Теорема распада - Disintegration theorem

В математика, то теорема распада это результат теория меры и теория вероятности. Он строго определяет идею нетривиального «ограничения» мера к измерять ноль подмножество измерить пространство обсуждаемый. Это связано с существованием условно-вероятностные меры. В некотором смысле «распад» - это процесс, противоположный построению мера продукта.

Мотивация

Рассмотрим единичный квадрат в Евклидова плоскость р², S = [0, 1] × [0, 1]. Рассмотрим вероятностная мера μ определяется на S ограничением двумерного Мера Лебега λ² к S. То есть вероятность события E ⊆ S это просто область E. Мы предполагаем E является измеримым подмножеством S.

Рассмотрим одномерное подмножество S например, отрезок линии L_Икс = {Икс} × [0, 1]. L_Икс имеет нулевую μ-меру; каждое подмножество L_Икс является μ-нулевой набор; поскольку пространство с мерой Лебега является полное пространство измерения,

${displaystyle Esubseteq L_{x}implies mu (E)=0.}$

Хотя это правда, это несколько неудовлетворительно. Было бы неплохо сказать, что μ «ограничено» L_Икс - одномерная мера Лебега λ¹, а не нулевая мера. Вероятность «двумерного» события E затем можно получить как интеграл одномерных вероятностей вертикальных «срезов» E ∩ L_Икс: более формально, если μ_Икс обозначает одномерную меру Лебега на L_Икс, тогда

${displaystyle mu (E)=int _{[0,1]}mu _{x}(Ecap L_{x}),mathrm {d} x}$

на любой "красивый" E ⊆ S. Теорема о дезинтеграции делает этот аргумент строгим в контексте мер на метрические пространства.

Формулировка теоремы

(Здесь и далее п(Икс) будет обозначать совокупность Борель вероятностные меры на метрическое пространство (Икс, d).) Предположения теоремы следующие:

• Позволять Y и Икс быть двумя Радоновые пространства (т.е. топологическое пространство так что каждый Борель вероятностная мера на M является внутренний регулярный например отделяемый метрических пространств, на которых каждая вероятностная мера является Радоновая мера ).
• Пусть μ ∈ п(Y).
• Пусть π: Y → Икс быть борелем-измеримая функция. Здесь следует думать о π как о функции «распада». Y, в смысле разбиения Y в ${displaystyle {pi ^{-1}(x) | xin X}}$. Например, для приведенного выше мотивационного примера можно определить ${displaystyle pi ((a,b))=a,(a,b)in [0,1] imes [0,1]}$, что дает ${displaystyle pi ^{-1}(a)=a imes [0,1]}$, срез, который мы хотим захватить.
• Позволять ${displaystyle u }$ ∈ п(Икс) быть предварительная мера ${displaystyle u }$ = π_∗(μ) = μ ∘ π⁻¹. Эта мера обеспечивает распределение x (что соответствует событиям ${displaystyle pi ^{-1}(x)}$).

Заключение теоремы: существует ${displaystyle u }$-почти всюду однозначно определенное семейство вероятностных мер {μ_Икс}_{Икс∈Икс} ⊆ п(Y), что обеспечивает «распад» ${displaystyle mu }$в ${displaystyle {mu _{x}}_{xin X}}$), такое что:

• функция ${displaystyle xmapsto mu _{x}}$ измерима по Борелю в том смысле, что ${displaystyle xmapsto mu _{x}(B)}$ является измеримой по Борелю функцией для каждого измеримого по Борелю множества B ⊆ Y;
• μ_Икс "живет" на волокно π⁻¹(Икс): за ${displaystyle u }$-почти все Икс ∈ Икс,

${displaystyle mu _{x}left(Ysetminus pi ^{-1}(x)ight)=0,}$

и поэтому μ_Икс(E) = μ_Икс(E ∩ π⁻¹(Икс));

• для любой измеримой по Борелю функции ж : Y → [0, ∞],

${displaystyle int _{Y}f(y),mathrm {d} mu (y)=int _{X}int _{pi ^{-1}(x)}f(y),mathrm {d} mu _{x}(y)mathrm {d} u (x).}$

В частности, на любое мероприятие E ⊆ Y, принимая ж быть индикаторная функция из E,^[1]

${displaystyle mu (E)=int _{X}mu _{x}left(Eight),mathrm {d} u (x).}$

Приложения

Пространства продуктов

Исходный пример был частным случаем проблемы пространств продукта, к которой применима теорема о дезинтеграции.

Когда Y записывается как Декартово произведение Y = Икс₁ × Икс₂ и π_я : Y → Икс_я это естественно проекция, то каждое волокно π₁⁻¹(Икс₁) возможно канонически отождествляется с Икс₂ и существует борелевское семейство вероятностных мер ${displaystyle {mu _{x_{1}}}_{x_{1}in X_{1}}}$ в п(Икс₂) (что есть (π₁)_∗(μ) -почти всюду однозначно определено) такое, что

${displaystyle mu =int _{X_{1}}mu _{x_{1}},mu left(pi _{1}^{-1}(mathrm {d} x_{1})ight)=int _{X_{1}}mu _{x_{1}},mathrm {d} (pi _{1})_{*}(mu )(x_{1}),}$

что в частности

${displaystyle int _{X_{1} imes X_{2}}f(x_{1},x_{2}),mu (mathrm {d} x_{1},mathrm {d} x_{2})=int _{X_{1}}left(int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})mu (mathrm {d} x_{2}|x_{1})ight)mu left(pi _{1}^{-1}(mathrm {d} x_{1})ight)}$

и

${displaystyle mu (A imes B)=int _{A}mu left(B|x_{1}ight),mu left(pi _{1}^{-1}(mathrm {d} x_{1})ight).}$

Отношение к условное ожидание дается тождествами

${displaystyle operatorname {E} (f|pi _{1})(x_{1})=int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})mu (mathrm {d} x_{2}|x_{1}),}$

${displaystyle mu (A imes B|pi _{1})(x_{1})=1_{A}(x_{1})cdot mu (B|x_{1}).}$

Векторное исчисление

Теорема распада может также рассматриваться как оправдание использования «ограниченной» меры в векторное исчисление. Например, в Теорема Стокса применительно к векторное поле протекает через компактный поверхность Σ ⊂ р³, подразумевается, что «правильная» мера на Σ - это распад трехмерной меры Лебега λ³ на Σ, и что распад этой меры на ∂Σ совпадает с распадом λ³ на ∂Σ.^[2]

Условные распределения

Теорема о дезинтеграции может применяться для строгой обработки условных распределений вероятностей в статистике, избегая при этом чисто абстрактных формулировок условной вероятности.^[3]

Смотрите также

• Совместное распределение вероятностей
• Копула (статистика)
• Условное ожидание

Рекомендации

1. Dellacherie, C .; Мейер, П.-А. (1978). Вероятности и потенциал. Математические исследования Северной Голландии. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  0-7204-0701-X.
2. Амбросио, Л., Джильи, Н. и Саваре, Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель. ISBN  978-3-7643-2428-5.
3. Chang, J.T .; Поллард, Д. (1997). «Кондиционирование как распад» (PDF). Statistica Neerlandica. 51 (3): 287. CiteSeerX  10.1.1.55.7544. Дои:10.1111/1467-9574.00056.