Пространство Берковича - Berkovich space

В математика, а Пространство Берковича, представлен Беркович  (1990 ), является вариантом аналитического пространства над неархимедово поле (например. п-адическое поле ), уточняя представление Тейта о жесткое аналитическое пространство.

Мотивация

в сложный дело, алгебраическая геометрия начинается с определения сложного аффинного пространства как ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ Для каждого ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n},}$ мы определяем ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U},}$ то звенеть из аналитические функции на ${\displaystyle U}$ быть кольцом голоморфные функции, т.е. функционирует на ${\displaystyle U}$ который может быть записан как сходящийся степенной ряд в район каждой точки.

Затем мы определяем пространство локальной модели для ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathcal {O}}_{U}}$ быть

${\displaystyle X:=\{x\in U:f_{1}(x)=\cdots =f_{n}(x)=0\}}$

с ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{n}).}$ А сложное аналитическое пространство локально окольцованный ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Космос ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ которое локально изоморфно локальному модельному пространству.

Когда ${\displaystyle k}$ это полный неархимедово поле, мы имеем ${\displaystyle k}$ является полностью отключен. В таком случае, если мы продолжим то же определение, что и в сложном случае, мы не получим хорошей аналитической теории. Беркович дал определение, которое дает хорошие аналитические пространства над такими ${\displaystyle k}$, а также возвращает обычное определение над ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

В дополнение к определению аналитических функций над неархимедовыми полями пространства Берковича также имеют приятную основу топологическое пространство.

Спектр Берковича

А полунорма на кольце ${\displaystyle A}$ непостоянная функция ${\displaystyle |\!-\!|:A\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ такой, что

${\displaystyle {\begin{aligned}|0|&=0\\|1|&=1\\|f+g|&\leqslant |f|+|g|\\|fg|&\leqslant |f||g|\end{aligned}}}$

для всех ${\displaystyle f,g\in A}$. Это называется мультипликативный если ${\displaystyle |fg|=|f||g|}$ и называется норма если ${\displaystyle |f|=0}$ подразумевает ${\displaystyle f=0}$.

Если ${\displaystyle A}$ нормированное кольцо с нормой ${\displaystyle \|\!-\!\|}$ затем Спектр Берковича из ${\displaystyle A}$, обозначенный ${\displaystyle {\mathcal {M}}(A)}$, это набор мультипликативных полунорм на ${\displaystyle A}$ ограниченные нормой ${\displaystyle A}$.

Спектр Берковича снабжен самым слабым топология такой, что для любого ${\displaystyle f\in A}$ карта

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi _{f}:{\mathcal {M}}(A)\to \mathbb {R} \\|\cdot |\mapsto |f|\end{cases}}}$

является непрерывный.

Спектр Берковича нормированного кольца ${\displaystyle A}$ является непустой если ${\displaystyle A}$ является ненулевой и является компактный если ${\displaystyle A}$ завершено.

Если ${\displaystyle x}$ является точкой спектра ${\displaystyle A}$ тогда элементы ${\displaystyle f}$ с ${\displaystyle |f|_{x}=0}$ сформировать главный идеал из ${\displaystyle A}$. В поле частного фактора по этому простому идеалу есть нормированное поле, пополнение которого есть полное поле с мультипликативной нормой; это поле обозначается ${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$ и изображение элемента ${\displaystyle f\in A}$ обозначается ${\displaystyle f(x)}$. Поле ${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$ порождается изображением ${\displaystyle A}$.

Обратно ограниченное отображение из ${\displaystyle A}$ к полному нормированному полю с мультипликативной нормой, порожденным образом ${\displaystyle A}$ дает точку в спектре ${\displaystyle A}$.

Спектральный радиус ${\displaystyle f,}$

${\displaystyle \rho (f)=\lim _{n\to \infty }\left\|f^{n}\right\|^{\frac {1}{n}}}$

равно

${\displaystyle \sup _{x\in {\mathcal {M}}(A)}|f|_{x}.}$

Примеры

• Спектр поля, завершенного относительно оценки, представляет собой единственную точку, соответствующую его оценке.

• Если ${\displaystyle A}$ это коммутативная C * -алгебра то спектр Берковича совпадает с Спектр Гельфанда. Точка спектра Гельфанда - это, по сути, гомоморфизм к ${\displaystyle \mathbb {C} }$, а по модулю - соответствующая полунорма в спектре Берковича.

• Теорема Островского показывает, что спектр Берковича целые числа (с обычной нормой) состоит из степеней ${\displaystyle |f|_{p}^{\varepsilon }}$ обычной оценки, для ${\displaystyle p}$ а основной или же ${\displaystyle \infty }$. Если ${\displaystyle p}$ тогда простое число ${\displaystyle 0\leqslant \varepsilon \leqslant \infty ,}$ и если ${\displaystyle p=\infty }$ тогда ${\displaystyle 0\leqslant \varepsilon \leqslant 1.}$ Когда ${\displaystyle \varepsilon =0}$ все они совпадают с тривиальной оценкой, которая ${\displaystyle 1}$ на всех ненулевых элементах. Для каждого ${\displaystyle p}$ (простое число или бесконечность) мы получаем ветвь, которая гомеоморфный к настоящему интервал, ветви встречаются в точке, соответствующей тривиальной оценке. Открытые окрестности тривиальных оценок таковы, что они содержат все ветви, кроме конечного, и их пересечение с каждой ветвью открыто.

Аффинное пространство Берковича

Если ${\displaystyle k}$ это поле с оценка, то п-мерное аффинное пространство Берковича над ${\displaystyle k}$, обозначенный ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$, - множество мультипликативных полунорм на ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ распространяя норму на ${\displaystyle k}$.

Аффинное пространство Берковича оснащено самой слабой топологией, такой что для любого ${\displaystyle f\in k}$ карта ${\displaystyle \varphi _{f}:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {R} }$ принимая ${\displaystyle |\cdot |\in \mathbb {A} ^{n}}$ к ${\displaystyle |f|}$ является непрерывным, это не спектр Берковича, а возрастающее объединение спектров Берковича кольца степенных рядов, сходящиеся в некотором шаре (поэтому он локально компактен).

Определим аналитическую функцию на открытом подмножестве ${\displaystyle U\subset \mathbb {A} ^{n}}$ это карта

${\displaystyle f:U\to \prod _{x\in U}{\mathcal {H}}(x)}$

с ${\displaystyle f(x)\in {\mathcal {H}}(x)}$ который является локальным пределом рациональных функций, т. е. таким, что каждая точка ${\displaystyle x\in U}$ имеет открытый район ${\displaystyle U'\subset U}$ со следующим свойством:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists g,h\in {\mathcal {k}}[x_{1},\ldots ,x_{n}]:\qquad \forall x'\in U'\left(h(x')\neq 0\ \,\land \ \left|f(x')-{\frac {g(x')}{h(x')}}\right|<\varepsilon \right).}$

Продолжая с теми же определениями, что и в комплексном случае, можно определить кольцо аналитических функций, локальное модельное пространство и аналитические пространства над любым полем с оценкой (можно также определить подобные объекты над нормированными кольцами). Это дает разумные объекты для полей, полных относительно нетривиальной оценки и кольца целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

В случае, когда ${\displaystyle k=\mathbb {C} ,}$ это даст те же объекты, что описаны в разделе мотивации.

Не все эти аналитические пространства являются аналитическими пространствами над неархимедовыми полями.

Аффинная линия Берковича

В 1-мерное аффинное пространство Берковича называется Аффинная линия Берковича. Когда ${\displaystyle k}$ алгебраически замкнутый неархимедово поле, с учетом его оценки, можно описать все точки аффинной линии.

Есть канонический встраивание ${\displaystyle k\hookrightarrow \mathbb {A} _{k}^{1}}$ .

Космос ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ является локально компактным, Хаусдорф, и однозначно соединенный путём топологическое пространство, содержащее ${\displaystyle k}$ как плотный подпространство.

Можно также определить проективную прямую Берковича ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ путем присоединения к ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$подходящим образом - бесконечно удаленную точку. Полученное пространство представляет собой компактное хаусдорфово однозначно линейно связное топологическое пространство, содержащее ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(k)}$ как плотное подпространство.

Рекомендации

• Бейкер, Мэтью; Конрад, Брайан; Дасгупта, Самит; Кедлая, Киран С.; Тейтельбаум, Джереми (2008), Такур, Динеш С .; Савитт, Дэвид (ред.), p-адическая геометрия, Серия университетских лекций, 45, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4468-7, МИСТЕР  2482343
• Бейкер, Мэтью; Рамели, Роберт (2010), Теория потенциала и динамика на проективной прямой Берковича, Математические обзоры и монографии, 159, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4924-8, МИСТЕР  2599526
• Беркович, Владимир Григорьевич (1990), Спектральная теория и аналитическая геометрия над неархимедовыми полями, Математические обзоры и монографии, 33, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1534-2, МИСТЕР  1070709
• Беркович, Владимир Григорьевич (1993), «Этальные когомологии для неархимедовых аналитических пространств», Публикации Mathématiques de l'IHÉS (78): 5–161, ISSN  1618-1913, МИСТЕР  1259429

внешняя ссылка

• Пространство Берковича в nLab
• Institut de Mathématiques de Jussieu Летняя школа «Пространства Берковича» 2010