Разделение переменных - Separation of variables - Wikipedia

В математика, разделение переменных (также известный как Метод Фурье) - это любой из нескольких методов решения обычный и уравнения в частных производных, в котором алгебра позволяет переписать уравнение так, чтобы каждая из двух переменных находилась в разных частях уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

Предположим, что дифференциальное уравнение можно записать в виде

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x))}$

который мы можем написать проще, позволив ${\displaystyle y=f(x)}$:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).}$

Так долго как час(у) ≠ 0, мы можем переставить члены так, чтобы получить:

${\displaystyle {dy \over h(y)}=g(x)\,dx,}$

так что две переменные Икс и у были разделены. dx (и dy) можно рассматривать на простом уровне просто как удобную нотацию, которая обеспечивает удобную мнемоническую помощь для помощи при манипуляциях. Формальное определение dx как дифференциал (бесконечно малый) несколько продвинутый.

Альтернативная нотация

Тем, кто не любит Обозначения Лейбница может предпочесть написать это как

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),}$

но это не так очевидно, почему это называется «разделением переменных». Интегрируя обе части уравнения относительно ${\displaystyle x}$, у нас есть

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx,\qquad \qquad (1)}$

или эквивалентно,

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$

из-за правило подстановки интегралов.

Если можно вычислить два интеграла, можно найти решение дифференциального уравнения. Обратите внимание, что этот процесс позволяет эффективно лечить производная ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ как дробь, которую можно разделить. Это позволяет нам более удобно решать разделимые дифференциальные уравнения, как показано в примере ниже.

(Обратите внимание, что нам не нужно использовать два константы интегрирования, в уравнении (1) как в

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2},}$

потому что единственная константа ${\displaystyle C=C_{2}-C_{1}}$ эквивалентно.)

Пример

Рост населения часто моделируется дифференциальным уравнением

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

куда ${\displaystyle P}$ это население по отношению ко времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle k}$ скорость роста, а ${\displaystyle K}$ это грузоподъемность окружающей среды.

Для решения этого дифференциального уравнения можно использовать разделение переменных.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)\\[5pt]&\int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}}$

Чтобы вычислить интеграл в левой части, упростим дробь

${\displaystyle {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}}$

а затем разложим дробь на частичные дроби

${\displaystyle {\frac {K}{P(K-P)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}}$

Таким образом, мы имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int k\,dt\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C\\[6pt]&{\begin{vmatrix}{\dfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}\\[6pt]&{\begin{vmatrix}{\dfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]{\text{Let }}&A=\pm e^{-C}.\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}=1+Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-kt}}}\\[6pt]&P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}\end{aligned}}}$

Следовательно, решение логистического уравнения

${\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$

Найти ${\displaystyle A}$, позволять ${\displaystyle t=0}$ и ${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$. Тогда у нас есть

${\displaystyle P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}}$

Отмечая, что ${\displaystyle e^{0}=1}$, и решение для А мы получили

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}.}$

Обобщение разделимых ОДУ до n-го порядка

Подобно тому, как можно говорить об отделимом ОДУ первого порядка, можно говорить о отделимых ОДУ второго, третьего или n-го порядка. Рассмотрим отделимое ОДУ первого порядка:

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$$

В качестве альтернативы производная может быть записана следующим образом, чтобы подчеркнуть, что это оператор, работающий с неизвестной функцией, у:

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}(y)}$$

Таким образом, когда кто-то разделяет переменные для уравнений первого порядка, он фактически перемещает dx знаменатель оператора в сторону Икс переменная, а d (y) остается сбоку с у Переменная. Оператор второй производной по аналогии распадается следующим образом:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}({\frac {dy}{dx}})={\frac {d}{dx}}({\frac {d}{dx}}(y))}$$

Аналогичным образом распадаются операторы третьей, четвертой и n-й производной. Таким образом, подобно разделимому ОДУ первого порядка можно привести к виду

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$$

сепарабельное ОДУ второго порядка приводится к виду

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f(y')g(x)}$$

и отделимое ОДУ n-го порядка сводится к

$${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=f(y^{(n-1)})g(x)}$$

Пример

Рассмотрим простое нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:

$${\displaystyle y''=(y')^{2}}$$

Это уравнение является уравнением только у '' и y ', то есть его можно привести к общей форме, описанной выше, и, следовательно, отделить. Поскольку это разделяемое уравнение второго порядка, соберите все Икс переменные с одной стороны и все y ' переменные с другой стороны, чтобы получить:

$${\displaystyle {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=dx}$$

Теперь проинтегрируем правую часть по Икс и слева относительно y ':

$${\displaystyle \int {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=\int dx}$$

Это дает

$${\displaystyle {\frac {-1}{y'}}=x+C_{1}}$$

что упрощает:

$${\displaystyle y'={\frac {1}{C_{1}-x}}}$$

Теперь это простая интегральная задача, дающая окончательный ответ:

$${\displaystyle y=C_{2}-\ln |C_{1}-x|}$$

Уравнения с частными производными

Метод разделения переменных также используется для решения широкого круга линейных дифференциальных уравнений в частных производных с граничными и начальными условиями, таких как уравнение теплопроводности, волновое уравнение, Уравнение лапласа, Уравнение Гельмгольца и бигармоническое уравнение.

Аналитический метод разделения переменных для решения уравнений с частными производными также был обобщен в вычислительный метод разложения в инвариантных структурах, которые могут использоваться для решения систем уравнений с частными производными.^[1]

Пример: однородный корпус

Рассмотрим одномерный уравнение теплопроводности. Уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$

(1)

Переменная u обозначает температуру. Граничное условие однородное, т.е.

${\displaystyle u{\big |}_{x=0}=u{\big |}_{x=L}=0}$

(2)

Попытаемся найти решение, которое не является тождественно нулевым, удовлетворяющим граничным условиям, но со следующим свойством: ты продукт, в котором зависимость ты на Икс, т разделяется, то есть:

${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).}$

(3)

Подстановка ты обратно в уравнение (1) и используя правило продукта,

${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.}$

(4)

Поскольку правая часть зависит только от Икс а левая сторона только на т, обе стороны равны некоторому постоянному значению - λ. Таким образом:

${\displaystyle T'(t)=-\lambda \alpha T(t),}$

(5)

и

${\displaystyle X''(x)=-\lambda X(x).}$

(6)

- λ здесь собственное значение для обоих дифференциальных операторов, и Т (т) и Х (х) соответствуют собственные функции.

Теперь мы покажем, что решения для Х (х) для значений λ ≤ 0 не может произойти:

Предположим, что λ <0. Тогда существуют действительные числа B, C такой, что

${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.}$

Из (2) мы получили

${\displaystyle X(0)=0=X(L),}$

(7)

и поэтому B = 0 = C что подразумевает ты тождественно 0.

Предположим, что λ = 0. Тогда существуют действительные числа B, C такой, что

${\displaystyle X(x)=Bx+C.}$

Из (7) так же, как и в 1, заключаем, что ты тождественно 0.

Следовательно, должно быть так, что λ> 0. Тогда существуют действительные числа А, B, C такой, что

${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t},}$

и

${\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).}$

Из (7) мы получили C = 0 и что для некоторого положительного целого числа п,

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$

Это решает уравнение теплопроводности в частном случае, когда зависимость ты имеет особую форму (3).

В общем случае сумма решений (1), удовлетворяющие граничным условиям (2) также удовлетворяет (1) и (3). Следовательно, полное решение может быть представлено как

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right),}$

куда D_п - коэффициенты, определяемые начальным условием.

Учитывая начальное условие

${\displaystyle u{\big |}_{t=0}=f(x),}$

мы можем получить

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}.}$

Это синусоидальный ряд расширение f (x). Умножая обе стороны на ${\displaystyle \sin {\frac {n\pi x}{L}}}$ и интегрируя [0, L] результат в

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx.}$

Этот метод требует, чтобы собственные функции Икс, здесь ${\displaystyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$, находятся ортогональный и полный. Обычно это гарантируется Теория Штурма-Лиувилля.

Пример: неоднородный случай

Предположим, что уравнение неоднородно,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=h(x,t)}$

(8)

с граничным условием, как (2).

Расширять ч (х, т), и (х, t) и f (x) в

${\displaystyle h(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }h_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}},}$

(9)

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}},}$

(10)

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}},}$

(11)

куда час_п(т) и б_п можно вычислить интегрированием, а ты_п(т) подлежит определению.

Заменять (9) и (10) вернуться к (8) и учитывая ортогональность синусоидальных функций, получаем

${\displaystyle u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t),}$

которые представляют собой последовательность линейные дифференциальные уравнения что можно легко решить, например, Преобразование Лапласа, или же Интегрирующий фактор. Наконец, мы можем получить

${\displaystyle u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right).}$

Если граничное условие неоднородно, то разложение (9) и (10) больше не действует. Нужно найти функцию v который удовлетворяет только граничному условию, и вычтите его из ты. Функция u-v тогда удовлетворяет однородному граничному условию и может быть решено указанным выше методом.

Пример: смешанные производные

Для некоторых уравнений, включающих смешанные производные, уравнение разделяется не так легко, как уравнение теплопроводности в первом примере выше, но, тем не менее, разделение переменных все же может применяться. Рассмотрим двумерный бигармоническое уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}u}{\partial y^{4}}}=0.}$

Действуя обычным образом, ищем решения вида

${\displaystyle u(x,y)=X(x)Y(y)}$

и получаем уравнение

${\displaystyle {\frac {X^{(4)}(x)}{X(x)}}+2{\frac {X''(x)}{X(x)}}{\frac {Y''(y)}{Y(y)}}+{\frac {Y^{(4)}(y)}{Y(y)}}=0.}$

Записав это уравнение в виде

${\displaystyle E(x)+F(x)G(y)+H(y)=0,}$

мы видим, что производная по Икс и у исключает первый и последний члены, так что

${\displaystyle F'(x)G'(y)=0,}$

т.е. либо F (х) или же G (у) должно быть константой, скажем -λ. Это также означает, что либо ${\displaystyle -E(x)=F(x)G(y)+H(y)}$ или же ${\displaystyle -H(y)=E(x)+F(x)G(y)}$ постоянны. Возвращаясь к уравнению для Икс и Y, у нас есть два случая

${\displaystyle {\begin{aligned}X''(x)&=-\lambda _{1}X(x)\\X^{(4)}(x)&=\mu _{1}X(x)\\Y^{(4)}(y)-2\lambda _{1}Y''(y)&=-\mu _{1}Y(y)\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}Y''(y)&=-\lambda _{2}Y(y)\\Y^{(4)}(y)&=\mu _{2}Y(y)\\X^{(4)}(x)-2\lambda _{2}X''(x)&=-\mu _{2}X(x)\end{aligned}}}$

каждый из которых может быть решен путем рассмотрения отдельных случаев для ${\displaystyle \lambda _{i}<0,\lambda _{i}=0,\lambda _{i}>0}$ и отмечая, что ${\displaystyle \mu _{i}=\lambda _{i}^{2}}$.

Криволинейные координаты

В ортогональные криволинейные координаты, разделение переменных все еще может использоваться, но с некоторыми деталями, отличными от декартовых координат. Например, регулярность или периодическое условие могут определять собственные значения вместо граничных условий. Видеть сферические гармоники Например.

Матрицы

Матричной формой разделения переменных является Сумма Кронекера.

В качестве примера рассмотрим 2D дискретный лапласиан на регулярная сетка:

${\displaystyle L=\mathbf {D_{xx}} \oplus \mathbf {D_{yy}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,}$

куда ${\displaystyle \mathbf {D_{xx}} }$ и ${\displaystyle \mathbf {D_{yy}} }$ - одномерные дискретные лапласианы в Икс- и у-направления, соответственно, и ${\displaystyle \mathbf {I} }$ идентичны соответствующих размеров. Смотрите основную статью Сумма Кронекера дискретных лапласианов для подробностей.

Программного обеспечения

Некоторые математические программы умеют делать разделение переменных: Xcas^[2] среди прочего.

Смотрите также

• Неразделимое дифференциальное уравнение

Примечания

1. [1]
2. «Символьная алгебра и математика с Xcas» (PDF).

Рекомендации

• Полянин, Андрей Д. (2001-11-28). Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых. Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл / CRC. ISBN  1-58488-299-9.
• Мьинт-У, Тын; Дебнат, Локенат (2007). Линейные дифференциальные уравнения с частными производными для ученых и инженеров. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston. Дои:10.1007/978-0-8176-4560-1. ISBN  978-0-8176-4393-5.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Аспирантура по математике. 140. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.

внешняя ссылка

• «Метод Фурье», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Джон Ренце, Эрик В. Вайсштейн, Разделение переменных (Дифференциальное уравнение ) в MathWorld.
• Методы обобщенного и функционального разделения переменных в EqWorld: мир математических уравнений
• Примеры разделения переменных для решения PDE
• «Краткое обоснование разделения переменных»