Алгебраическое уравнение с частными производными - Partial differential algebraic equation

В математика а дифференциальное алгебраическое уравнение в частных производных (PDAE) набор представляет собой неполную систему уравнения в частных производных который закрывается набором алгебраические уравнения.

Определение

Общий PDAE определяется как:

${\displaystyle 0=\mathbf {F} \left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}},{\frac {\partial ^{2}y_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}},\ldots ,\mathbf {z} \right),}$

куда:

• F - набор произвольных функций;
• Икс - набор независимых переменных;
• у - набор зависимых переменных, для которых определены частные производные; и
• z - это набор зависимых переменных, для которых не определены частные производные.

Связь между PDAE и уравнение в частных производных (PDE) аналогична взаимосвязи между обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE) и дифференциально-алгебраическое уравнение (DAE).

PDAE этой общей формы сложно решить. Более подробно упрощенные формы изучены в литературе.^[1][2][3] Даже совсем недавно, в 2000 году, термин «PDAE» использовался как незнакомый специалистам в смежных областях.^[4]

Методы решения

Полудискретизация является распространенным методом решения PDAE, независимые переменные которых являются переменными время и Космос, и используется на протяжении десятилетий.^[5][6] Этот метод включает удаление пространственных переменных с помощью дискретизация метод, такой как метод конечных объемов, и включив полученные линейные уравнения как часть алгебраических соотношений. Это сокращает систему до DAE, для чего можно использовать обычные методы решения.

Рекомендации

1. Вагнер, Ю. 2000. "Еще одна концепция индекса для линейных PDAE гиперболического типа", Математика и компьютеры в моделировании, т. 53, стр. 287–291.
2. В. С. Мартинсон, П. И. Бартон. (2002) "Индексный и характеристический анализ линейных систем PDAE", SIAM Journal on Scientific Computing, v. 24, n. 3. С. 905–923.
3. Lucht, W .; Strehmel, K .. 1998. "Индексы на основе дискретизации для полулинейных алгебраических уравнений с частными производными", Прикладная вычислительная математика, т. 28, стр. 371–386.
4. Симеон, Б .; Арнольд, М. 2000. «Соединение DAE и PDE для моделирования взаимодействия пантографа и контактной сети», Математическое и компьютерное моделирование динамических систем, т. 6, стр. 129–144.
5. Jacob, J .; Ле Ланн, Дж; Pinguad, H .; Капдевиль, Б. 1996. «Обобщенный подход к динамическому моделированию и моделированию биофильтров: применение к денитрификации сточных вод», журнал «Химическая инженерия», т. 65, стр. 133–143.
6. de Dieuvleveult, C .; Erhel, J .; Керн, М .. 2009. «Глобальная стратегия решения уравнений переноса реактивных веществ», Журнал вычислительной физики, т. 228, стр. 6395–6410.