Космос (математика) - Space (mathematics)

Рис. 1: Обзор типов абстрактных пространств. Стрелка указывает тоже своего рода; например, нормированное векторное пространство также является метрическим пространством.

В математика, а Космос это набор (иногда называемый вселенная ) с некоторыми добавленными структура.

В то время как современная математика использует много типов пространств, таких как Евклидовы пространства, линейные пространства, топологические пространства, Гильбертовы пространства, или же вероятностные пространства, он не определяет само понятие «пространство».^[1]^{[подробнее 1]}

Пространство состоит из выбранных математических объектов, которые рассматриваются как точки, и выбранных отношений между этими точками. Природа точек может сильно различаться: например, точки могут быть элементами набора, функциями в другом пространстве или подпространствами другого пространства. Именно отношения определяют природу пространства. Точнее, идентичными считаются изоморфные пространства, где изоморфизм между двумя пространствами - это взаимно однозначное соответствие между их точками, которое сохраняет отношения. Например, отношения между точками трехмерного евклидова пространства однозначно определяются аксиомами Евклида:^{[подробнее 2]} и все трехмерные евклидовы пространства считаются идентичными.

Топологические понятия, такие как непрерывность, имеют естественные определения в каждом евклидовом пространстве. Однако топология не отличает прямые линии от кривых, и связь между евклидовым и топологическим пространствами, таким образом, «забывает». Более подробно такого рода отношения рассматриваются в разделе «Типы пространств».

Не всегда ясно, следует ли рассматривать данный математический объект как геометрическое «пространство» или как алгебраическую «структуру». Общее определение «структуры», предложенное Бурбаки,^[2] охватывает все распространенные типы пространств, дает общее определение изоморфизма и оправдывает перенос свойств между изоморфными структурами.

История

Таблица 1 | Историческое развитие математических представлений
Классический	Современное
аксиомы - очевидные следствия определений	аксиомы условны
теоремы являются абсолютной объективной истиной	теоремы являются следствием соответствующих аксиом
отношения между точками, линиями и т. д. определяются их характером	отношения между точками, линиями и т. д. важны; их природа не
математические объекты даны нам с их структурой	каждая математическая теория описывает свои объекты некоторыми их свойствами
геометрия соответствует экспериментальной реальности	геометрия - математическая истина
все геометрические свойства пространства следуют из аксиом	аксиомы пространства не обязательно должны определять все геометрические свойства
геометрия - автономная и живая наука	классическая геометрия - универсальный язык математики
пространство трехмерно	разные концепции измерения применяются к разным типам пространств
пространство - это вселенная геометрии	пространства - это просто математические структуры, они встречаются в различных разделах математики

До золотого века геометрии

Рис. 2: Гомотетия преобразует геометрическую фигуру в аналогичную путем масштабирования.

В древнегреческой математике «пространство» было геометрической абстракцией трехмерной реальности, наблюдаемой в повседневной жизни. Около 300 г. до н.э., Евклид дал аксиомы свойств пространства. Евклид построил всю математику на этих геометрических основ, так далеко, чтобы определить число путем сравнения длин отрезков к длине выбранного опорного сегмента.

Метод координат (аналитическая геометрия ) был принят Рене Декарт в 1637 г.^[3] В то время геометрические теоремы рассматривались как абсолютные объективные истины, познаваемые посредством интуиции и разума, подобно объектам естествознания;^[4]^:11 аксиомы рассматривались как очевидные следствия определений.^[4]^:15

Два отношения эквивалентности между геометрическими фигурами использовались: соответствие и сходство. Переводы, вращения и отражения превращают фигуру в конгруэнтные фигуры; гомотетии - в аналогичные цифры. Например, все круги похожи друг на друга, но эллипсы не похожи на круги. Третье отношение эквивалентности, введенное Гаспар Монж в 1795 г., происходит в проективная геометрия: не только эллипсы, но также параболы и гиперболы превращаются в круги при соответствующих проективных преобразованиях; все они являются проективно эквивалентными фигурами.

Связь между двумя геометриями, евклидовой и проективной,^[4]^:133 показывает, что математические объекты нам не даны с их структурой.^[4]^:21 Скорее, каждая математическая теория описывает свои объекты с помощью немного их свойств, именно тех, которые положены в качестве аксиом в основу теории.^[4]^:20

Расстояния и углы не могут появляться в теоремах проективной геометрии, поскольку эти понятия не упоминаются в аксиомах проективной геометрии и не определяются из упомянутых там понятий. Вопрос «какова сумма трех углов треугольника» имеет смысл в евклидовой геометрии, но не имеет смысла в проективной геометрии.

Иная ситуация возникла в 19 веке: в некоторых геометриях сумма трех углов треугольника четко определена, но отличается от классического значения (180 градусов). Неевклидово гиперболическая геометрия, представлен Николай Лобачевский в 1829 г. и Янош Бойяи в 1832 г. (и Карл Фридрих Гаусс в 1816 г., не опубликовано)^[4]^:133 заявил, что сумма зависит от треугольника и всегда меньше 180 градусов. Эухенио Бельтрами в 1868 г. и Феликс Кляйн в 1871 г. получил евклидовы «модели» неевклидовой гиперболической геометрии и тем самым полностью обосновал эту теорию как логическую возможность.^[4]^:24^[5]

Это открытие заставило отказаться от претензий на абсолютную истину евклидовой геометрии. Он показал, что аксиомы не являются «очевидными» и не «следствиями определений». Скорее, это гипотезы. Насколько они соответствуют экспериментальной реальности? Эта важная физическая проблема больше не имеет ничего общего с математикой. Даже если «геометрия» не соответствует экспериментальной реальности, ее теоремы остаются не менее «математическими истинами».^[4]^:15

Евклидова модель неевклидова геометрия - это выбор некоторых объектов, существующих в евклидовом пространстве, и некоторых отношений между этими объектами, которые удовлетворяют всем аксиомам (и, следовательно, всем теоремам) неевклидовой геометрии. Эти евклидовы объекты и отношения «играют» неевклидову геометрию, как современные актеры разыгрывают античный спектакль. Актеры могут имитировать ситуацию, которой никогда не было в реальности. Отношения между актерами на сцене имитируют отношения между персонажами спектакля. Точно так же выбранные отношения между выбранными объектами евклидовой модели имитируют неевклидовы отношения. Это показывает, что отношения между объектами важны в математике, в то время как природа объектов - нет.

Золотой век и после

Слово «геометрия» (от древнегреческого: гео- «земля», -метрон «измерение») первоначально означало практический способ обработки длин, регионов и объемов в пространстве, в котором мы живем, но затем было широко распространено (а также как рассматриваемое здесь понятие пространства).

По словам Бурбаки,^[4]^:131 период между 1795 г.Géométrie descriptive Монжа) и 1872 г. ( «Программа Эрланген» Клейна) можно назвать золотым веком геометрии. Первоначальное пространство, исследованное Евклидом, теперь называется трехмерным. Евклидово пространство. Его аксиоматизация, начатая Евклидом 23 века назад, была реформирована с помощью Аксиомы Гильберта, Аксиомы Тарского и Аксиомы Биркгофа. Эти системы аксиом описывают пространство через примитивные представления (например, «точка», «между», «конгруэнтный»), ограниченная рядом аксиомы.

Аналитическая геометрия достигла больших успехов и сумела заменить теоремы классической геометрии вычислениями через инварианты групп преобразований.^[4]^:134,5 С того времени новые теоремы классической геометрии стали интересовать больше любителей, чем профессиональных математиков.^[4]^:136 Однако наследие классической геометрии не было потеряно. По словам Бурбаки,^[4]^:138 «Отойдя от роли автономной и живой науки, классическая геометрия, таким образом, превратилась в универсальный язык современной математики».

В то же время числа начали вытеснять геометрию как основу математики. Например, в эссе Ричарда Дедекинда 1872 г. Stetigkeit und Irrationale Zahlen (Непрерывность и иррациональные числа), он утверждает, что точки на прямой должны обладать свойствами Дедекинд сокращает, и поэтому линия была тем же самым, что и набор действительных чисел. Дедекинд осторожно отмечает, что это предположение не может быть доказано. В современных трактовках утверждение Дедекинда часто воспринимается как определение линии, тем самым сводя геометрию к арифметике. Трехмерное евклидово пространство определяется как аффинное пространство, связанное с ним векторное пространство разностей его элементов снабжено внутренним продуктом.^[6] Определение «с нуля», как у Евклида, сейчас используется нечасто, поскольку не раскрывает отношения этого пространства к другим пространствам. Также трехмерный проективное пространство теперь определяется как пространство всех одномерных подпространств (то есть прямых линий через начало координат) четырехмерного векторного пространства. Этот сдвиг в основах требует нового набора аксиом, и если эти аксиомы будут приняты, классические аксиомы геометрии станут теоремами.

Теперь пространство состоит из выбранных математических объектов (например, функций в другом пространстве или подпространств другого пространства или просто элементов набора), рассматриваемых как точки, и выбранных отношений между этими точками. Следовательно, пробелы - это просто удобные математические конструкции. Можно ожидать, что структуры, называемые «пространствами», воспринимаются более геометрически, чем другие математические объекты, но это не всегда верно.

Согласно знаменитой вступительной лекции, прочитанной Бернхард Риманн в 1854 году каждый математический объект параметризовался п действительные числа можно рассматривать как точку п-мерное пространство всех таких объектов.^[4]^:140 Современные математики регулярно следуют этой идее и находят чрезвычайно многообещающим использовать терминологию классической геометрии почти везде.^[4]^:138

Функции являются важными математическими объектами. Обычно они образуют бесконечномерные функциональные пространства, как уже отмечал Риман^[4]^:141 и разработан в 20 веке функциональный анализ.

Таксономия пространств

Три таксономических ранга

Хотя каждый тип пространства имеет собственное определение, общая идея «пространства» ускользает от формализации. Некоторые структуры называются пространствами, другие - нет, без формального критерия. Более того, нет единого мнения об общей идее «структуры». По словам Пудлака,^[7] «Математику [...] нельзя полностью объяснить с помощью одного понятия, такого как математическая структура. Тем не менее, структуралистский подход Бурбаки - лучшее, что у нас есть». Мы вернемся к структуралистскому подходу Бурбаки в последнем разделе «Пространства и структуры». , а сейчас обрисовываем возможную классификацию пространств (и структур) в духе Бурбаки.

Мы классифицируем пространства на трех уровнях. Учитывая, что каждая математическая теория описывает свои объекты некоторыми из их свойств, первый вопрос, который следует задать: какие свойства? Это приводит к первому (верхнему) уровню классификации. На втором уровне учитываются ответы на особо важные вопросы (среди вопросов, имеющих смысл согласно первому уровню). На третьем уровне классификации учитываются ответы на все возможные вопросы.

Например, классификация верхнего уровня различает евклидову и проективные пространства, поскольку расстояние между двумя точками определено в евклидовых пространствах, но не определено в проективных пространствах. Другой пример. Вопрос «какова сумма трех углов треугольника» имеет смысл в евклидовом пространстве, но не в проективном пространстве. В неевклидовом пространстве вопрос имеет смысл, но на него ответят по-другому, что не является различием верхнего уровня.

Кроме того, различие между евклидовой плоскостью и евклидовым трехмерным пространством не является различием верхнего уровня; вопрос «каков размер» имеет смысл в обоих случаях.

В классификация второго уровня различает, например, евклидовы и неевклидовы пространства; между конечномерным и бесконечномерным пространствами; между компактными и некомпактными пространствами и т. д. В терминах Бурбаки^[2] классификация второго уровня - это классификация по «видам». В отличие от биологической таксономии пространство может принадлежать нескольким видам.

В классификация третьего уровня различает, например, пространства разной размерности, но не различает плоскость трехмерного евклидова пространства, рассматриваемого как двумерное евклидово пространство, и набор всех пар действительных чисел, также рассматриваемых как два -мерное евклидово пространство. Точно так же он не делает различий между разными евклидовыми моделями одного и того же неевклидова пространства. Более формально третий уровень классифицирует пространства до изоморфизм. Изоморфизм между двумя пространствами определяется как взаимно однозначное соответствие между точками первого пространства и точками второго пространства, которое сохраняет все отношения, оговоренные в соответствии с первым уровнем. Взаимно изоморфные пространства считаются копиями одного пространства. Если один из них принадлежит к данному виду, то они все принадлежат.

Понятие изоморфизма проливает свет на классификацию верхнего уровня. Учитывая взаимно однозначное соответствие между двумя пространствами одного и того же класса верхнего уровня, можно спросить, является ли это изоморфизмом или нет. Этот вопрос не имеет смысла для двух пространств разных классов.

Изоморфизм самому себе называется автоморфизмом. Автоморфизмы евклидова пространства - это сдвиги, повороты, отражения и их композиции. Евклидово пространство однородно в том смысле, что каждая точка может быть преобразована в любую другую точку с помощью некоторого автоморфизма.

Аксиомы Евклида^{[подробнее 2]} не оставлять свободы; они однозначно определяют все геометрические свойства пространства. Точнее: все трехмерные евклидовы пространства взаимно изоморфны. В этом смысле мы имеем «трехмерное евклидово пространство». В терминах Бурбаки соответствующая теория имеет вид однозначный. Напротив, топологические пространства обычно неизоморфны; их теория многовалентный. Аналогичная идея встречается в математической логике: теория называется категоричной, если все ее модели одной мощности изоморфны между собой. По словам Бурбаки,^[8] изучение многовалентных теорий - наиболее яркая черта, которая отличает современную математику от классической математики.

Отношения между видами пространств

Топологические понятия (непрерывность, сходимость, открытые множества, замкнутые множества и т. Д.) Естественным образом определяются в каждом евклидовом пространстве. Другими словами, каждое евклидово пространство также является топологическим пространством. Каждый изоморфизм между двумя евклидовыми пространствами также является изоморфизмом между соответствующими топологическими пространствами (называемыми "гомеоморфизм "), но обратное неверно: гомеоморфизм может искажать расстояния. С точки зрения Бурбаки,^[2] «топологическое пространство» - это лежащий в основе структура структуры «Евклидово пространство». Подобные идеи встречаются в теория категорий: категория евклидовых пространств - это конкретная категория над категорией топологических пространств; то забывчивый (или «зачистка») функтор отображает первую категорию во вторую категорию.

Трехмерное евклидово пространство - это частный случай евклидова пространства. По словам Бурбаки,^[2] вид трехмерного евклидова пространства богаче чем виды евклидова пространства. Точно так же виды компактного топологического пространства богаче видов топологического пространства.

Рис. 3: Пример отношений между видами пространств

Такие отношения между видами пространств могут быть представлены схематически, как показано на рис. 3. Стрелка от A к B означает, что каждый Пространство также B-пространство, или может рассматриваться как B-пространство, или предоставляет B-пространство, и т.д. Рассматривая A и B как классы пространств, можно интерпретировать стрелку как переход от A к B. (в терминах Бурбаки,^[9] "процедура удержания" B-пространство из Пространство. Не совсем функция, если только классы A, B - множества; этот нюанс не отменяет следующего.) Две стрелки на рис. 3 не обратимы, но по разным причинам.

Переход от «евклидова» к «топологическому» забывчив. Топология отличает непрерывную от прерывистой, но не отличает прямолинейную от криволинейной. Интуиция подсказывает нам, что евклидова структура не может быть восстановлена по топологии. Доказательство использует автоморфизм топологического пространства (т. Е. самогомеоморфизм ), который не является автоморфизмом евклидова пространства (то есть не является композицией сдвигов, поворотов и отражений). Такое преобразование превращает данную евклидову структуру в (изоморфную, но) другую евклидову структуру; обе евклидовы структуры соответствуют единой топологической структуре.

Напротив, переход от «трехмерного евклидова» к «евклидову» не забывается; Евклидово пространство не обязательно должно быть трехмерным, но если оно оказывается трехмерным, оно является полноценным, структура не теряется. Другими словами, последний переход инъективный (один к одному), тогда как первый переход не является инъективным (многие к одному). Обозначим инъективные переходы стрелкой с зазубренным хвостом, «↣», а не «→».

Оба перехода не сюръективный, то есть не каждое B-пространство является результатом некоторого A-пространства. Во-первых, трехмерное евклидово пространство - это частный (не общий) случай евклидова пространства. Во-вторых, топология евклидова пространства - это частный случай топологии (например, оно должно быть некомпактным, связным и т. Д.). Мы обозначаем сюръективные переходы двуглавой стрелкой, «↠», а не «→». См., Например, Рис. 4; там стрелка от «реальной линейной топологии» к «действительной линейной» является двуглавой, поскольку каждое реальное линейное пространство допускает некоторую (по крайней мере одну) топологию, совместимую с его линейной структурой.

Такая топология в общем случае неединственна, но уникальна, когда реальное линейное пространство конечномерно. Для этих пространств переход является одновременно инъективным и сюръективным, т. Е. биективный; см. стрелку от «конечно-тусклой вещественной линейной топологии» к «конечно-тусклой вещественной линейной топологии» на рис. 4. обратный переход существует (и может быть показан второй стрелкой назад). Таким образом, два вида структур эквивалентны. На практике не делается различия между эквивалентными видами структур.^[10] Эквивалентные структуры можно рассматривать как единую структуру, как показано большим прямоугольником на рис.4.

Переходы, обозначенные стрелками, подчиняются изоморфизму. То есть два изоморфных A-пробелы приводят к двум изоморфным B-пространства.

Схема на рис. коммутативный. То есть все направленные пути на диаграмме с одинаковыми начальной и конечной точками приводят к одному и тому же результату. Другие диаграммы ниже также коммутативны, за исключением пунктирных стрелок на рис. 9. Стрелка от «топологического» к «измеримому» заштрихована по причине, объясненной там: «Чтобы превратить топологическое пространство в измеримое пространство, его наделяют σ-алгебра. σ-алгебра борелевских множеств - самый популярный, но не единственный выбор ". Сплошная стрелка обозначает распространенный, так называемый «канонический» переход, который сам собой напрашивается сам собой и широко используется, часто неявно, по умолчанию. Например, говоря о непрерывной функции в евклидовом пространстве, нет необходимости явно указывать ее топологию. На самом деле существуют и иногда используются альтернативные топологии, например, прекрасная топология; но они всегда указываются явно, поскольку они гораздо менее заметны, чем распространенная топология. Пунктирная стрелка указывает на то, что используется несколько переходов, и ни один из них не является широко распространенным.

Типы пространств

Линейные и топологические пространства

Рис. 4: Соотношения между математическими пространствами: линейными, топологическими и т. Д.

Два основных пространства: линейные пространства (также называемые векторными пространствами) и топологические пространства.

Линейные пространства имеют алгебраический природа; существуют вещественные линейные пространства (над поле из действительные числа ), комплексные линейные пространства (над полем сложные числа ) и вообще линейные пространства над любым полем. Каждое комплексное линейное пространство также является реальным линейным пространством (последнее лежит в основе первое), поскольку каждое действительное число также является комплексным числом.^{[подробнее 3]}В более общем смысле, векторное пространство над полем также имеет структуру векторного пространства над подполем этого поля. Линейные операции, заданные в линейном пространстве по определению, приводят к таким понятиям, как прямые линии (и плоскости, и другие линейные подпространства). ); параллельные линии; эллипсы (и эллипсоиды). Однако невозможно определить ортогональные (перпендикулярные) линии или выделить круги среди эллипсов, потому что в линейном пространстве нет такой структуры, как скалярное произведение, которое можно было бы использовать для измерения углов. Размерность линейного пространства определяется как максимальное количество линейно независимый векторы или, что то же самое, минимальное количество векторов, охватывающих пространство; он может быть конечным или бесконечным. Два линейных пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. А п-размерный комплексное линейное пространство также является 2п-размерный реальное линейное пространство.

Топологические пространства имеют аналитический природа. Открытые наборы, заданные в топологическом пространстве по определению, приводят к таким понятиям, как непрерывные функции, тропинки, карты; сходящиеся последовательности, пределы; интерьер, граница, экстерьер. Тем не мение, равномерная преемственность, ограниченные множества, Последовательности Коши, дифференцируемые функции (пути, карты) остаются неопределенными. Изоморфизмы между топологическими пространствами традиционно называются гомеоморфизмами; это взаимно однозначные соответствия, непрерывные в обоих направлениях. В открытый интервал (0,1) гомеоморфно целому реальная линия (-∞, ∞), но не гомеоморфно закрытый интервал [0,1], ни в круг. Поверхность куба гомеоморфна сфере (поверхности шара), но не гомеоморфна тору. Евклидовы пространства разных размерностей не гомеоморфны, что кажется очевидным, но нелегко доказать. Размерность топологического пространства определить сложно; индуктивный размер (на основании наблюдения, что размер границы геометрической фигуры обычно на единицу меньше размера самой фигуры) и Размер покрытия Лебега может быть использован. В случае п-размерный Евклидово пространство, обе топологические размерности равны п.

Каждое подмножество топологического пространства само является топологическим пространством (напротив, только линейный подмножества линейного пространства - это линейные пространства). Произвольные топологические пространства, исследованные общая топология (называемые также точечно-множественной топологией) слишком разнообразны для полной классификации с точностью до гомеоморфизма. Компактные топологические пространства являются важным классом топологических пространств («разновидностей» этого «типа»). Всякая непрерывная функция ограничена на таком пространстве. Замкнутый интервал [0,1] и расширенная реальная линия [-∞, ∞] компактны; открытый интервал (0,1) и прямая (-∞, ∞) - нет. Геометрическая топология исследует коллекторы (еще один «вид» этого «типа»); это топологические пространства, локально гомеоморфные евклидовым пространствам (и удовлетворяющие нескольким дополнительным условиям). Маломерные многообразия полностью классифицируются с точностью до гомеоморфизма.

И линейная, и топологическая структуры лежат в основе линейное топологическое пространство (другими словами, топологическое векторное пространство) структура. Линейное топологическое пространство - это как действительное или комплексное линейное пространство, так и топологическое пространство, так что линейные операции непрерывны. Итак, линейное пространство, которое также является топологическим, в общем случае не является линейным топологическим пространством.

Каждое конечномерное действительное или комплексное линейное пространство является линейным топологическим пространством в том смысле, что оно несет одну и только одну топологию, которая делает его линейным топологическим пространством. Две структуры, «конечномерное реальное или комплексное линейное пространство» и «конечномерное линейное топологическое пространство», таким образом, эквивалентны, то есть лежат в основе друг друга. Соответственно, любое обратимое линейное преобразование конечномерного линейного топологического пространства является гомеоморфизмом. Три понятия размерности (одно алгебраическое и два топологических) совпадают для конечномерных вещественных линейных пространств. Однако в бесконечномерных пространствах различные топологии могут соответствовать заданной линейной структуре, и обратимые линейные преобразования, как правило, не являются гомеоморфизмами.

Аффинные и проективные пространства

Рис.5: Отношения между математическими пространствами: аффинными, проективными и т. Д.

Удобно ввести аффинный и проективные пространства с помощью линейных пространств следующим образом. А п-размерный линейное подпространство (п+1) -мерный линейное пространство, являющееся п-размерный линейное пространство, неоднородно; он содержит особую точку - начало координат. Сдвигая его на внешний по отношению к нему вектор, получаем п-размерный аффинное подпространство. Он однородный. Аффинное пространство не обязательно должно быть включено в линейное пространство, но оно изоморфно аффинному подпространству линейного пространства. Все п-размерный аффинные пространства изоморфны между собой. По словам Джон Баэз, «аффинное пространство - это векторное пространство, которое забыло свое происхождение». В частности, каждое линейное пространство также является аффинным пространством.

Учитывая п-размерный аффинное подпространство А в (п+1) -мерный линейное пространство L, прямая линия в А можно определить как пересечение А с двумерный линейное подпространство L что пересекается А: другими словами, плоскость, проходящая через начало координат, не параллельна А. В более общем плане k-размерный аффинное подпространство А это пересечение А с (k+1) -мерный линейное подпространство L что пересекается А.

Каждая точка аффинного подпространства А это пересечение А с одномерный линейное подпространство L. Однако некоторые одномерный подпространства L параллельны А; в каком-то смысле они пересекаются А на бесконечности. Набор всех одномерный линейные подпространства (п+1) -мерный линейное пространство по определению п-размерный проективное пространство. И аффинное подпространство А вкладывается в проективное пространство как собственное подмножество. Однако само проективное пространство однородно. Прямая линия в проективном пространстве соответствует двумерный линейное подпространство (n + 1) -мерного линейного пространства. В более общем плане k-размерный проективное подпространство проективного пространства соответствует (k+1) -мерный линейное подпространство (n + 1) -мерного линейного пространства и изоморфно k-размерный проективное пространство.

Определенные таким образом аффинные и проективные пространства имеют алгебраическую природу; они могут быть реальными, сложными и, в более общем смысле, применимыми к любой области.

Каждое действительное или комплексное аффинное или проективное пространство также является топологическим пространством. Аффинное пространство - это некомпактное многообразие; проективное пространство - это компактное многообразие. В реальном проективном пространстве прямая линия гомеоморфна окружности, поэтому компактна, в отличие от прямой линии в линейном аффинном пространстве.

Метрические и равномерные пространства

Рис.6: Отношения между математическими пространствами: метрическим, равномерным и т. Д.

Расстояния между точками определены в метрическое пространство. Изоморфизмы между метрическими пространствами называются изометриями. Каждое метрическое пространство также является топологическим пространством. Топологическое пространство называется метризуемый, если он лежит в основе метрического пространства. Все многообразия метризуемы.

В метрическом пространстве мы можем определять ограниченные множества и последовательности Коши. Метрическое пространство называется полный если все последовательности Коши сходятся. Каждое неполное пространство изометрически вкладывается как плотное подмножество в полное пространство (пополнение). Каждое компактное метрическое пространство полно; реальная линия некомпактная, но полная; открытый интервал (0,1) неполный.

Каждое евклидово пространство также является полным метрическим пространством. Более того, все геометрические понятия, имманентные евклидову пространству, можно охарактеризовать в терминах его метрики. Например, отрезок прямой, соединяющий две заданные точки А и C состоит из всех точек B такое, что расстояние между А и C равна сумме двух расстояний между А и B и между B и C.

В Хаусдорфово измерение (относящееся к количеству маленьких шариков, покрывающих данный набор) применяется к метрическим пространствам и может быть нецелым числом (особенно для фракталы ). Для п-размерный В евклидовом пространстве размерность Хаусдорфа равна п.

Равномерные пространства не вводят расстояния, но все же позволяют использовать равномерную непрерывность, последовательности Коши (или фильтры или же сети ), полнота и завершенность. Каждое однородное пространство также является топологическим пространством. Каждый линейный топологическое пространство (метризуемое или нет) также является однородным пространством и полно в конечной размерности, но, как правило, неполно в бесконечной размерности. В более общем смысле каждая коммутативная топологическая группа также является однородным пространством. Однако некоммутативная топологическая группа несет две однородные структуры: одна левоинвариантная, а другая правоинвариантная.

Нормированное, банахово, внутреннее произведение и гильбертовы пространства

Рис.7: Соотношения между математическими пространствами: нормированными, банаховыми и т. Д.

Векторы в евклидовом пространстве образуют линейное пространство, но каждый вектор ${displaystyle x}$ также имеет длину, другими словами, норму, ${displaystyle lVert xVert}$ . Вещественное или комплексное линейное пространство, наделенное нормой, называется нормированное пространство. Каждое нормированное пространство одновременно является линейным топологическим пространством и метрическим пространством. А Банахово пространство - полное нормированное пространство. Многие пространства последовательностей или функций являются бесконечномерными банаховыми пространствами.

Множество всех векторов нормы меньше единицы называется единичным шаром нормированного пространства. Это выпуклое центрально-симметричное множество, обычно не эллипсоид; например, это может быть многоугольник (на плоскости) или, в более общем смысле, многогранник (в произвольной конечной размерности). Закон параллелограмма (называемый также тождеством параллелограмма)

{displaystyle lVert x-yVert ^ {2} + lVert x + yVert ^ {2} = 2lVert xVert ^ {2} + 2lVert yVert ^ {2},}

обычно не работает в нормированных пространствах, но верно для векторов в евклидовых пространствах, что следует из того факта, что квадрат евклидовой нормы вектора является его внутренним произведением на себя, ${displaystyle lVert xVert ^ {2} = (x, x)}$ .

An внутреннее пространство продукта представляет собой действительное или комплексное линейное пространство, наделенное билинейной или, соответственно, полуторалинейной формой, удовлетворяющее некоторым условиям и называемое внутренним произведением. Каждое внутреннее пространство продукта также является нормированным пространством. Нормированное пространство лежит в основе внутреннего пространства продукта тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет закону параллелограмма или, что эквивалентно, если его единичный шар является эллипсоидом. Углы между векторами определены во внутренних пространствах продукта. А Гильбертово пространство определяется как полное внутреннее пространство продукта. (Некоторые авторы настаивают на том, что оно должно быть комплексным, другие допускают также вещественные гильбертовы пространства.) Многие пространства последовательностей или функций являются бесконечномерными гильбертовыми пространствами. Гильбертовы пространства очень важны для квантовая теория.^[11]

Все п-размерный вещественные внутренние пространства продукта изоморфны между собой. Можно сказать, что п-размерный Евклидово пространство - это п-размерный реальное внутреннее пространство продукта, забывшее свое происхождение.

Гладкие и римановы многообразия

Рис.8: Соотношения между математическими пространствами: гладкими, римановыми и т. Д.

Гладкие коллекторы не называются "пробелами", но могут быть. Каждое гладкое многообразие является топологическим многообразием и может быть вложено в конечномерное линейное пространство. Гладкие поверхности в конечномерном линейном пространстве - это гладкие многообразия: например, поверхность эллипсоида является гладким многообразием, а многогранник - нет. Вещественные или комплексные конечномерные линейные, аффинные и проективные пространства также являются гладкими многообразиями.

В каждой из своих точек гладкий путь в гладком многообразии имеет касательный вектор, который принадлежит касательному пространству многообразия в этой точке. Касательные пространства к п-размерный гладкое многообразие п-размерный линейные пространства. Дифференциал гладкой функции на гладком многообразии дает линейный функционал на касательном пространстве в каждой точке.

А Риманово многообразие, или пространство Римана, представляет собой гладкое многообразие, касательные пространства которого снабжены скалярными произведениями, удовлетворяющими некоторым условиям. Евклидовы пространства также являются римановыми пространствами. Гладкие поверхности в евклидовых пространствах - это римановы пространства. Гиперболический неевклидов пространство также является римановым пространством. Кривая в римановом пространстве имеет длину, а длина самой короткой кривой между двумя точками определяет расстояние, так что риманово пространство является метрическим пространством. Угол между двумя кривыми, пересекающимися в точке, - это угол между их касательными.

Отказавшись от положительности скалярных произведений на касательных пространствах, получаем псевдоримановы пространства, включая лоренцевы пространства, которые очень важны для общая теория относительности.

Измеряемое пространство, пространство меры и вероятностное пространство

Рис.9: Отношения между математическими пространствами: измеримое, мера и т. Д.

При отклонении расстояний и углов при сохранении объемов (геометрических тел) достигаются теория меры. Помимо объема, мера обобщает понятия площади, длины, распределения массы (или заряда), а также распределения вероятностей, согласно Андрея Колмогорова подход к теория вероятности.

«Геометрическое тело» классической математики гораздо более правильное, чем просто набор точек. Граница тела нулевого объема. Таким образом, объем тела - это объем его внутреннего пространства, а внутреннее пространство может быть исчерпано бесконечной последовательностью кубов. Напротив, граница произвольного набора точек может иметь ненулевой объем (пример: множество всех рациональных точек внутри данного куба). Теории меры удалось распространить понятие объема на обширный класс множеств, так называемые измеримые множества. Действительно, неизмеримые множества почти никогда не встречаются в приложениях.

Измеримые множества, заданные в измеримое пространство по определению приводят к измеримым функциям и картам. Чтобы превратить топологическое пространство в измеримое, наделяют его σ-алгебра. В σ-алгебра из Наборы Бореля это самый популярный, но не единственный выбор. (Наборы Baire, универсально измеримые множества и т. д., также иногда используются.) Топология не определяется однозначно σ-алгебра; например, топология нормы и слабая топология на отделяемый Гильбертово пространство приводит к тому же Борелевскому σ-алгебра.Не каждый σ-алгебра борель σ-алгебра какой-то топологии.^{[подробнее 4]}Собственно, σ-алгебра могут быть сгенерированы данным набором наборов (или функций) независимо от любой топологии. Каждое подмножество измеримого пространства само по себе является измеримым пространством.

Стандартные измеримые пространства (также называемые стандартные борелевские пространства ) особенно полезны из-за некоторого сходства с компактными пространствами (см. EoM ). Всякое биективное измеримое отображение между стандартными измеримыми пространствами является изоморфизмом; то есть обратное отображение также измеримо. И отображение между такими пространствами измеримо тогда и только тогда, когда его график измерим в пространстве продукта. Точно так же любое биективное непрерывное отображение между компактными метрическими пространствами является гомеоморфизмом; то есть обратное отображение также непрерывно. И отображение между такими пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда его график замкнут в пространстве произведения.

Каждое борелевское множество в евклидовом пространстве (и в более общем плане в полном сепарабельном метрическом пространстве), наделенное борелевским σ-алгебра, стандартное измеримое пространство. Все несчетные стандартные измеримые пространства изоморфны между собой.

А измерить пространство измеримое пространство, наделенное мерой. Евклидово пространство с Мера Лебега пространство меры. Теория интеграции определяет интегрируемость и интегралы измеримых функций на пространстве с мерой.

Наборы меры 0, называемые нулевыми наборами, незначительны. Соответственно, «изоморфизм по модулю 0» определяется как изоморфизм между подмножествами полной меры (то есть с незначительным дополнением).

А вероятностное пространство - это пространство с мерой, такое что мера всего пространства равна 1. Произведение любого семейства (конечного или нет) вероятностных пространств является вероятностным пространством. Напротив, для пространств с мерой в целом определяется только произведение конечного числа пространств. Соответственно, существует множество бесконечномерных вероятностных мер (особенно, Гауссовские меры ), но никаких бесконечномерных мер Лебега.

Стандартные вероятностные пространства находятся особенно полезно. На стандартном вероятностном пространстве условное ожидание можно рассматривать как интеграл по условной мере (регулярные условные вероятности, смотрите также распад меры ). Учитывая два стандартных вероятностных пространства, каждый гомоморфизм их алгебры меры индуцируется некоторым сохраняющим меру отображением. Каждая вероятностная мера на стандартном измеримом пространстве приводит к стандартному вероятностному пространству. Произведение последовательности (конечной или нет) стандартных вероятностных пространств является стандартным вероятностным пространством. Все неатомарные стандартные вероятностные пространства взаимно изоморфны по модулю 0; один из них - отрезок (0,1) с мерой Лебега.

Эти пространства менее геометрические. В частности, идея размерности, применимая (в той или иной форме) ко всем другим пространствам, не применима к измеримым, мерным и вероятностным пространствам.

Некоммутативная геометрия

Теоретическое изучение исчисления, известное как математический анализ, привело в начале 20 века к рассмотрению линейных пространств действительных или комплексных функций. Самые ранние примеры из них были функциональные пространства, каждый адаптировался к своему классу задач. Эти примеры обладали многими общими чертами, и вскоре эти особенности были перенесены в гильбертовы пространства, банаховы пространства и более общие топологические векторные пространства. Это был мощный инструментарий для решения широкого круга математических задач.

Наиболее подробную информацию несет класс пространств, называемых Банаховы алгебры. Это банаховы пространства вместе с операцией непрерывного умножения. Важным ранним примером была банахова алгебра существенно ограниченных измеримых функций на пространстве с мерой. Икс. Этот набор функций является банаховым пространством относительно поточечного сложения и скалярного умножения. Благодаря операции поточечного умножения оно становится особым типом банахова пространства, которое теперь называется коммутативным. алгебра фон Неймана. Поточечное умножение определяет представление этой алгебры в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на Икс. Раннее наблюдение Джон фон Нейман состояло в том, что это соответствие работает и в обратном направлении: при некоторых мягких технических гипотезах коммутативная алгебра фон Неймана вместе с представлением в гильбертовом пространстве определяет пространство с мерой, и эти две конструкции (алгебры фон Неймана плюс представление и меры пробел) взаимно обратны.

Затем фон Нейман предположил, что некоммутативные алгебры фон Неймана должны иметь геометрический смысл, точно так же, как коммутативные алгебры фон Неймана. Вместе с Фрэнсис Мюррей, он произвел классификацию алгебр фон Неймана. В прямой интеграл конструкция показывает, как любую алгебру фон Неймана разбить на набор более простых алгебр, называемых факторы. Фон Нейман и Мюррей разделили факторы на три типа. Тип I был почти идентичен коммутативному случаю. Типы II и III показали новые явления. Алгебра фон Неймана типа II определила геометрию с той особенностью, что размерность может быть любым неотрицательным действительным числом, а не только целым. Алгебры типа III не были ни типами I, ни II, и после нескольких десятилетий усилий было доказано, что они тесно связаны с факторами типа II.

Несколько иной подход к геометрии функциональных пространств был разработан одновременно с работой фон Неймана и Мюррея по классификации факторов. Такой подход - теория C * -алгебры. Здесь мотивирующим примером является C * -алгебра ${displaystyle C_ {0} (X)}$ , куда Икс является локально компактным хаусдорфовым топологическим пространством. По определению это алгебра непрерывных комплекснозначных функций на Икс которые исчезают на бесконечности (что примерно означает, что чем дальше вы уходите от выбранной точки, тем ближе функция к нулю) с помощью операций точечного сложения и умножения. В Теорема Гельфанда – Наймарка. подразумевается, что существует соответствие между коммутативными C * -алгебры и геометрические объекты: Все коммутативные C * -алгебра имеет форму ${displaystyle C_ {0} (X)}$ для некоторого локально компактного хаусдорфова пространства Икс. Следовательно, можно изучать локально компактные хаусдорфовы пространства исключительно в терминах коммутативных C * -алгебры. Некоммутативная геометрия вдохновляет это на изучение некоммутативных C * -алгебры: Если бы существовало такое понятие, как «некоммутативное пространство Икс, "тогда это ${displaystyle C_ {0} (X)}$ будет некоммутативным C * -алгебра; если дополнительно к этим несуществующим объектам применить теорему Гельфанда – Наймарка, то пространства (коммутативные или нет) будут такими же, как C * -алгебры; Итак, из-за отсутствия прямого подхода к определению некоммутативного пространства, некоммутативное пространство определенный быть некоммутативным C * -алгебра. Многие стандартные геометрические инструменты можно переформулировать с точки зрения C * -алгебры, и это дает основанные на геометрии методы изучения некоммутативных C * -алгебры.

Оба этих примера теперь являются случаями поля, называемого некоммутативная геометрия. Конкретные примеры алгебр фон Неймана и C * -алгебры известны как некоммутативная теория меры и некоммутативная топология соответственно. Некоммутативная геометрия - это не просто стремление к общности ради нее самой и не просто любопытство. Некоммутативные пространства естественным образом и даже неизбежно возникают из некоторых конструкций. Например, рассмотрим непериодический Мозаики Пенроуза самолета воздушными змеями и дротиками. Теорема гласит, что в таком тайлинге каждый конечный фрагмент воздушных змеев и дротиков появляется бесконечно часто. Как следствие, невозможно различить две мозаики Пенроуза, глядя на конечную часть. Это делает невозможным присвоение множеству всех мозаик топологии в традиционном смысле. Несмотря на это, мозаики Пенроуза определяют некоммутативный C * -алгебра, и, следовательно, их можно изучать методами некоммутативной геометрии. Еще один пример, представляющий большой интерес в дифференциальная геометрия, происходит от слоения многообразий. Это способы разбиения многообразия на подмногообразия меньшей размерности, называемые листья, каждый из которых локально параллелен другим поблизости. Набор всех листьев можно превратить в топологическое пространство. Однако пример иррациональное вращение показывает, что это топологическое пространство может быть недоступно для техники классической теории меры. Однако существует некоммутативная алгебра фон Неймана, связанная с листовым пространством слоения, и это опять же придает непонятному в остальном пространстве хорошую геометрическую структуру.

Схемы

Рис.10: Соотношения между математическими пространствами: схемы, стопки и т. Д.

Алгебраическая геометрия изучает геометрические свойства многочлен уравнения. Полиномы - это тип функции, определяемый основными арифметическими операциями сложения и умножения. Из-за этого они тесно связаны с алгеброй. Алгебраическая геометрия предлагает способ применения геометрических методов к вопросам чистой алгебры и наоборот.

До 1940-х годов алгебраическая геометрия работала исключительно над комплексными числами, и наиболее фундаментальной разновидностью было проективное пространство. Геометрия проективного пространства тесно связана с теорией перспектива, а его алгебра описывается формулой однородные многочлены. Все остальные разновидности были определены как подмножества проективного пространства. Проективные многообразия - это подмножества, определяемые набором однородных многочленов. В каждой точке проективного многообразия все многочлены в наборе должны были равняться нулю. Дополнение нулевого множества линейного многочлена - это аффинное пространство, а аффинное многообразие - это пересечение проективного многообразия с аффинным пространством.

Андре Вайль увидел, что геометрические рассуждения могут иногда применяться в теоретико-числовых ситуациях, когда рассматриваемые пространства могут быть дискретными или даже конечными. Преследуя эту идею, Вейль переписал основы алгебраической геометрии, освободив алгебраическую геометрию от ее зависимости от комплексных чисел и введя абстрактные алгебраические многообразия которые не были вложены в проективное пространство. Теперь они просто называются разновидности.

Тип пространства, лежащего в основе большей части современной алгебраической геометрии, даже более общий, чем абстрактные алгебраические многообразия Вейля. Он был представлен Александр Гротендик и называется схема. Одним из мотивов теории схем является то, что многочлены необычно структурированы среди функций, и, следовательно, алгебраические многообразия являются жесткими. Это создает проблемы при попытке изучить вырожденные ситуации. Например, почти любая пара точек на окружности определяет уникальную линию, называемую секущей линией, и когда две точки движутся по окружности, секущая линия непрерывно изменяется. Однако, когда две точки сталкиваются, секущая линия вырождается в касательную. Касательная линия уникальна, но геометрия этой конфигурации - единственная точка на окружности - недостаточно выразительна, чтобы определить уникальную линию. Изучение подобных ситуаций требует теории, способной назначать дополнительные данные для вырожденных ситуаций.

Одним из строительных блоков схемы является топологическое пространство. Топологические пространства имеют непрерывные функции, но непрерывные функции слишком общие, чтобы отражать интересующую алгебраическую структуру. Другим ингредиентом схемы, следовательно, является пучок на топологическом пространстве, называемом «структурным пучком». На каждом открытом подмножестве топологического пространства пучок определяет набор функций, называемых «регулярными функциями». Топологическое пространство и структурный пучок вместе должны удовлетворять условиям, которые означают, что функции происходят из алгебраических операций.

Как и многообразия, схемы определяются как пространства, которые локально моделируются на знакомом пространстве. В случае многообразий знакомое пространство - это евклидово пространство. Для схемы локальные модели называются аффинные схемы. Аффинные схемы обеспечивают прямую связь между алгебраической геометрией и коммутативная алгебра. Основными объектами изучения коммутативной алгебры являются: коммутативные кольца. Если ${displaystyle R}$ коммутативное кольцо, то существует соответствующая аффинная схема ${displaystyle operatorname {Spec} R}$ что переводит алгебраическую структуру ${displaystyle R}$ в геометрию. Наоборот, всякая аффинная схема определяет коммутативное кольцо, а именно кольцо глобальных сечений его структурного пучка. Эти две операции взаимно обратны, поэтому аффинные схемы предоставляют новый язык для изучения вопросов коммутативной алгебры. По определению каждая точка схемы имеет открытую окрестность, которая является аффинной схемой.

Есть много схем, которые не являются аффинными. В частности, проективные пространства удовлетворяют условию, называемому правильность что аналогично компактности. Аффинные схемы не могут быть правильными (за исключением тривиальных ситуаций, например, когда схема имеет только одну точку), и, следовательно, никакое проективное пространство не является аффинной схемой (за исключением нульмерных проективных пространств). Проективные схемы, то есть схемы, возникающие как замкнутые подсхемы проективного пространства, являются единственным наиболее важным семейством схем.^[12]

Введено несколько обобщений схем. Майкл Артин определил алгебраическое пространство как частное от схемы по отношения эквивалентности которые определяют этальные морфизмы. Алгебраические пространства сохраняют многие полезные свойства схем, одновременно будучи более гибкими. Например, Теорема Киля – Мори можно использовать, чтобы показать, что многие пространства модулей являются алгебраическими пространствами.

Более общим, чем алгебраическое пространство, является Стек Делин-Мамфорд. Стеки DM похожи на схемы, но они допускают особенности, которые не могут быть описаны только в терминах полиномов. Они играют ту же роль для схем, которые орбифолды делать для коллекторы. Например, отношение аффинной плоскости к конечной группа вращений вокруг начала координат дает стек Делиня – Мамфорда, который не является схемой или алгебраическим пространством. Вдали от начала координат фактор по действию группы идентифицирует конечные наборы равноотстоящих точек на окружности. Но в начале координат круг состоит только из одной точки, самого начала, и действие группы фиксирует эту точку. Однако в стеке частных DM эта точка имеет дополнительные данные о частном. Такая уточненная структура полезна в теории пространств модулей, и фактически она была первоначально введена для описания модули алгебраических кривых.

Дальнейшее обобщение: алгебраические стеки, также называемые стеками Артина. Стеки DM ограничены факторами по действиям конечной группы. Хотя этого достаточно для многих задач теории модулей, он слишком ограничивает другие, и стеки Артина допускают более общие факторы.

Topoi

Рис.11: Отношения между математическими пространствами: локали, топои и т. Д.

В работе Гротендика над Гипотезы Вейля, он представил новый тип топологии, который теперь называется Топология Гротендика. Топологическое пространство (в обычном смысле) аксиоматизирует понятие «близости», делая две точки рядом, если и только если они лежат во многих из одних и тех же открытых множеств. Напротив, топология Гротендика аксиоматизирует понятие «покрытие». Покрытие пространства - это набор подпространств, которые вместе содержат всю информацию окружающего пространства. Поскольку пучки определены в терминах покрытий, топологию Гротендика можно также рассматривать как аксиоматизацию теории пучков.

Работа Гротендика над его топологиями привела его к теории Topoi. В своих мемуарах Récoltes et Semailles, он назвал их своим «самым обширным замыслом».^[13] Пучок (либо в топологическом пространстве, либо по топологии Гротендика) используется для выражения локальных данных. В категория всех связок содержит все возможные способы выражения локальных данных. Поскольку топологические пространства построены из точек, которые сами по себе являются своего рода локальными данными, категорию пучков можно использовать в качестве замены исходного пространства. Следовательно, Гротендик определил топос как категорию пучков и изучал топос как самостоятельные объекты интереса. Теперь они называются Grothendieck topoi.

Каждое топологическое пространство определяет топос, и наоборот. Есть топологические пространства, где при взятии связанных топосов теряется информация, но они обычно считаются патологическими. (Необходимым и достаточным условием является то, что топологическое пространство является трезвое пространство.) И наоборот, есть топосы, ассоциированные топологические пространства которых не захватывают исходные топосы. Но эти топои далеко не патологические, они могут представлять большой математический интерес. Например, теория Гротендика этальные когомологии (что в конечном итоге привело к доказательству гипотез Вейля) можно сформулировать как когомологии этальных топосов схемы, и этот топос не происходит из топологического пространства.

Фактически, топологические пространства приводят к очень специфическим топосам, называемым локации. Набор открытых подмножеств топологического пространства определяет решетка. Аксиомы топологического пространства приводят к тому, что эти решетки полные алгебры Гейтинга. Теория локалей берет это за отправную точку. Локаль определяется как полная алгебра Гейтинга, и элементарные свойства топологических пространств повторно выражаются и опровергаются в этих терминах. Понятие локали оказывается более общим, чем топологическое пространство, в том смысле, что каждое трезвое топологическое пространство определяет уникальную локаль, но многие интересные локали происходят не из топологических пространств. Поскольку у локаций не обязательно должны быть баллы, изучение локаций в шутку называют бессмысленная топология.

Топои также демонстрируют глубокие связи с математической логикой. Каждый топос Гротендика имеет специальный пучок, называемый классификатором подобъектов. Этот классификатор подобъектов функционирует как набор всех возможных значений истинности. В топосе множеств классификатором подобъектов является множество ${displaystyle {0,1}}$ , что соответствует «Ложь» и «Истина». Но в других топоях классификатор подобъектов может быть намного сложнее. Лавер и Тирни признал, что аксиоматизация классификатора подобъектов привела к появлению более общего вида топосов, теперь известных как элементарные топосы, и эти элементарные топосы были моделями интуиционистская логика. Помимо предоставления мощного способа применения инструментов от логики к геометрии, это сделало возможным использование геометрических методов в логике.

Пространства и конструкции

По словам Кевина Карлсона,

Ни одно из этих слов [«пространство» и «структура»] не имеет единого математического определения. Английские слова можно использовать практически во всех одних и тех же ситуациях, но вы часто думаете о «пространстве» как о более геометрическом, а о «структуре» как о более алгебраическом. [...] Итак, вы можете думать о «структурах» как о местах, где мы занимаемся алгеброй, а о «пространствах» как о местах, где мы занимаемся геометрией. Затем большая часть великой математики пришла из перехода от структур к пространствам и наоборот, как когда мы смотрим на фундаментальная группа топологического пространства или спектр кольца. Но, в конце концов, различие не является ни жестким, ни быстрым, и заходит так далеко: многие вещи, очевидно, являются одновременно структурами и пространствами, некоторые вещи также не очевидны, и некоторые люди вполне могут не согласиться со всем, что я здесь сказал.^[1]

Тем не менее, Бурбаки предложил общее определение «структуры»;^[2] он охватывает все типы пространств упомянутые выше (почти?) все типы математических структур, используемые до сих пор, и многое другое. Он дает общее определение изоморфизма и оправдывает перенос свойств между изоморфными структурами. Однако он никогда активно не использовался в математической практике (даже в математических трактатах, написанных самим Бурбаки). Вот последние фразы из обзора Роберта Рида.^[14] книги Лео Корри:

Корри, кажется, не чувствует этого любой формальное определение структуры может отдать должное использованию этого понятия в реальной математической практике [...] Точка зрения Корри может быть резюмирована как убеждение, что «структура» по существу относится к способу делает математика, и, следовательно, это понятие, вероятно, столь же далекое от того, чтобы быть точно определимым, как культурный артефакт самой математики.

Для получения дополнительной информации о математических структурах см. Википедию: математическая структура, эквивалентные определения математических структур, и транспортировка конструкции.

Различие между геометрическими «пространствами» и алгебраическими «структурами» иногда очевидно, иногда неуловимо. Четко, группы являются алгебраическими, а Евклидовы пространства геометрические. Модули над кольца столь же алгебраичны, как и группы. В частности, когда кольцо кажется полем, то модуль кажется линейным пространством; это алгебраический или геометрический? В частности, когда оно конечномерно, над действительными числами и наделен внутренним продуктом, Это становится евклидовым пространством; теперь геометрический. (Алгебраический?) поле действительных чисел такой же, как (геометрический?) реальная линия. Его алгебраическое замыкание, (алгебраический?) поле комплексных чисел, совпадает с (геометрическим?) комплексная плоскость. Это прежде всего "место, где мы делаем анализ "(а не алгебра или геометрия).

Каждое пространство, рассматриваемое в разделе "Типы пространств выше, за исключением подразделов «Некоммутативная геометрия», «Схемы» и «Топои», представляет собой набор («основной базовый набор» структуры, согласно Бурбаки), наделенный некоторой дополнительной структурой; элементы базового множества обычно называются «точками» этого пространства, тогда как элементы (базового набора) алгебраической структуры обычно не называют «точками».

Однако иногда используется более одного основного базового набора. Например, двумерная проективная геометрия может быть формализована двумя базовыми наборами, набор точек и набор линий. Более того, Отличительной чертой проективных плоскостей является симметрия ролей точек и линий.. Менее геометрический пример: график может быть формализована двумя базовыми наборами, набор вершин (называемых также узлами или точками) и набор ребер (называемых также дугами или линиями). В общем, конечное число основных базовых множеств и конечное количество вспомогательных базовых множеств предусмотрены Бурбаки.

Многие математические структуры геометрического типа, рассматриваемые в подразделах «Некоммутативная геометрия», «Схемы» и «Топои» выше, не предусматривают базовый набор точек. Например, "бессмысленная топология "(другими словами, бесточечная топология или теория локалей) начинается с единственного базового набора, элементы которого имитируют открытые множества в топологическом пространстве (но не являются наборами точек); см. также мереотопология и безточечная геометрия.

Математические пространства по имени

Смотрите также

Примечания

^ Аналогичным образом используются несколько типов чисел (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные); у каждого свое определение; но просто «число» не используется как математическое понятие и не имеет определения.
^ ^а ^б Реформатский Гильберта, Тарского и Биркгофа чтобы избежать скрытых предположений, содержащихся в Элементы Евклида.
^ Например, комплексная плоскость рассматриваемое как одномерное комплексное линейное пространство, может быть понижено до двумерного реального линейного пространства. Напротив, реальную линию можно рассматривать как одномерное реальное линейное пространство, но не как сложное линейное пространство. Смотрите также расширения полей.
^ Космос ${displaystyle 2 ^ {mathbb {R}}}$ (оборудован тензорное произведение σ-алгебра) имеет измеримую структуру, не порожденную топологией. Блестящее доказательство можно найти в этот ответ на MathOverflow.

Сноски

^ ^а ^б Карлсон, Кевин (2 августа 2012 г.). «Разница между« пространством »и« математической структурой »?». Обмен стеком.
^ ^а ^б ^c ^d ^е Бурбаки 1968, Глава IV
^ Ито 1993, стр.987
^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я ^j ^k ^л ^м ^п ^о Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики. Массон (оригинал), Спрингер (перевод). Дои:10.1007/978-3-642-61693-8. ISBN 978-3-540-64767-6.
^ Грей, Джереми (1989). Идеи пространства: евклидово, неевклидово и релятивистское (второе изд.). Clarendon Press. ISBN 978-0198539353.
^ Галлье, Жан (2011). «Основы евклидовой геометрии». Геометрические методы и приложения. Тексты по прикладной математике. 38. Springer. С. 177–212. Дои:10.1007/978-1-4419-9961-0_6. ISBN 978-1-4419-9960-3. Смотрите также OpenCourseWare.
^ Пудлак, Павел (2013). Логические основы математики и вычислительная сложность: мягкое введение. Монографии Спрингера по математике. Springer. Дои:10.1007/978-3-319-00119-7. ISBN 978-3-319-00118-0.
^ Бурбаки 1968, стр. 385
^ Бурбаки 1968, Раздел IV.1.6
^ Бурбаки 1968, Раздел IV.1.7
^ Ланцош, Корнелиус (1970). Пространство сквозь века: эволюция геометрических идей от Пифагора до Гильберта и Эйнштейна. Академическая пресса. п.269. ISBN 978-0124358508.
^ Эйзенбуд и Харрис 2000.
^ "Si le thème des schémas est com le coeur de la géométrie nouvelle, le thème du topos en est l'enveloppe, ou la demeure. Il est ce que j'ai conçu de plus vaste, pour saisir avec finesse, par un même langage riche en résonances géométriques, une "entity" commune à despositions des plus éloignées les unes des autres, provant de telle région или de telle autre du vaste universal des choses mathématiques ". Récoltes et Semailles, стр. P43.
^ Рид, Роберт С. (2000). "Лео Корри, Современная алгебра и рост математических структур". Рассмотрение. Современная логика. 8 (1–2): 182–190.

внешняя ссылка

СМИ, связанные с Космос (математика) в Wikimedia Commons
Матильда Марколли (2009) Понятие пространства в математике, из Калтех.

[2] Аналогичным образом используются несколько типов чисел (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные); у каждого свое определение; но просто «число» не используется как математическое понятие и не имеет определения.

[axioms-3] а ^б Реформатский Гильберта, Тарского и Биркгофа чтобы избежать скрытых предположений, содержащихся в Элементы Евклида.

[13] Например, комплексная плоскость рассматриваемое как одномерное комплексное линейное пространство, может быть понижено до двумерного реального линейного пространства. Напротив, реальную линию можно рассматривать как одномерное реальное линейное пространство, но не как сложное линейное пространство. Смотрите также расширения полей.

[15] Космос ${displaystyle 2 ^ {mathbb {R}}}$ (оборудован тензорное произведение σ-алгебра) имеет измеримую структуру, не порожденную топологией. Блестящее доказательство можно найти в этот ответ на MathOverflow.

[carlson-1] а ^б Карлсон, Кевин (2 августа 2012 г.). «Разница между« пространством »и« математической структурой »?». Обмен стеком.

[BS-4] а ^б ^c ^d ^е Бурбаки 1968, Глава IV

[EDM987-5] Ито 1993, стр.987

[Bb94-6] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я ^j ^k ^л ^м ^п ^о Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики. Массон (оригинал), Спрингер (перевод). Дои:10.1007/978-3-642-61693-8. ISBN 978-3-540-64767-6.

[7] Грей, Джереми (1989). Идеи пространства: евклидово, неевклидово и релятивистское (второе изд.). Clarendon Press. ISBN 978-0198539353.

[8] Галлье, Жан (2011). «Основы евклидовой геометрии». Геометрические методы и приложения. Тексты по прикладной математике. 38. Springer. С. 177–212. Дои:10.1007/978-1-4419-9961-0_6. ISBN 978-1-4419-9960-3. Смотрите также OpenCourseWare.

[9] Пудлак, Павел (2013). Логические основы математики и вычислительная сложность: мягкое введение. Монографии Спрингера по математике. Springer. Дои:10.1007/978-3-319-00119-7. ISBN 978-3-319-00118-0.

[BSr385-10] Бурбаки 1968, стр. 385

[B-IV.1.6-11] Бурбаки 1968, Раздел IV.1.6

[B-IV.1.7-12] Бурбаки 1968, Раздел IV.1.7

[14] Ланцош, Корнелиус (1970). Пространство сквозь века: эволюция геометрических идей от Пифагора до Гильберта и Эйнштейна. Академическая пресса. п.269. ISBN 978-0124358508.

[FOOTNOTEEisenbudHarris2000-16] Эйзенбуд и Харрис 2000.

[17] "Si le thème des schémas est com le coeur de la géométrie nouvelle, le thème du topos en est l'enveloppe, ou la demeure. Il est ce que j'ai conçu de plus vaste, pour saisir avec finesse, par un même langage riche en résonances géométriques, une "entity" commune à despositions des plus éloignées les unes des autres, provant de telle région или de telle autre du vaste universal des choses mathématiques ". Récoltes et Semailles, стр. P43.

[18] Рид, Роберт С. (2000). "Лео Корри, Современная алгебра и рост математических структур". Рассмотрение. Современная логика. 8 (1–2): 182–190.

[1]

[подробнее 1]

[подробнее 2]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[подробнее 3]

[11]

[подробнее 4]

[12]

[13]

[14]