Патологический (математика) - Pathological (mathematics)

"Правильное поведение" перенаправляется сюда. Не следует путать с хорошее поведение.

В Функция Вейерштрасса является непрерывный везде, кроме дифференцируемый нигде.

В математика, а патологический объект - это тот, который обладает отклоняющимся, неправильным или нелогичный свойство таким образом, что отличает его от того, что задумано как типичный объект той же категории. Противоположностью патологии является хорошо воспитанный.^[1][2][3]

В анализе

Классическим примером патологической структуры является Функция Вейерштрасса, который непрерывный везде, кроме дифференцируемый нигде.^[2] Сумма дифференцируемой функция и функция Вейерштрасса снова непрерывна, но нигде не дифференцируема; так что таких функций не меньше, чем дифференцируемых. Фактически, по Теорема Бэра о категории, можно показать, что непрерывные функции в целом нигде не дифференцируемый.^[4]

С точки зрения непрофессионала, большинство функций нигде невозможно дифференцировать, и относительно немногие из них могут быть описаны или изучены. В общем, наиболее полезные функции также имеют какую-то физическую основу или практическое применение, что означает, что они не могут быть патологическими на уровне сложной математики или логики; помимо некоторых предельных случаев, таких как дельта-распределение, они, как правило, довольно хорошо воспитанный и интуитивно понятный. Цитировать Анри Пуанкаре:

Логика иногда создает монстров. За полвека мы наблюдаем массу причудливых функций, которые, кажется, вынуждены как можно меньше походить на честные функции, служащие какой-то цели. Больше преемственности или меньше преемственности, больше производных и так далее. Действительно, с точки зрения логики, эти странные функции являются самыми общими; с другой стороны, те, которые встречаются, не ища их, и которые следуют простым законам, появляются как частный случай, который составляет не более чем небольшой угол.

В прежние времена, когда изобретали новую функцию, это было для практических целей; сегодня их изобретают специально, чтобы выявить недостатки в рассуждениях наших отцов, и из них выводят только это.

Если бы логика была единственным руководством учителя, необходимо было бы начать с самых общих функций, то есть с самых причудливых. Это новичок, который должен бороться с этим тератологический музей.

— Анри Пуанкаре, 1899^{[расплывчатый ]}

Это подчеркивает тот факт, что термин патологический (и, соответственно, слово хорошо воспитанный) является субъективным, зависимым от контекста и подверженным износу.^[1] Его значение в любом конкретном случае принадлежит сообществу математиков, а не обязательно самой математике. Кроме того, цитата показывает, как математика часто прогрессирует через контрпримеры к тому, что кажется интуитивным или ожидаемым. Например, упомянутое «отсутствие производных» тесно связано с текущим исследованием магнитное пересоединение события в солнечная плазма.^{[нужна цитата ]}

В топологии

Одна из самых известных патологий в топологии - это Александр рогатый шар, контрпример, показывающий, что топологически вложенная сфера S² в р³ может не разделить пространство чисто. В качестве контрпримера он мотивировал дополнительное условие покорность, что подавляет вид дикий поведение, которое демонстрирует рогатый шар.^[5]

Как и многие другие патологии, рогатая сфера в некотором смысле играет на бесконечно тонкой рекурсивно генерируемой структуре, которая в пределе нарушает обычную интуицию. В этом случае топология непрерывно нисходящей цепочки взаимосвязанных петель непрерывных частей сферы в пределе полностью отражает топологию общей сферы, и можно было бы ожидать, что внешняя часть ее после вложения будет работать так же. Но это не так: это не может быть односвязный.

Для основной теории см. Теорема Жордана – Шенфлиса.

Хорошо себя

Математики (и специалисты в смежных науках) очень часто говорят о том, математический объект - а функция, а набор, а Космос того или иного рода - это "воспитанный". Хотя у этого термина нет фиксированного формального определения, он обычно относится к качеству выполнения списка преобладающих условий,^[6] что может зависеть от контекста, математических интересов, моды и вкуса. Чтобы гарантировать, что объект «ведет себя хорошо», математики вводят дополнительные аксиомы, чтобы сузить область изучения. Это упрощает анализ, но дает потеря общности любых сделанных выводов. Например, неевклидовы геометрии когда-то считались недобросовестными, но с тех пор стали обычным объектом изучения с 19 века и позже.^[7]

Как в чистой, так и в прикладной математике (например, оптимизация, численное интегрирование, математическая физика ), хорошо воспитанный также означает не нарушать никаких предположений, необходимых для успешного применения обсуждаемого анализа.^[6]

Противоположный случай обычно называют «патологическим». Нередки ситуации, когда в большинстве случаев (с точки зрения мощность или мера ) являются патологическими, но патологические случаи не возникнут на практике - если они не построены сознательно.

Термин «хорошо себя ведет» обычно применяется в абсолютном смысле - либо что-то хорошо ведет себя, либо нет. Например:

• В алгоритмический вывод, а хорошая статистика является монотонным, хорошо определенным и достаточно.
• В Теорема Безу, два многочлены ведут себя хорошо, и, таким образом, формула для числа их пересечений верна, если их полиномиальный наибольший общий делитель является константой.
• А мероморфная функция является соотношением двух функций с хорошим поведением, в том смысле, что эти две функции являются голоморфный.
• В Условия Каруша – Куна – Таккера. являются необходимыми условиями первого порядка для решения в хорошо управляемом нелинейное программирование проблема быть оптимальной; проблема называется корректной, если выполняются некоторые условия регулярности.
• В вероятность, события, содержащиеся в вероятностное пространство соответствующий сигма-алгебра хорошо себя ведут, как и измеримый функции.

Как ни странно, этот термин может применяться и в сравнительном смысле:

• В исчисление:
  • Аналитические функции ведут себя лучше, чем обычные гладкие функции.
  • Гладкие функции ведут себя лучше, чем общие дифференцируемые функции.
  • Непрерывный дифференцируемый функции ведут себя лучше, чем обычные непрерывные функции. Чем больше раз функция может быть дифференцирована, тем лучше она будет работать.
  • Непрерывные функции ведут себя лучше, чем Интегрируемый по Риману функции на компактах.
  • Функции, интегрируемые по Риману, ведут себя лучше, чем Интегрируемый по Лебегу функции.
  • Функции, интегрируемые по Лебегу, ведут себя лучше, чем функции общего вида.
• В топология, непрерывный функции ведут себя лучше, чем прерывистые.
  • Евклидово пространство ведет себя лучше, чем неевклидова геометрия.
  • Привлекательный фиксированные точки ведут себя лучше, чем отталкивающие неподвижные точки.
  • Топологии Хаусдорфа ведут себя лучше, чем в произвольных общая топология.
  • Наборы Бореля ведут себя лучше, чем произвольные наборы из действительные числа.
  • Пространства с целое число измерение лучше, чем пространства с фрактальная размерность.
• В абстрактная алгебра:
  • Группы ведут себя лучше, чем магмы и полугруппы.
  • Абелевы группы ведут себя лучше, чем неабелевы группы.
  • Конечно порожденные абелевы группы ведут себя лучше, чем неконечно порожденные абелевы группы.
  • Конечный -размерный векторные пространства ведут себя лучше, чем бесконечный -мерные.
  • Поля ведут себя лучше, чем косые поля или вообще кольца.
  • Отделяемый расширения полей ведут себя лучше, чем неразборные.
  • Нормированные алгебры с делением ведут себя лучше, чем общие композиционные алгебры.

Патологические примеры

Патологические примеры часто имеют некоторые нежелательные или необычные свойства, которые затрудняют их содержание или объяснение в рамках теории. Такое патологическое поведение часто побуждает к новым исследованиям и исследованиям, которые приводят к новой теории и более общим результатам. Вот некоторые важные исторические примеры этого:

• Открытие иррациональные числа школой Пифагор в Древней Греции; например, длина диагонали единичный квадрат, это ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• Открытие сложные числа в 16 веке, чтобы найти корни кубический и квартика полиномиальные функции.
• В мощность из рациональное число равна мощности целые числа.
• Немного числовые поля имеют кольца целых чисел которые не образуют уникальная область факторизации, например поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$.
• Открытие фракталы и другие «грубые» геометрические объекты (см. Хаусдорфово измерение ).
• Функция Вейерштрасса, а настоящий -значная функция на реальная линия, это непрерывный везде, кроме дифференцируемый нигде.^[2]
• Функции тестирования в реальном анализе и теории распределения, которые бесконечно дифференцируемые функции на реальной прямой, которые равны 0 везде за пределами заданного ограниченного интервал. Примером такой функции является тестовая функция,

${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}e^{-1/(1-t^{2})},&-1<t<1,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

• В Кантор набор является подмножеством интервала [0, 1], которое имеет мера ноль, но это бесчисленный.
• Пеано кривая заполнения пространства является непрерывным сюръективный функция, которая отображает единичный интервал [0, 1] на [0, 1] × [0, 1].
• В Функция Дирихле, какой индикаторная функция для рациональных чисел - это ограниченная функция, не Интегрируемый по Риману.
• В Функция Кантора это монотонный непрерывная сюръективная функция, которая отображает [0,1] на [0,1], но имеет нулевую производную почти всюду.
• Классы удовлетворенности, содержащие «интуитивно ложные» арифметические утверждения, могут быть построены для счетный, рекурсивно насыщенный модели из Арифметика Пеано.^{[нужна цитата ]}

На момент открытия каждый из них считался крайне патологическим; сегодня каждый из них ассимилирован в современной математической теории. Эти примеры побуждают наблюдателей исправить свои убеждения или интуиции, а в некоторых случаях требуют переоценки основных определений и концепций. В ходе истории они привели к более правильной, более точной и более мощной математике. Например, функция Дирихле интегрируема по Лебегу, а свертка с пробными функциями используется для приближения любой локально интегрируемой функции гладкими функциями.^{[Примечание 1]}

Патологичность поведения по определению зависит от личной интуиции. Патологии зависят от контекста, подготовки и опыта, и то, что является патологическим для одного исследователя, вполне может быть стандартным поведением для другого.

Патологические примеры могут показать важность предположений в теореме. Например, в статистика, то Распределение Коши не удовлетворяет Центральная предельная теорема, хотя его симметричный в форме колокола похоже на многие другие дистрибутивы; он не соответствует требованию наличия среднего и стандартного отклонения, которые существуют и являются конечными.

Некоторые из самых известных парадоксы, такие как Парадокс Банаха – Тарского и Парадокс Хаусдорфа, основаны на существовании неизмеримые множества. Математики, если они не занимают позицию меньшинства, отрицая аксиома выбора, вообще смирились с такими наборами.^{[нужна цитата ]}

Информатика

В Информатика, патологический имеет несколько иной смысл в изучении алгоритмы. Здесь вход (или набор входов) называется патологический если это вызывает нетипичное поведение алгоритма, например, нарушение его среднего случая сложность, или даже его правильность. Например, хеш-таблицы обычно имеют патологические входы: наборы ключей, которые столкнуться по хеш-значениям. Быстрая сортировка обычно имеет О (n log n) временная сложность, но ухудшается до O (n²), когда на него поступают входные данные, вызывающие неоптимальное поведение.

Этот термин часто используется уничижительно, как способ отвергнуть такие входные данные как специально разработанные для нарушения рутины, которая в остальном является разумной на практике (сравните с византийский ). С другой стороны, важна осведомленность о патологических воздействиях, поскольку их можно использовать для создания атака отказа в обслуживании в компьютерной системе. Кроме того, термин в этом смысле является предметом субъективного суждения, как и в отношении других его значений. При достаточном времени выполнения, достаточно большом и разнообразном сообществе пользователей (или других факторах) на самом деле может произойти ввод, который может быть отклонен как патологический (как видно на первый испытательный полет из Ариана 5 ).

Исключения

Основная статья: Исключительный объект

Похожее, но отличное явление - явление исключительные объекты (и исключительные изоморфизмы ), что происходит, когда есть «небольшое» количество исключений из общего шаблона (например, конечный набор исключений из бесконечного правила). Напротив, в случаях патологии часто большинство или почти все случаи явления являются патологическими (например, почти все действительные числа иррациональны).

Субъективно исключительные объекты (такие как икосаэдр или спорадические простые группы ) обычно считаются «красивыми», неожиданными примерами теории, в то время как патологические явления часто считаются «уродливыми», как следует из названия. Соответственно, теории обычно расширяются за счет включения исключительных объектов. Например, исключительные алгебры Ли включены в теорию полупростые алгебры Ли: аксиомы считаются хорошими, исключительные объекты - неожиданными, но действительными.

Напротив, вместо этого используются патологические примеры, чтобы указать на недостаток аксиом, требуя более сильных аксиом для их исключения. Например, требуя ручности вложения шара в Проблема Шёнфлиса. В общем, можно изучать более общую теорию, включая патологии, которые могут давать свои собственные упрощения (действительные числа имеют свойства, очень отличные от рациональных, и аналогично непрерывные карты имеют очень разные свойства от гладких), но также и более узкие. теория, из которой были взяты оригинальные примеры.

Смотрите также

• Фрактальная кривая
• Список математического жаргона

использованная литература

1. «Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - патологический». Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-11-29.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Патологический». mathworld.wolfram.com. Получено 2019-11-29.
3. "патологический". planetmath.org. Получено 2019-11-29.
4. «Категория Бэра и нигде не дифференцируемые функции (часть первая)». www.math3ma.com. Получено 2019-11-29.
5. Вайсштейн, Эрик В. "Рогатая сфера Александра". mathworld.wolfram.com. Получено 2019-11-29.
6. "Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - хорошее поведение". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-11-29.
7. «Неевклидова геометрия | математика». Энциклопедия Британника. Получено 2019-11-29.

Заметки

1. Приближения сходятся почти всюду и в пространство локально интегрируемых функций.

внешние ссылки

• Патологические структуры и фракталы - Отрывок из статьи автора Фриман Дайсон, «Характеризация неправильности», журнал Science, май 1978 г.

В эту статью включены материалы из патологической PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.