Кручение кривой - Torsion of a curve

О других понятиях кручения см. Торсион (значения).

В элементарном дифференциальная геометрия кривых в три измерения, то кручение из изгиб измеряет, насколько резко оно выходит из плоскости кривизны. Взятые вместе, кривизна и кручение пространственной кривой аналогично кривизна плоской кривой. Например, это коэффициенты в системе дифференциальные уравнения для Рамка Frenet предоставленный Формулы Френе – Серре.

Определение

Анимация кручения и соответствующего поворота вектора бинормали.

Позволять C быть пространственная кривая параметризовано длина дуги s и с единичный касательный вектор т. Если кривизна κ из C в определенный момент не равен нулю, тогда вектор главной нормали и бинормальный вектор в этой точке единичные векторы

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {t} '}{\kappa }},\quad \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ,}$

где штрих означает производную вектора по параметру s. В кручение τ измеряет скорость вращения вектора бинормали в данной точке. Находится из уравнения

${\displaystyle \mathbf {b} '=-\tau \mathbf {n} .}$

что значит

${\displaystyle \tau =-\mathbf {n} \cdot \mathbf {b} '.}$

Замечание: Производная вектора бинормали перпендикулярна как бинормали, так и касательной, поэтому она должна быть пропорциональна вектору главной нормали. Отрицательный знак - это просто вопрос условности: это побочный продукт исторического развития предмета.

Геометрическая релевантность: Кручение τ(s) измеряет оборот бинормального вектора. Чем больше кручение, тем быстрее вектор бинормали вращается вокруг оси, заданной касательным вектором (см. графические иллюстрации ). На анимированном рисунке вращение вектора бинормали хорошо видно на пиках функции кручения.

Характеристики

• Плоская кривая с ненулевой кривизной имеет нулевое кручение во всех точках. И наоборот, если кручение регулярной кривой с ненулевой кривизной тождественно равно нулю, то эта кривая принадлежит фиксированной плоскости.
• Кривизна и кручение спираль постоянны. И наоборот, любая пространственная кривая, кривизна и кручение которой постоянны и не равны нулю, является спиралью. Торсион для правши положительный.^[1] helix и отрицательна для левой.

Альтернативное описание

Позволять р = р(т) быть параметрическое уравнение пространственной кривой. Предположим, что это обычная параметризация и что кривизна кривой не обращается в нуль. Аналитически, р(т) является трижды дифференцируемым функция из т со значениями в р³ и векторы

${\displaystyle \mathbf {r'} (t),\mathbf {r''} (t)}$

находятся линейно независимый.

Тогда кручение можно вычислить по следующей формуле:

${\displaystyle \tau ={\frac {\det \left({\mathbf {r} ',\mathbf {r} '',\mathbf {r} '''}\right)}{\left\|{\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right\|^{2}}}={\frac {\left({\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right)\cdot \mathbf {r} '''}{\left\|{\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right\|^{2}}}.}$

Здесь штрихи обозначают производные относительно т а крест обозначает перекрестное произведение. За р = (Икс, у, z), формула в компонентах имеет вид

${\displaystyle \tau ={\frac {x'''\left(y'z''-y''z'\right)+y'''\left(x''z'-x'z''\right)+z'''\left(x'y''-x''y'\right)}{\left(y'z''-y''z'\right)^{2}+\left(x''z'-x'z''\right)^{2}+\left(x'y''-x''y'\right)^{2}}}.}$

Примечания

1. http://mathworld.wolfram.com/Torsion.html

Рекомендации

• Прессли, Эндрю (2001), Элементарная дифференциальная геометрия, Серия Springer по математике для студентов, Springer-Verlag, ISBN  1-85233-152-6