Пространство Лоренца - Lorentz space

В математический анализ, Пространства Лоренца, введенные Джордж Г. Лоренц в 1950-х годах^[1][2] являются обобщением более известных ${\displaystyle L^{p}}$ пробелы.

Пространства Лоренца обозначаются через ${\displaystyle L^{p,q}}$. Словно ${\displaystyle L^{p}}$ пространства, они характеризуются норма (технически квазинорма ), который кодирует информацию о "размере" функции, как и ${\displaystyle L^{p}}$ норма делает. Два основных качественных понятия «размера» функции: насколько высок график функции и насколько он разнесен. Нормы Лоренца обеспечивают более жесткий контроль над обоими качествами, чем нормы. ${\displaystyle L^{p}}$ норм, экспоненциально изменяя масштаб меры в обоих диапазонах (${\displaystyle p}$) и область (${\displaystyle q}$). Нормы Лоренца, как и ${\displaystyle L^{p}}$ нормы, инвариантны относительно произвольных перестановок значений функции.

Определение

Пространство Лоренца на измерить пространство ${\displaystyle (X,\mu )}$ - пространство комплекснозначных измеримые функции ${\displaystyle f}$ на Икс так что следующие квазинорма конечно

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}}$

куда ${\displaystyle 0<p<\infty }$ и ${\displaystyle 0<q\leq \infty }$. Таким образом, когда ${\displaystyle q<\infty }$,

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)|^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

и когда ${\displaystyle q=\infty }$,

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right).}$

Также принято устанавливать ${\displaystyle L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )}$.

Уменьшение перестановок

Квазинорма инвариантна относительно перестановки значений функции ${\displaystyle f}$, по сути, по определению. В частности, учитывая комплексную измеримая функция ${\displaystyle f}$ определенный на пространстве меры, ${\displaystyle (X,\mu )}$, это убывающая перестановка функция ${\displaystyle f^{\ast }:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$ можно определить как

${\displaystyle f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \in \mathbf {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}}$

куда ${\displaystyle d_{f}}$ так называемый функция распределения из ${\displaystyle f}$, данный

${\displaystyle d_{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}).}$

Здесь для удобства обозначений ${\displaystyle \inf \varnothing }$ определяется как ${\displaystyle \infty }$.

Две функции ${\displaystyle |f|}$ и ${\displaystyle f^{\ast }}$ находятся равноизмеримый, означающий, что

${\displaystyle \mu {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,}$

куда ${\displaystyle \lambda }$ это Мера Лебега на реальной линии. Связанные симметричная убывающая перестановка функция, которая также равноизмерима с ${\displaystyle f}$, будет определяться на реальной линии как

${\displaystyle \mathbf {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).}$

Учитывая эти определения, для ${\displaystyle 0<p<\infty }$

и ${\displaystyle 0<q\leq \infty }$, квазинормы Лоренца имеют вид

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}}$

Пространства последовательностей Лоренца

Когда ${\displaystyle (X,\mu )=(\mathbb {N} ,\#)}$ (счетная мера на ${\displaystyle \mathbb {N} }$) получившееся пространство Лоренца является пространство последовательности. Однако в этом случае удобно использовать другие обозначения.

Определение.

за ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ (или же ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$ в комплексном случае), пусть ${\displaystyle \|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$ обозначим p-норму для ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ и ${\displaystyle \|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\|_{\infty }=\sup |a_{n}|}$ ∞-норма. Обозначим через ${\displaystyle \ell _{p}}$ банахово пространство всех последовательностей с конечной p-нормой. Позволять ${\displaystyle c_{0}}$ банахово пространство всех последовательностей, удовлетворяющих ${\displaystyle \lim |a_{n}|=0}$, наделенный ∞-нормой. Обозначим через ${\displaystyle c_{00}}$ нормированное пространство всех последовательностей с конечным числом ненулевых элементов. Все эти пространства играют роль в определении пространств последовательностей Лоренца. ${\displaystyle d(w,p)}$ ниже.

Позволять ${\displaystyle w=(w_{n})_{n=1}^{\infty }\in c_{0}\setminus \ell _{1}}$ последовательность положительных действительных чисел, удовлетворяющая ${\displaystyle 1=w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}\cdots }$, и определим норму ${\displaystyle \|(a_{n})\|_{d(w,p)}=\sup _{\sigma \in \Pi }\|(a_{\sigma (n)}w_{n}^{1/p})_{n=1}^{\infty }\|_{p}}$. В Пространство последовательностей Лоренца ${\displaystyle d(w,p)}$ определяется как банахово пространство всех последовательностей, в которых эта норма конечна. Эквивалентно, мы можем определить ${\displaystyle d(w,p)}$ как завершение ${\displaystyle c_{00}}$ под ${\displaystyle \|\cdot \|_{d(w,p)}}$.

Характеристики

Пространства Лоренца на самом деле являются обобщениями ${\displaystyle L^{p}}$ пространства в том смысле, что для любого ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle L^{p,p}=L^{p}}$, что следует из Принцип Кавальери. Дальше, ${\displaystyle L^{p,\infty }}$ совпадает с слабый ${\displaystyle L^{p}}$. Они есть квазибанаховы пространства (т. е. квазинормированные пространства, которые также полны) и нормируемы для ${\displaystyle 1<p<\infty }$ и ${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$. Когда ${\displaystyle p=1}$, ${\displaystyle L^{1,1}=L^{1}}$ снабжена нормой, но невозможно определить норму, эквивалентную квазинорме ${\displaystyle L^{1,\infty }}$, слабые ${\displaystyle L^{1}}$ Космос. В качестве конкретного примера того, что неравенство треугольника не выполняется ${\displaystyle L^{1,\infty }}$, учитывать

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{and}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x),}$

чей ${\displaystyle L^{1,\infty }}$ квазинорма равна единице, а квазинорма их суммы ${\displaystyle f+g}$ равно четырем.

Космос ${\displaystyle L^{p,q}}$ содержится в ${\displaystyle L^{p,r}}$ в любое время ${\displaystyle q<r}$. Пространства Лоренца реальны интерполяционные пространства между ${\displaystyle L^{1}}$ и ${\displaystyle L^{\infty }}$.

Смотрите также

• Пространство интерполяции
• Неравенство Харди – Литтлвуда

Рекомендации

• Графакос, Лукас (2008), Классический анализ Фурье, Тексты для выпускников по математике, 249 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN  978-0-387-09431-1, МИСТЕР  2445437.

Примечания

1. Г. Лоренц, "Некоторые новые функциональные пространства", Анналы математики 51 (1950), стр. 37-55.
2. Г. Лоренц, "К теории пространств Λ", Тихоокеанский математический журнал 1 (1951), стр. 411-429.