Обусловленность (вероятность) - Conditioning (probability)

Убеждения зависят от доступной информации. Эта идея формализована в теория вероятности к кондиционирование. Условные вероятности, условные ожидания, и условные вероятностные распределения рассматриваются на трех уровнях: дискретные вероятности, функции плотности вероятности, и теория меры. Условие приводит к неслучайному результату, если условие полностью указано; в противном случае, если условие оставлено случайным, результат кондиционирования также будет случайным.

Кондиционирование на дискретном уровне

Пример: Честная монета подбрасывается 10 раз; то случайная переменная Икс количество голов в этих 10 бросках, и Y - количество голов в первых 3-х бросках. Несмотря на тот факт, что Y появляется раньше Икс может случиться так, что кто-то знает Икс но нет Y.

Условная возможность

Основная статья: Условная возможность

При условии Икс = 1, условная вероятность события Y = 0 является

${displaystyle mathbb {P} (Y=0|X=1)={frac {mathbb {P} (Y=0,X=1)}{mathbb {P} (X=1)}}=0.7}$

В более общем смысле,

${displaystyle {egin{aligned}mathbb {P} (Y=0|X=x)&={frac {inom {7}{x}}{inom {10}{x}}}={frac {7!(10-x)!}{(7-x)!10!}}&&x=0,1,2,3,4,5,6,7.[4pt]mathbb {P} (Y=0|X=x)&=0&&x=8,9,10.end{aligned}}}$

Можно также рассматривать условную вероятность как случайную величину - функцию случайной величины. Икс, а именно

${displaystyle mathbb {P} (Y=0|X)={egin{cases}{inom {7}{X}}/{inom {10}{X}}&Xleqslant 7,�&X>7.end{cases}}}$

В ожидание этой случайной величины равна (безусловной) вероятности,

${displaystyle mathbb {E} (mathbb {P} (Y=0|X))=sum _{x}mathbb {P} (Y=0|X=x)mathbb {P} (X=x)=mathbb {P} (Y=0),}$

а именно,

${displaystyle sum _{x=0}^{7}{frac {inom {7}{x}}{inom {10}{x}}}cdot {frac {1}{2^{10}}}{inom {10}{x}}={frac {1}{8}},}$

который является примером закон полной вероятности ${displaystyle mathbb {E} (mathbb {P} (A|X))=mathbb {P} (A).}$

Таким образом, ${displaystyle mathbb {P} (Y=0|X=1)}$ можно рассматривать как значение случайной величины ${displaystyle mathbb {P} (Y=0|X)}$ соответствующий Икс = 1. С другой стороны, ${displaystyle mathbb {P} (Y=0|X=1)}$ четко определена независимо от других возможных значений Икс.

Условное ожидание

Основная статья: Условное ожидание

При условии Икс = 1, условное ожидание случайной величины Y является ${displaystyle mathbb {E} (Y|X=1)={ frac {3}{10}}}$ В более общем смысле,

${displaystyle mathbb {E} (Y|X=x)={frac {3}{10}}x,qquad x=0,ldots ,10.}$

(В этом примере это выглядит линейной функцией, но в целом она нелинейна.) Можно также рассматривать условное ожидание как случайную величину - функцию случайной величины. Икс, а именно

${displaystyle mathbb {E} (Y|X)={frac {3}{10}}X.}$

Математическое ожидание этой случайной величины равно (безусловному) ожиданию Y,

${displaystyle mathbb {E} (mathbb {E} (Y|X))=sum _{x}mathbb {E} (Y|X=x)mathbb {P} (X=x)=mathbb {E} (Y),}$

а именно,

${displaystyle sum _{x=0}^{10}{frac {3}{10}}xcdot {frac {1}{2^{10}}}{inom {10}{x}}={frac {3}{2}},}$

или просто

${displaystyle mathbb {E} left({frac {3}{10}}Xight)={frac {3}{10}}mathbb {E} (X)={frac {3}{10}}cdot 5={frac {3}{2}},}$

который является примером закон полного ожидания ${displaystyle mathbb {E} (mathbb {E} (Y|X))=mathbb {E} (Y).}$

Случайная величина ${displaystyle mathbb {E} (Y|X)}$ лучший предсказатель Y данный Икс. То есть сводит к минимуму среднеквадратичную ошибку. ${displaystyle mathbb {E} (Y-f(X))^{2}}$ на классе всех случайных величин вида ж(Икс). Этот класс случайных величин остается неизменным, если Икс заменяется, скажем, на 2Икс. Таким образом, ${displaystyle mathbb {E} (Y|2X)=mathbb {E} (Y|X).}$ Это не значит, что ${displaystyle mathbb {E} (Y|2X)={ frac {3}{10}} imes 2X;}$ скорее, ${displaystyle mathbb {E} (Y|2X)={ frac {3}{20}} imes 2X={ frac {3}{10}}X.}$ Особенно, ${displaystyle mathbb {E} (Y|2X=2)={ frac {3}{10}}.}$ В более общем смысле, ${displaystyle mathbb {E} (Y|g(X))=mathbb {E} (Y|X)}$ для каждой функции грамм то есть однозначно на множестве всех возможных значений Икс. Ценности Икс неактуальны; важно разбиение (обозначим его α_Икс)

${displaystyle Omega ={X=x_{1}}uplus {X=x_{2}}uplus dots }$

выборочного пространства Ω на непересекающиеся множества {Икс = Икс_п}. (Здесь ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots }$ все возможные значения Икс.) Для произвольного разбиения α области Ω можно определить случайную величину E ( Y | α). Все еще, E (E ( Y | α)) = E ( Y ).

Условную вероятность можно рассматривать как частный случай условного ожидания. А именно, П ( А | Икс ) = E ( Y | Икс ) если Y это индикатор из А. Следовательно, условная вероятность также зависит от разбиения α_Икс создано Икс а не на Икс сам; П ( А | грамм(Икс)) = P (А | Икс) = P (А | α), α = α_Икс = α_{грамм(Икс)}.

С другой стороны, обусловленность события B хорошо определено, при условии, что ${displaystyle mathbb {P} (B)eq 0,}$ независимо от того, какой раздел может содержать B как одна из нескольких частей.

Условное распространение

Основная статья: Условное распределение вероятностей

Данный Икс = x, условное распределение Y является

${displaystyle mathbb {P} (Y=y|X=x)={frac {{inom {3}{y}}{inom {7}{x-y}}}{inom {10}{x}}}={frac {{inom {x}{y}}{inom {10-x}{3-y}}}{inom {10}{3}}}}$

за 0 ≤ у ≤ min (3, Икс ). Это гипергеометрическое распределение H ( Икс; 3, 7 ), или эквивалентно, Н (3; Икс, 10-Икс ). Соответствующее ожидание 0,3 Икс, полученная из общей формулы

${displaystyle n{frac {R}{R+W}}}$

за H ( п; р, W ), это не что иное, как условное ожидание E (Y | Икс = Икс) = 0.3 Икс.

Лечение H ( Икс; 3, 7 ) как случайное распределение (случайный вектор в четырехмерном пространстве всех мер на {0,1,2,3}), можно принять его математическое ожидание, получив безусловное распределение Y, - биномиальное распределение Корзина (3, 0,5). Этот факт сводится к равенству

${displaystyle sum _{x=0}^{10}mathbb {P} (Y=y|X=x)mathbb {P} (X=x)=mathbb {P} (Y=y)={frac {1}{2^{3}}}{inom {3}{y}}}$

за у = 0,1,2,3; который является примером закон полной вероятности.

Кондиционирование на уровне плотностей

Основные статьи: Функция плотности вероятности и Условное распределение вероятностей

Пример. Точка сферы Икс² + у² + z² = 1 выбирается случайным образом в соответствии с n-сфера # Создание точек на поверхности n-шара^[1] Случайные величины Икс, Y, Z - координаты случайной точки. Совместная плотность Икс, Y, Z не существует (поскольку сфера имеет нулевой объем), но совместная плотность ж_Икс,Y из Икс, Y существуют,

${displaystyle f_{X,Y}(x,y)={egin{cases}{frac {1}{2pi {sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}&{ ext{if }}x^{2}+y^{2}<1,�&{ ext{otherwise}}.end{cases}}}$

(Плотность непостоянна из-за непостоянного угла между сфера и плоскость.) Плотность Икс можно рассчитать интегрированием,

${displaystyle f_{X}(x)=int _{-infty }^{+infty }f_{X,Y}(x,y),mathrm {d} y=int _{-{sqrt {1-x^{2}}}}^{+{sqrt {1-x^{2}}}}{frac {mathrm {d} y}{2pi {sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}},;}$

на удивление результат не зависит от Икс в (−1,1),

${displaystyle f_{X}(x)={egin{cases}0.5&{ ext{for }}-1<x<1,�&{ ext{otherwise}},end{cases}}}$

что обозначает Икс распределена равномерно на (−1,1). То же самое и для Y и Z (и на самом деле для aX + к + cZ в любое время а² + b² + c² = 1).

Пример. Другой способ расчета функции предельного распределения представлен ниже. ^[2][3]

${displaystyle f_{X,Y,Z}(x,y,z)={frac {3}{4pi }}}$

${displaystyle f_{X}(x)=int _{-{sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}^{+{sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}int _{-{sqrt {1-x^{2}}}}^{+{sqrt {1-x^{2}}}}{frac {3mathrm {d} ymathrm {d} z}{4pi }}=3{sqrt {1-x^{2}}}/4,;}$

Условная возможность

Расчет

При условии Икс = 0,5, условная вероятность события Y ≤ 0,75 - интеграл от условной плотности,

${displaystyle f_{Y|X=0.5}(y)={frac {f_{X,Y}(0.5,y)}{f_{X}(0.5)}}={egin{cases}{frac {1}{pi {sqrt {0.75-y^{2}}}}}&{ ext{for }}-{sqrt {0.75}}<y<{sqrt {0.75}},�&{ ext{otherwise}}.end{cases}}}$

${displaystyle mathbb {P} (Yleq 0.75|X=0.5)=int _{-infty }^{0.75}f_{Y|X=0.5}(y),mathrm {d} y=int _{-{sqrt {0.75}}}^{0.75}{frac {mathrm {d} y}{pi {sqrt {0.75-y^{2}}}}}={ frac {1}{2}}+{ frac {1}{pi }}arcsin {sqrt {0.75}}={ frac {5}{6}}.}$

В более общем смысле,

${displaystyle mathbb {P} (Yleq y|X=x)={ frac {1}{2}}+{ frac {1}{pi }}arcsin {frac {y}{sqrt {1-x^{2}}}}}$

для всех Икс и у такое, что −1 < Икс <1 (иначе знаменатель ж_Икс(Икс) исчезает) и ${displaystyle extstyle -{sqrt {1-x^{2}}}<y<{sqrt {1-x^{2}}}}$ (в противном случае условная вероятность вырождается в 0 или 1). Можно также рассматривать условную вероятность как случайную величину - функцию случайной величины. Икс, а именно

${displaystyle mathbb {P} (Yleq y|X)={egin{cases}0&{ ext{for }}X^{2}geq 1-y^{2}{ ext{ and }}y<0,{frac {1}{2}}+{frac {1}{pi }}arcsin {frac {y}{sqrt {1-X^{2}}}}&{ ext{for }}X^{2}<1-y^{2},1&{ ext{for }}X^{2}geq 1-y^{2}{ ext{ and }}y>0.end{cases}}}$

Математическое ожидание этой случайной величины равно (безусловной) вероятности,

${displaystyle mathbb {E} (mathbb {P} (Yleq y|X))=int _{-infty }^{+infty }mathbb {P} (Yleq y|X=x)f_{X}(x),mathrm {d} x=mathbb {P} (Yleq y),}$

который является примером закон полной вероятности E (P ( А | Икс )) = P ( А ).

Интерпретация

Условная вероятность П ( Y ≤ 0.75 | Икс = 0.5 ) нельзя интерпретировать как П ( Y ≤ 0.75, Икс = 0,5) / P ( Икс = 0.5 ), поскольку последний дает 0/0. Соответственно, П ( Y ≤ 0.75 | Икс = 0.5 ) не может быть интерпретировано через эмпирические частоты, поскольку точное значение Икс = 0,5 не имеет шансов появиться случайным образом, ни разу в бесконечной последовательности независимых испытаний.

Условную вероятность можно интерпретировать как предел,

${displaystyle {egin{aligned}mathbb {P} (Yleq 0.75|X=0.5)&=lim _{varepsilon o 0+}mathbb {P} (Yleq 0.75|0.5-varepsilon <X<0.5+varepsilon )&=lim _{varepsilon o 0+}{frac {mathbb {P} (Yleq 0.75,0.5-varepsilon <X<0.5+varepsilon )}{mathbb {P} (0.5-varepsilon <X<0.5+varepsilon )}}&=lim _{varepsilon o 0+}{frac {int _{0.5-varepsilon }^{0.5+varepsilon }mathrm {d} xint _{-infty }^{0.75}mathrm {d} y,f_{X,Y}(x,y)}{int _{0.5-varepsilon }^{0.5+varepsilon }mathrm {d} x,f_{X}(x)}}.end{aligned}}}$

Условное ожидание

Условное ожидание E ( Y | Икс = 0.5 ) малоинтересен; он исчезает просто по симметрии. Интереснее посчитать E (|Z| | Икс = 0.5 ) лечение |Z| как функция Икс, Y:

${displaystyle {egin{aligned}|Z|&=h(X,Y)={sqrt {1-X^{2}-Y^{2}}};mathrm {E} (|Z||X=0.5)&=int _{-infty }^{+infty }h(0.5,y)f_{Y|X=0.5}(y),mathrm {d} y=&=int _{-{sqrt {0.75}}}^{+{sqrt {0.75}}}{sqrt {0.75-y^{2}}}cdot {frac {mathrm {d} y}{pi {sqrt {0.75-y^{2}}}}}&={frac {2}{pi }}{sqrt {0.75}}.end{aligned}}}$

В более общем смысле,

${displaystyle mathbb {E} (|Z||X=x)={frac {2}{pi }}{sqrt {1-x^{2}}}}$

для −1 < Икс <1. Условное ожидание можно также рассматривать как случайную величину - функцию случайной величины. Икс, а именно

${displaystyle mathbb {E} (|Z||X)={frac {2}{pi }}{sqrt {1-X^{2}}}.}$

Ожидание этой случайной величины равно (безусловному) ожиданию |Z|,

${displaystyle mathbb {E} (mathbb {E} (|Z||X))=int _{-infty }^{+infty }mathbb {E} (|Z||X=x)f_{X}(x),mathrm {d} x=mathbb {E} (|Z|),}$

а именно,

${displaystyle int _{-1}^{+1}{frac {2}{pi }}{sqrt {1-x^{2}}}cdot {frac {mathrm {d} x}{2}}={ frac {1}{2}},}$

который является примером закон полного ожидания E (E ( Y | Икс )) = E ( Y ).

Случайная величина E (|Z| | Икс) лучший предсказатель |Z| данный Икс. То есть сводит к минимуму среднеквадратичную ошибку. E (|Z| - ж(Икс) )² на классе всех случайных величин вида ж(Икс). Как и в дискретном случае, E (|Z| | грамм(Икс)) = E (|Z| | Икс ) для каждой измеримой функции грамм то есть один к одному на (-1,1).

Условное распространение

Данный Икс = x, условное распределение Y, задаваемый плотностью ж_{Y|Икс=Икс}(y) - (масштабированное) распределение arcsin; его кумулятивная функция распределения равна

${displaystyle F_{Y|X=x}(y)=mathbb {P} (Yleq y|X=x)={frac {1}{2}}+{frac {1}{pi }}arcsin {frac {y}{sqrt {1-x^{2}}}}}$

для всех Икс и у такой, что Икс² + у² <1. Соответствующее ожидание час(Икс,Y) есть не что иное, как условное ожидание E ( час(Икс,Y) | Икс=Икс ). В смесь этих условных распределений, взятых для всех Икс (по распределению Икс) - безусловное распределение Y. Этот факт сводится к равенствам

${displaystyle {egin{aligned}&int _{-infty }^{+infty }f_{Y|X=x}(y)f_{X}(x),mathrm {d} x=f_{Y}(y),&int _{-infty }^{+infty }F_{Y|X=x}(y)f_{X}(x),mathrm {d} x=F_{Y}(y),end{aligned}}}$

последнее является примером закона полной вероятности упомянутый выше.

Что не является условием

Основная статья: Парадокс Бореля – Колмогорова

На дискретном уровне обусловленность возможна, только если условие имеет ненулевую вероятность (нельзя делить на ноль). На уровне плотностей, кондиционирование Икс = Икс возможно, хотя П ( Икс = Икс ) = 0. Этот успех может создать иллюзию того, что кондиционирование всегда возможный. К сожалению, это не так по нескольким причинам, изложенным ниже.

Геометрическая интуиция: осторожность

Результат П ( Y ≤ 0.75 | Икс = 0.5 ) = 5/6, упомянутое выше, геометрически очевидно в следующем смысле. Точки (Икс,у,z) сферы Икс² + у² + z² = 1, удовлетворяющая условию Икс = 0,5, являются кругом у² + z² = 0,75 радиуса ${displaystyle {sqrt {0.75}}}$ на самолете Икс = 0,5. Неравенство у ≤ 0,75 на дуге. Длина дуги составляет 5/6 длины круга, поэтому условная вероятность равна 5/6.

Это успешное геометрическое объяснение может создать иллюзию тривиальности следующего вопроса.

Точка данной сферы выбирается случайно (равномерно). Учитывая, что точка лежит на данной плоскости, каково ее условное распределение?

Может показаться очевидным, что условное распределение должно быть равномерным на данной окружности (пересечении данной сферы и данной плоскости). Иногда это действительно так, но в целом это не так. Особенно, Z распределяется равномерно на (-1, + 1) и не зависит от отношения Y/Икс, таким образом, П ( Z ≤ 0.5 | Y/Икс ) = 0.75. С другой стороны, неравенство z ≤ 0,5 на дуге окружности Икс² + у² + z² = 1, у = сх (для любого данного c). Длина дуги составляет 2/3 длины круга. Однако условная вероятность составляет 3/4, а не 2/3. Это проявление классического парадокса Бореля.^[4][5]

Апелляции к симметрии могут ввести в заблуждение, если их не формализовать как аргументы инвариантности.

— Поллард^[6]

Другой пример. А случайное вращение трехмерного пространства - это поворот на случайный угол вокруг произвольной оси. Геометрическая интуиция подсказывает, что угол не зависит от оси и распределен равномерно. Однако последнее неверно; малые значения угла менее вероятны.

Ограничивающая процедура

Учитывая событие B нулевой вероятности формула ${displaystyle extstyle mathbb {P} (A|B)=mathbb {P} (Acap B)/mathbb {P} (B)}$ бесполезно, однако можно попробовать ${displaystyle extstyle mathbb {P} (A|B)=lim _{n o infty }mathbb {P} (Acap B_{n})/mathbb {P} (B_{n})}$ для соответствующей последовательности событий B_п с ненулевой вероятностью такая, что B_п ↓ B (то есть, ${displaystyle extstyle B_{1}supset B_{2}supset dots }$ и ${displaystyle extstyle B_{1}cap B_{2}cap dots =B}$). Приведен один пример над. Еще два примера: Броуновский мост и броуновская экскурсия.

В последних двух примерах закон полной вероятности не имеет значения, поскольку дано только одно событие (условие). Напротив, в примере над закон полной вероятности применяется, поскольку событие Икс = 0.5 входит в семейство событий Икс = Икс куда Икс проходит через (−1,1), и эти события являются разбиением вероятностного пространства.

Во избежание парадоксов (например, Парадокс Бореля ) следует учитывать следующее важное отличие. Если данное событие имеет ненулевую вероятность, то обусловливание его четко определено (независимо от любых других событий), как было отмечено. над. Напротив, если данное событие имеет нулевую вероятность, то обусловливание его некорректно определено, если не предоставлены дополнительные входные данные. Неправильный выбор этого дополнительного входа приводит к неправильным условным вероятностям (ожиданиям, распределениям). В этом смысле, "понятие условной вероятности применительно к изолированной гипотезе, вероятность которой равна 0, недопустимо." (Колмогоров.^[6]

Дополнительным входом может быть (а) симметрия (группа инвариантности); (б) последовательность событий B_п такой, что B_п ↓ B, П ( B_п )> 0; (c) раздел, содержащий данное событие. Теоретико-мерное обусловливание (ниже) исследует случай (c), раскрывает его связь с (b) в целом и с (a), когда это применимо.

Некоторые события с нулевой вероятностью находятся вне досягаемости обусловленности. Пример: пусть Икс_п - независимые случайные величины, равномерно распределенные на (0,1), и B событие "Икс_п → 0 в качестве п → ∞"; как насчет П ( Икс_п < 0.5 | B ) ? Стремится к 1 или нет? Другой пример: пусть Икс - случайная величина, равномерно распределенная на (0,1), и B событие "Икс рациональное число "; а как насчет П ( Икс = 1/п | B ) ? Единственный ответ: еще раз

понятие условной вероятности применительно к изолированной гипотезе, вероятность которой равна 0, недопустимо.

— Колмогоров^[6]

Обусловленность на уровне теории меры

Основная статья: Условное ожидание

Пример. Позволять Y - случайная величина, равномерно распределенная на (0,1), и Икс = ж(Y) куда ж - заданная функция. Ниже рассматриваются два случая: ж = ж₁ и ж = ж₂, куда ж₁ - непрерывная кусочно-линейная функция

${displaystyle f_{1}(y)={egin{cases}3y&{ ext{for }}0leq yleq 1/3,1.5(1-y)&{ ext{for }}1/3leq yleq 2/3,�.5&{ ext{for }}2/3leq yleq 1,end{cases}}}$

и ж₂ это Функция Вейерштрасса.

Геометрическая интуиция: осторожность

Данный Икс = 0,75, два значения Y возможны 0,25 и 0,5. Может показаться очевидным, что оба значения имеют условную вероятность 0,5 только потому, что одна точка конгруэнтный в другую точку. Однако это иллюзия; Смотри ниже.

Условная возможность

Условная вероятность П ( Y ≤ 1/3 | Икс ) может быть определен как лучший предсказатель индикатора

${displaystyle I={egin{cases}1&{ ext{if }}Yleq 1/3,�&{ ext{otherwise}},end{cases}}}$

данный Икс. То есть сводит к минимуму среднеквадратичную ошибку. E ( я - грамм(Икс) )² на классе всех случайных величин вида грамм (Икс).

В случае ж = ж₁ соответствующая функция грамм = грамм₁ можно вычислить явно,^{[подробнее 1]}

${displaystyle g_{1}(x)={egin{cases}1&{ ext{for }}0<x<0.5,�&{ ext{for }}x=0.5,1/3&{ ext{for }}0.5<x<1.end{cases}}}$

В качестве альтернативы может использоваться процедура ограничения,

${displaystyle g_{1}(x)=lim _{varepsilon o 0+}mathbb {P} (Yleq 1/3|x-varepsilon leq Xleq x+varepsilon ),,}$

дает тот же результат.

Таким образом, П ( Y ≤ 1/3 | Икс ) = грамм₁ (Икс). Математическое ожидание этой случайной величины равно (безусловной) вероятности, E (P ( Y ≤ 1/3 | Икс )) = P ( Y ≤ 1/3 ), а именно,

${displaystyle 1cdot mathbb {P} (X<0.5)+0cdot mathbb {P} (X=0.5)+{frac {1}{3}}cdot mathbb {P} (X>0.5)=1cdot {frac {1}{6}}+0cdot {frac {1}{3}}+{frac {1}{3}}cdot left({frac {1}{6}}+{frac {1}{3}}ight)={frac {1}{3}},}$

который является примером закон полной вероятности E (P ( А | Икс )) = P ( А ).

В случае ж = ж₂ соответствующая функция грамм = грамм₂ вероятно, нельзя вычислить явно. Тем не менее он существует и может быть вычислен численно. Действительно, Космос L₂ (Ω) всех суммируемых с квадратом случайных величин является Гильбертово пространство; индикатор я - вектор этого пространства; и случайные величины вида грамм (Икс) - (замкнутое, линейное) подпространство. В ортогональная проекция этого вектора в это подпространство определено корректно. Его можно вычислить численно, используя конечномерные приближения в бесконечномерное гильбертово пространство.

И снова ожидание случайной величины П ( Y ≤ 1/3 | Икс ) = грамм₂ (Икс) равна (безусловной) вероятности, E (P ( Y ≤ 1/3 | Икс )) = P ( Y ≤ 1/3 ), а именно,

${displaystyle int _{0}^{1}g_{2}(f_{2}(y)),mathrm {d} y={ frac {1}{3}}.}$

Однако подход гильбертова пространства рассматривает грамм₂ как класс эквивалентности функций, а не как отдельная функция. Измеримость грамм₂ обеспечивается, но преемственность (или даже Интегрируемость Римана ) не является. Значение грамм₂ (0.5) определяется однозначно, так как точка 0.5 является атомом распределения Икс. Прочие ценности Икс не являются атомами, поэтому соответствующие значения грамм₂ (Икс) не определены однозначно. Снова, "понятие условной вероятности применительно к изолированной гипотезе, вероятность которой равна 0, недопустимо." (Колмогоров.^[6]

В качестве альтернативы та же функция грамм (будь то грамм₁ или же грамм₂) можно определить как Производная Радона – Никодима

${displaystyle g={frac {mathrm {d} u }{mathrm {d} mu }},}$

где меры μ, ν определены равенствами

${displaystyle {egin{aligned}mu (B)&=mathbb {P} (Xin B),u (B)&=mathbb {P} (Xin B,,Yleq { frac {1}{3}})end{aligned}}}$

для всех борелевских наборов ${displaystyle Bsubset mathbb {R} .}$ То есть μ является (безусловным) распределением Икс, а ν - одна треть его условного распределения,

${displaystyle u (B)=mathbb {P} (Xin B|Yleq { frac {1}{3}})mathbb {P} (Yleq { frac {1}{3}})={ frac {1}{3}}mathbb {P} (Xin B|Yleq { frac {1}{3}}).}$

Оба подхода (через гильбертово пространство и производную Радона – Никодима) рассматривают грамм как класс эквивалентности функций; две функции грамм и грамм' рассматриваются как эквивалентные, если грамм (Икс) = грамм' (Икс) почти наверняка. Соответственно, условная вероятность П ( Y ≤ 1/3 | Икс ) рассматривается как класс эквивалентности случайных величин; как обычно, две случайные величины считаются эквивалентными, если они почти наверняка равны.

Условное ожидание

Условное ожидание ${displaystyle mathbb {E} (Y|X)}$ может быть определен как лучший предсказатель Y данный Икс. То есть сводит к минимуму среднеквадратичную ошибку. ${displaystyle mathbb {E} (Y-h(X))^{2}}$ на классе всех случайных величин вида час(Икс).

В случае ж = ж₁ соответствующая функция час = час₁ можно вычислить явно,^{[подробнее 2]}

${displaystyle h_{1}(x)={egin{cases}{frac {x}{3}}&0<x<{frac {1}{2}}[4pt]{frac {5}{6}}&x={frac {1}{2}}[4pt]{frac {1}{3}}(2-x)&{frac {1}{2}}<x<1end{cases}}}$

В качестве альтернативы может использоваться процедура ограничения,

${displaystyle h_{1}(x)=lim _{varepsilon o 0+}mathbb {E} (Y|x-varepsilon leqslant Xleqslant x+varepsilon ),}$

дает тот же результат.

Таким образом, ${displaystyle mathbb {E} (Y|X)=h_{1}(X).}$ Ожидание этой случайной величины равно (безусловному) ожиданию, ${displaystyle mathbb {E} (mathbb {E} (Y|X))=mathbb {E} (Y),}$ а именно,

${displaystyle int _{0}^{1}h_{1}(f_{1}(y)),mathrm {d} y=int _{0}^{frac {1}{6}}{frac {3y}{3}},mathrm {d} y+int _{frac {1}{6}}^{frac {1}{3}}{frac {2-3y}{3}},mathrm {d} y+int _{frac {1}{3}}^{frac {2}{3}}{frac {2-{frac {3}{2}}(1-y)}{3}},mathrm {d} y+int _{frac {2}{3}}^{1}{frac {5}{6}},mathrm {d} y={frac {1}{2}},}$

который является примером закон полного ожидания ${displaystyle mathbb {E} (mathbb {E} (Y|X))=mathbb {E} (Y).}$

В случае ж = ж₂ соответствующая функция час = час₂ вероятно, нельзя вычислить явно. Тем не менее он существует и может быть вычислен численно так же, как грамм₂ выше, - как ортогональный проектор в гильбертовом пространстве. Закон полного математического ожидания выполняется, поскольку проекция не может изменить скалярное произведение на константу 1, принадлежащую подпространству.

В качестве альтернативы та же функция час (будь то час₁ или же час₂) можно определить как Производная Радона – Никодима

${displaystyle h={frac {mathrm {d} u }{mathrm {d} mu }},}$

где меры μ, ν определены равенствами

${displaystyle {egin{aligned}mu (B)&=mathbb {P} (Xin B)u (B)&=mathbb {E} (Y,Xin B)end{aligned}}}$

для всех борелевских наборов ${displaystyle Bsubset mathbb {R} .}$ Здесь ${displaystyle mathbb {E} (Y;A)}$ это ограниченное ожидание, не путать с условным ожиданием ${displaystyle mathbb {E} (Y|A)=mathbb {E} (Y;A)/mathbb {P} (A).}$

Условное распространение

Основные статьи: Теорема распада и Обычная условная вероятность

В случае ж = ж₁ условный кумулятивная функция распределения можно вычислить явно, аналогично грамм₁. Ограничивающая процедура дает:

${displaystyle F_{Y|X={frac {3}{4}}}(y)=mathbb {P} left(Yleqslant yleft|X={ frac {3}{4}}ight.ight)=lim _{varepsilon o 0^{+}}mathbb {P} left(Yleqslant yleft|{ frac {3}{4}}-varepsilon leqslant Xleqslant { frac {3}{4}}+varepsilon ight.ight)={egin{cases}0&-infty <y<{ frac {1}{4}}[4pt]{ frac {1}{6}}&y={ frac {1}{4}}[4pt]{ frac {1}{3}}&{ frac {1}{4}}<y<{ frac {1}{2}}[4pt]{ frac {2}{3}}&y={ frac {1}{2}}[4pt]1&{ frac {1}{2}}<y<infty end{cases}}}$

что не может быть правильным, поскольку кумулятивная функция распределения должна быть непрерывный вправо!

Этот парадоксальный результат объясняется теорией меры следующим образом. Для данного у соответствующий ${displaystyle F_{Y|X=x}(y)=mathbb {P} (Yleqslant y|X=x)}$ корректно определен (через гильбертово пространство или производную Радона – Никодима) как класс эквивалентности функций ( Икс). Рассматривается как функция у для данного Икс он не определен, если не предоставлены дополнительные данные. А именно функция (из Икс) должен выбираться внутри каждого (или, по крайней мере, почти каждого) класса эквивалентности. Неправильный выбор приводит к неправильным условным кумулятивным функциям распределения.

Правильный выбор можно сделать следующим образом. Первый, ${displaystyle F_{Y|X=x}(y)=mathbb {P} (Yleqslant y|X=x)}$ рассматривается для рациональных чисел у Только. (Любое другое плотное счетное множество может использоваться с тем же успехом.) Таким образом, используется только счетное множество классов эквивалентности; все варианты выбора функций в этих классах взаимно эквивалентны, и соответствующая функция рационального у хорошо определена (почти для каждого Икс). Во-вторых, функция расширяется от рациональных чисел до действительных чисел за счет непрерывности справа.

В целом условное распределение определяется почти для всех Икс (по распределению Икс), но иногда результат непрерывен в Икс, в этом случае допустимы индивидуальные значения. В рассмотренном примере это так; правильный результат для Икс = 0.75,

${displaystyle F_{Y|X={frac {3}{4}}}(y)=mathbb {P} left(Yleqslant yleft|X={ frac {3}{4}}ight.ight)={egin{cases}0&-infty <y<{ frac {1}{4}}[4pt]{ frac {1}{3}}&{ frac {1}{4}}leqslant y<{ frac {1}{2}}[4pt]1&{ frac {1}{2}}leqslant y<infty end{cases}}}$

показывает, что условное распределение Y данный Икс = 0,75 состоит из двух атомов при 0,25 и 0,5 с вероятностями 1/3 и 2/3 соответственно.

Аналогичным образом условное распределение может быть вычислено для всех Икс в (0, 0,5) или (0,5, 1).

Значение Икс = 0,5 - атом распределения Икс, таким образом, соответствующее условное распределение хорошо определено и может быть вычислено элементарными средствами (знаменатель не обращается в нуль); условное распределение Y данный Икс = 0,5 равномерно на (2/3, 1). Теория меры приводит к тому же результату.

Смесь всех условных распределений представляет собой (безусловное) распределение Y.

Условное ожидание ${displaystyle mathbb {E} (Y|X=x)}$ есть не что иное, как ожидание относительно условного распределения.

В случае ж = ж₂ соответствующий ${displaystyle F_{Y|X=x}(y)=mathbb {P} (Yleqslant y|X=x)}$ вероятно, нельзя вычислить явно. Для данного у он правильно определен (через гильбертово пространство или производную Радона – Никодима) как класс эквивалентности функций ( Икс). Правильный выбор функций внутри этих классов эквивалентности может быть сделан, как указано выше; это приводит к правильным условным кумулятивным функциям распределения, таким образом, условным распределениям. В общем случае условные распределения не обязательно атомный или же абсолютно непрерывный (а также смеси обоих типов). Вероятно, в рассматриваемом примере они единственное число (словно Канторовское распределение ).

Еще раз, смесь всех условных распределений является (безусловным) распределением, а условное ожидание - это математическое ожидание относительно условного распределения.

Технические детали

1. Доказательство:

   ${displaystyle {egin{aligned}mathbb {E} (I-g(X))^{2}&=int _{0}^{1/3}(1-g(3y))^{2},mathrm {d} y+int _{1/3}^{2/3}g^{2}(1.5(1-y)),mathrm {d} y+int _{2/3}^{1}g^{2}(0.5),mathrm {d} y&=int _{0}^{1}(1-g(x))^{2}{frac {mathrm {d} x}{3}}+int _{0.5}^{1}g^{2}(x){frac {mathrm {d} x}{1.5}}+{frac {1}{3}}g^{2}(0.5)&={frac {1}{3}}int _{0}^{0.5}(1-g(x))^{2},mathrm {d} x+{frac {1}{3}}g^{2}(0.5)+{frac {1}{3}}int _{0.5}^{1}((1-g(x))^{2}+2g^{2}(x)),mathrm {d} x,;end{aligned}}}$

   осталось отметить, что (1−а )² + 2а² минимален при а = 1/3.
2. Доказательство:

   ${displaystyle {egin{aligned}mathbb {E} (Y-h_{1}(X))^{2}&=int _{0}^{1}left(y-h_{1}(f_{1}(x))ight)^{2},mathrm {d} y&=int _{0}^{frac {1}{3}}(y-h_{1}(3y))^{2},mathrm {d} y+int _{frac {1}{3}}^{frac {2}{3}}left(y-h_{1}(1.5(1-y))ight)^{2},mathrm {d} y+int _{frac {2}{3}}^{1}left(y-h_{1}({ frac {1}{2}})ight)^{2},mathrm {d} y&=int _{0}^{1}left({frac {x}{3}}-h_{1}(x)ight)^{2}{frac {mathrm {d} x}{3}}+int _{frac {1}{2}}^{1}left(1-{frac {x}{1.5}}-h_{1}(x)ight)^{2}{frac {mathrm {d} x}{1.5}}+{frac {1}{3}}h_{1}^{2}({ frac {1}{2}})-{frac {5}{9}}h_{1}({ frac {1}{2}})+{frac {19}{81}}&={frac {1}{3}}int _{0}^{frac {1}{2}}left(h_{1}(x)-{frac {x}{3}}ight)^{2},mathrm {d} x+{ frac {1}{3}}h_{1}^{2}({ frac {1}{2}})-{ frac {5}{9}}h_{1}({ frac {1}{2}})+{ frac {19}{81}}+{ frac {1}{3}}int _{frac {1}{2}}^{1}left(left(h_{1}(x)-{frac {x}{3}}ight)^{2}+2left(h_{1}(x)-1+{frac {2x}{3}}ight)^{2}ight),mathrm {d} x;end{aligned}}}$

   осталось отметить, что

   ${displaystyle left(a-{frac {x}{3}}ight)^{2}+2left(a-1+{frac {2x}{3}}ight)^{2}}$

   минимален при ${displaystyle a={ frac {2-x}{3}},}$ и ${displaystyle { frac {1}{3}}a^{2}-{ frac {5}{9}}a}$ минимален при ${displaystyle a={ frac {5}{6}}.}$

Смотрите также

• Условная возможность
• Условное ожидание
• Условное распределение вероятностей
• Совместное распределение вероятностей
• Парадокс Бореля
• Обычная условная вероятность
• Теорема распада
• Закон полной дисперсии
• Закон полной совокупности

Примечания

1. «Mathematica / Uniform Spherical Distribution - Викиучебники, открытые книги для открытого мира». en.wikibooks.org. Получено 2018-10-27.
2. Buchanan, K .; Хафф, Г. Х. (июль 2011 г.). «Сравнение геометрически связанных случайных массивов в евклидовом пространстве». 2011 Международный симпозиум IEEE по антеннам и распространению сигнала (APSURSI): 2008–2011. Дои:10.1109 / APS.2011.5996900. ISBN  978-1-4244-9563-4.
3. Buchanan, K .; Flores, C .; Wheeland, S .; Jensen, J .; Grayson, D .; Хафф, Г. (май 2017 г.). «Формирование диаграммы направленности для радиолокационных приложений с использованием случайных решеток с конусом по кругу». Конференция IEEE Radar 2017 г.: 0112–0117. Дои:10.1109 / RADAR.2017.7944181. ISBN  978-1-4673-8823-8.
4. Поллард 2002, Разд. 5.5, пример 17 на стр. 122.
5. Дарретт 1996, Разд. 4.1 (a), пример 1.6 на стр. 224.
6. Поллард 2002, Разд. 5.5, стр. 122.

Рекомендации

• Дарретт, Ричард (1996), Вероятность: теория и примеры (Второе изд.)
• Поллард, Дэвид (2002), Руководство пользователя по измерению теоретической вероятности, Издательство Кембриджского университета
• Драхейм, Дирк (2017) Обобщенная условность Джеффри (частичная семантика частичной условности), Springer