\displaystyle p_{n}}$, зададим корректно определенный гомотопический тип ${\displaystyle [X]\in {\text{Ob}}(hTop)}$. Гомотопический класс ${\displaystyle p_{n}}$ происходит из рассмотрения гомотопического класса классифицирующая карта для волокна ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$. Соответствующая классификационная карта

${\displaystyle X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)}$

следовательно, гомотопический класс ${\displaystyle [p_{n}]}$ классифицируется гомотопическим классом

${\displaystyle [p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}$

называется n-й инвариант постникова из ${\displaystyle X}$ поскольку гомотопические классы отображений в пространства Эйленберга-Маклейна дают когомологии с коэффициентами в ассоциированной абелевой группе.

Слоистая последовательность для пространств с двумя нетривиальными гомотопическими группами

Одним из частных случаев гомотопической классификации является гомотопический класс пространств ${\displaystyle X}$ такое, что существует расслоение

${\displaystyle K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)}$

давая гомотопический тип с двумя нетривиальными гомотопическими группами, ${\displaystyle \pi _{1}(X)=G}$, и ${\displaystyle \pi _{n}(X)=A}$. Затем, из предыдущего обсуждения, карта расслоения ${\displaystyle BG\to K(A,n+1)}$ дает класс когомологий в

${\displaystyle H^{n+1}(BG,A)}$

что также можно интерпретировать как класс групповых когомологий. Это пространство ${\displaystyle X}$ можно считать высшая местная система.

Примеры постниковых башен

Постникова башня K (G, n)

Один из концептуально простейших случаев башни Постникова - это пространство Эйленберга-Маклейна. ${\displaystyle K(G,n)}$. Это дает башню с

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{for }}i<n\\X_{i}\simeq K(A,n)&{\text{for }}i\geq n\end{matrix}}}$

Постникова башня S²

Постникова башня для ${\displaystyle S^{2}}$ является частным случаем, первые несколько терминов которого можно понять явно. Поскольку у нас есть первые несколько гомотопических групп из односвязность из ${\displaystyle S^{2}}$, степенная теория сфер и расслоение Хопфа, дающее ${\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}$ за ${\displaystyle k\geq 3}$, следовательно

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2\end{matrix}}}$

тогда, ${\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)}$, и ${\displaystyle X_{3}}$ происходит из откатной последовательности

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4)\end{matrix}}}$

который является элементом

${\displaystyle [p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }$

если бы это было тривиально, это означало бы ${\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)}$. Но это не так! Фактически, это является причиной того, почему строгие бесконечные группоиды не моделируют гомотопические типы.^[4]. Вычисление этого инварианта требует больше работы, но его можно явно найти^[5]. Это квадратичная форма ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ на ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ происходит из расслоения Хопфа ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$. Обратите внимание, что каждый элемент в ${\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$ дает другой гомотопический 3-тип.

Гомотопические группы сфер

Одно из применений башни Постникова - вычисление гомотопические группы сфер^[6]. Для ${\displaystyle n}$-мерная сфера ${\displaystyle S^{n}}$ мы можем использовать Теорема Гуревича показать каждый ${\displaystyle S_{i}^{n}}$ договорная для ${\displaystyle i<n}$, поскольку из теоремы следует, что нижние гомотопические группы тривиальны. Напомним, есть спектральная последовательность для любого Расслоение Серра, например расслоение

${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n).}$

Тогда мы можем сформировать гомологическую спектральную последовательность с ${\displaystyle E^{2}}$-термины

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}(K(\pi _{n+1}(S^{n}),n+1)))}$.

И первое нетривиальное отображение на ${\displaystyle \pi _{n+1}(S^{n})}$,

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}\colon H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}(K(\pi _{n+1}(S^{n}),n+1))),}$

эквивалентно записывается как

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}\colon H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}(S^{n}).}$

Если легко вычислить ${\displaystyle H_{n+1}(S_{n+1}^{n})}$ и ${\displaystyle H_{n+2}(S_{n+2}^{n})}$, тогда мы сможем получить информацию о том, как выглядит эта карта. В частности, если это изоморфизм, мы получаем вычисление ${\displaystyle \pi _{n+1}(S^{n})}$. По делу ${\displaystyle n=3}$, это можно вычислить явно, используя расслоение путей для ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$, главное достояние Постниковской башни на ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}}$ (давая ${\displaystyle H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0}$, а Теорема об универсальном коэффициенте давая ${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})=\mathbb {Z} /2}$. Более того, из-за Теорема Фрейденталя о подвеске это фактически дает стабильная гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{1}^{\mathbb {S} }}$ поскольку ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$ стабилен для ${\displaystyle n\geq k+2}$.

Обратите внимание, что аналогичные методы могут быть применены с использованием башни Уайтхеда (ниже) для вычисления ${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})}$ и ${\displaystyle \pi _{5}(S^{3})}$, давая первые две нетривиальные стабильные гомотопические группы сфер.

Башня Уайтхед

Учитывая комплекс CW ${\displaystyle X}$ к башне Постникова есть двойная конструкция, называемая Башня Уайтхед. Вместо того, чтобы уничтожать все высшие гомотопические группы, башня Уайтхеда итеративно убивает низшие гомотопические группы. Это дает башня комплексов CW.

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$,

куда

1. Нижние гомотопические группы равны нулю, поэтому ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$ за ${\displaystyle i\leq n}$.
2. Индуцированное отображение ${\displaystyle \pi _{i}\colon \pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)}$ является изоморфизмом для ${\displaystyle i>n}$.
3. Карты ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ расслоения с волокном ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$.

Подразумеваемое

Уведомление ${\displaystyle X_{1}\to X}$ это универсальная обложка ${\displaystyle X}$ так как это накрытие с односвязным покрытием. Кроме того, каждый ${\displaystyle X_{n}\to X}$ универсальный ${\displaystyle n}$-подключенная крышка ${\displaystyle X}$.

Строительство

Пространства ${\displaystyle X_{n}}$ в башне Уайтхеда построены индуктивно. Если мы построим ${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$ убивая высшие гомотопические группы в ${\displaystyle X_{n}}$,^[7] мы получаем вложение ${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$. Если мы позволим

${\displaystyle X_{n+1}=\{f\colon I\to K(\pi _{n+1}(X),n+1):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\}}$

для некоторых фиксированных базовая точка ${\displaystyle p}$, то индуцированное отображение ${\displaystyle X_{n+1}\to X_{n}}$ расслоение со слоем, гомеоморфным

${\displaystyle \Omega K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq K(\pi _{n+1}(X),n),}$

и поэтому у нас есть расслоение Серра

${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n)\to X_{n}\to X_{n-1}.}$

Используя длинную точную последовательность в теории гомотопий, мы имеем, что ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})}$ за ${\displaystyle i\geq n+1}$, ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0}$ за ${\displaystyle i<n-1}$, и, наконец, есть точная последовательность

${\displaystyle 0\to \pi _{n+1}(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n})\xrightarrow {\partial } \pi _{n}K(\pi _{n+1}(X),n)\to \pi _{n}(X_{n+1})\to 0,}$

где, если средний морфизм является изоморфизмом, две другие группы равны нулю. Это можно проверить, посмотрев на включение ${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$ и отмечая, что пространство Эйленберга – Маклейна имеет клеточное разложение

${\displaystyle X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}}$;

таким образом,

${\displaystyle \pi _{n+1}(X_{n})\cong \pi _{n+1}(K(\pi _{n+1}(X),n+1))\cong \pi _{n}(K(\pi _{n+1}(X),n))}$,

давая желаемый результат.

Башня Уайтхеда и теория струн

В Геометрия вращения то ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ группа построена как универсальное покрытие Специальная ортогональная группа ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$, так ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)}$ является расслоением, дающим первый член в башне Уайтхеда. Существуют физически релевантные интерпретации для более высоких частей этой башни, которые можно прочитать как

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$

куда ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$ это ${\displaystyle 3}$-подключенная крышка ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ называется группа строк, и ${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$ это ${\displaystyle 7}$-подключенная крышка называется группа Fivebrane.^[8][9]

Смотрите также

• Спектральная последовательность Адамса
• Пространство Эйленберга – Маклейна
• CW комплекс
• Теория препятствий
• Стабильная теория гомотопии
• Гомотопические группы сфер
• Высшая группа

Рекомендации

1. Хэтчер, Аллен. Алгебраическая топология (PDF). п. 410.
2. Хэтчер, Аллен. Алгебраическая топология (PDF). п. 354.
3. Кан, Дональд В. (1963-03-01). «Индуцированные карты для систем Постникова» (PDF). Труды Американского математического общества. 107 (3): 432–432. Дои:10.1090 / с0002-9947-1963-0150777-х. ISSN  0002-9947.
4. Симпсон, Карлос (1998-10-09). «Гомотопические типы строгих 3-группоидов». arXiv: math / 9810059.
5. Эйленберг, Сэмюэл; Маклейн, Сондерс (1954). «О группах H (Π, n), III: операции и препятствия». Анналы математики. 60 (3): 513–557. Дои:10.2307/1969849. ISSN  0003-486X.
6. Лаурентиу-Джордж, Максим. «Спектральные последовательности и гомотопические группы сфер» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала от 19 мая 2017 года.
7. Максим, Laureniu. «Конспект лекций по теории и приложениям гомотопий» (PDF). п. 66. В архиве (PDF) из оригинала 16 февраля 2020 г.
8. «Математическая физика - Физическое приложение башни Постникова, Струна (п) и Fivebrane (п)". Обмен физическими стеками. Получено 2020-02-16.
9. "Ат. алгебраическая топология - какое отношение башни Уайтхеда имеют к физике?". MathOverflow. Получено 2020-02-16.

• Постников, М.М. (1951). «Определение групп гомологий пространства с помощью гомотопических инвариантов». Доклады Академии Наук СССР. 76: 359–362.
• Конспект лекций по теории и приложениям гомотопий
• Определение вторых групп гомологий и когомологий пространства с помощью гомотопических инвариантов - дает доступные примеры инвариантов постникова
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-79540-1.
• «Рукописные заметки» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2020-02-13.