В математический анализ, Пространства Лоренца, введенные Джордж Г. Лоренц в 1950-х годах[1][2] являются обобщением более известных
пробелы.
Пространства Лоренца обозначаются через
. Словно
пространства, они характеризуются норма (технически квазинорма ), который кодирует информацию о "размере" функции, как и
норма делает. Два основных качественных понятия «размера» функции: насколько высок график функции и насколько он разнесен. Нормы Лоренца обеспечивают более жесткий контроль над обоими качествами, чем нормы.
норм, экспоненциально изменяя масштаб меры в обоих диапазонах (
) и область (
). Нормы Лоренца, как и
нормы, инвариантны относительно произвольных перестановок значений функции.
Определение
Пространство Лоренца на измерить пространство
- пространство комплекснозначных измеримые функции
на Икс так что следующие квазинорма конечно

куда
и
. Таким образом, когда
,

и когда
,

Также принято устанавливать
.
Уменьшение перестановок
Квазинорма инвариантна относительно перестановки значений функции
, по сути, по определению. В частности, учитывая комплексную измеримая функция
определенный на пространстве меры,
, это убывающая перестановка функция
можно определить как

куда
так называемый функция распределения из
, данный

Здесь для удобства обозначений
определяется как
.
Две функции
и
находятся равноизмеримый, означающий, что

куда
это Мера Лебега на реальной линии. Связанные симметричная убывающая перестановка функция, которая также равноизмерима с
, будет определяться на реальной линии как

Учитывая эти определения, для
и
, квазинормы Лоренца имеют вид

Пространства последовательностей Лоренца
Когда
(счетная мера на
) получившееся пространство Лоренца является пространство последовательности. Однако в этом случае удобно использовать другие обозначения.
Определение.
за
(или же
в комплексном случае), пусть
обозначим p-норму для
и
∞-норма. Обозначим через
банахово пространство всех последовательностей с конечной p-нормой. Позволять
банахово пространство всех последовательностей, удовлетворяющих
, наделенный ∞-нормой. Обозначим через
нормированное пространство всех последовательностей с конечным числом ненулевых элементов. Все эти пространства играют роль в определении пространств последовательностей Лоренца.
ниже.
Позволять
последовательность положительных действительных чисел, удовлетворяющая
, и определим норму
. В Пространство последовательностей Лоренца
определяется как банахово пространство всех последовательностей, в которых эта норма конечна. Эквивалентно, мы можем определить
как завершение
под
.
Характеристики
Пространства Лоренца на самом деле являются обобщениями
пространства в том смысле, что для любого
,
, что следует из Принцип Кавальери. Дальше,
совпадает с слабый
. Они есть квазибанаховы пространства (т. е. квазинормированные пространства, которые также полны) и нормируемы для
и
. Когда
,
снабжена нормой, но невозможно определить норму, эквивалентную квазинорме
, слабые
Космос. В качестве конкретного примера того, что неравенство треугольника не выполняется
, учитывать

чей
квазинорма равна единице, а квазинорма их суммы
равно четырем.
Космос
содержится в
в любое время
. Пространства Лоренца реальны интерполяционные пространства между
и
.
Смотрите также
Рекомендации
Примечания
- ^ Г. Лоренц, "Некоторые новые функциональные пространства", Анналы математики 51 (1950), стр. 37-55.
- ^ Г. Лоренц, "К теории пространств Λ", Тихоокеанский математический журнал 1 (1951), стр. 411-429.
|
---|
Пространства | |
---|
Теоремы | |
---|
Операторы | |
---|
Алгебры | |
---|
Открытые проблемы | |
---|
Приложения | |
---|
Дополнительные темы | |
---|