Измеряемое пространство - Measurable space

Не путать с Измерьте пространство.

В математика, а измеримое пространство или Борелевское пространство^[1] это базовый объект в теория меры. Он состоит из набор и σ-алгебра, что определяет подмножества что будет измерено.

Определение

Рассмотрим набор ${\displaystyle X}$ и σ-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ на ${\displaystyle X}$. Тогда кортеж ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ называется измеримым пространством.^[2]

Обратите внимание, что в отличие от измерить пространство, нет мера необходим для измеримого пространства.

пример

Посмотри на набор

${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$

Один возможный ${\displaystyle \sigma }$-алгебра была бы

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}.}$

потом ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{1})}$ измеримое пространство. Другой возможный ${\displaystyle \sigma }$-алгебра была бы набор мощности на ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$

При этом второе измеримое пространство на множестве ${\displaystyle X}$ дан кем-то ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{2})}$.

Общие измеримые пространства

Если ${\displaystyle X}$ конечна или счетно бесконечна, ${\displaystyle \sigma }$-алгебра в большинстве случаев набор мощности на ${\displaystyle X}$, так ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)}$. Это приводит к измеримому пространству ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X))}$.

Если ${\displaystyle X}$ это топологическое пространство, то ${\displaystyle \sigma }$-алгебра чаще всего Борель ${\displaystyle \sigma }$-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, так ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X)}$. Это приводит к измеримому пространству ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$ что является общим для всех топологических пространств, таких как действительные числа ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Неоднозначность с борелевскими пространствами

Термин борелевское пространство используется для обозначения различных типов измеримых пространств. Это может относиться к

• любое измеримое пространство, поэтому оно является синонимом измеримого пространства, как определено выше ^[1]
• измеримое пространство, которое Борелевский изоморфный измеримому подмножеству действительных чисел (опять же с борелевским ${\displaystyle \sigma }$-алгебра)^[3]

использованная литература

1. Сазонов, В. (2001) [1994], «Измеримое пространство», Энциклопедия математики, EMS Press
2. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.18. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
3. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Теория вероятностей и стохастическое моделирование. 77. Швейцария: Спрингер. п. 15. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.