Лемма Картанса - Cartans lemma - Wikipedia

В математика, Лемма Картана относится к ряду результатов, названных в честь Эли Картан или его сын Анри Картан:

• В внешняя алгебра:^[1] Предположим, что v₁, ..., v_п являются линейно независимыми элементами векторного пространства V и ш₁, ..., ш_п такие, что

${\displaystyle v_{1}\wedge w_{1}+\cdots +v_{p}\wedge w_{p}=0}$

в ΛV. Тогда есть скаляры час_ij = час_джи такой, что

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=1}^{p}h_{ij}v_{j}.}$

• В несколько сложных переменных:^[2] Позволять а₁ < а₂ < а₃ < а₄ и б₁ < б₂ и определим прямоугольники в комплексной плоскости C к

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{1}&=\{z_{1}=x_{1}+iy_{1}|a_{2}<x_{1}<a_{3},b_{1}<y_{1}<b_{2}\}\\K_{1}'&=\{z_{1}=x_{1}+iy_{1}|a_{1}<x_{1}<a_{3},b_{1}<y_{1}<b_{2}\}\\K_{1}''&=\{z_{1}=x_{1}+iy_{1}|a_{2}<x_{1}<a_{4},b_{1}<y_{1}<b_{2}\}\end{aligned}}}$

так что ${\displaystyle K_{1}=K_{1}'\cap K_{1}''}$. Позволять K₂, ..., K_п быть односвязными доменами в C и разреши

${\displaystyle {\begin{aligned}K&=K_{1}\times K_{2}\times \cdots \times K_{n}\\K'&=K_{1}'\times K_{2}\times \cdots \times K_{n}\\K''&=K_{1}''\times K_{2}\times \cdots \times K_{n}\end{aligned}}}$

так что снова ${\displaystyle K=K'\cap K''}$. Предположим, что F(z) - комплексная аналитическая матричнозначная функция на прямоугольнике K в C^п такой, что F(z) - обратимая матрица для каждого z в K. Тогда существуют аналитические функции ${\displaystyle F'}$ в ${\displaystyle K'}$ и ${\displaystyle F''}$ в ${\displaystyle K''}$ такой, что

${\displaystyle F(z)=F'(z)F''(z)}$

в K.

• В теория потенциала, результат, оценивающий Мера Хаусдорфа множества, на котором логарифмический Ньютоновский потенциал маленький. Видеть Лемма Картана (теория потенциала).

Рекомендации

1. *Штернберг, С. (1983). Лекции по дифференциальной геометрии ((2-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., стр.18. ISBN  0-8218-1385-4. OCLC  43032711.
2. Роберт С. Ганнинг и Хьюго Росси (1965). Аналитические функции нескольких комплексных переменных. Прентис-Холл. п. 199.