Пространство последовательности - Sequence space

Для использования в эволюционной биологии см. Пространство последовательностей (эволюция).

Для математических операций с порядковыми номерами см. Арифметика серийных номеров.

В функциональный анализ и смежные области математика, а пространство последовательности это векторное пространство чьи элементы бесконечны последовательности из настоящий или же сложные числа. Эквивалентно, это функциональное пространство элементы которого являются функциями от натуральные числа к поле K действительных или комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всех возможных бесконечные последовательности с элементами в K, и может быть превращен в векторное пространство под управлением точечное сложение функций и поточечного скалярного умножения. Все пространства последовательностей линейные подпространства этого пространства. Пространства последовательности обычно оснащены норма, или, по крайней мере, структура топологическое векторное пространство.

Наиболее важными пространствами последовательностей в анализе являются ℓ^п пространства, состоящие из п-степенно суммируемые последовательности с п-норма. Это частные случаи L^п пробелы для счетная мера на множестве натуральных чисел. Другие важные классы последовательностей, такие как сходящиеся последовательности или же нулевые последовательности образуют пространства последовательностей, соответственно обозначаемые c и c₀, с sup norm. Любое пространство последовательностей также может быть оснащено топология из поточечная сходимость, при котором он становится особым видом Fréchet space называется FK-пространство.

Определение

Позволять K обозначают поле действительных или комплексных чисел. Обозначим через K^N набор всех последовательностей скаляров

${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbf {N} },\quad x_{n}\in \mathbf {K} .}$

Это можно превратить в векторное пространство определяя векторное сложение в качестве

${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbf {N} }+(y_{n})_{n\in \mathbf {N} }{\stackrel {\rm {def}}{=}}(x_{n}+y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$

и скалярное умножение в качестве

${\displaystyle \alpha (x_{n})_{n\in \mathbf {N} }:=(\alpha x_{n})_{n\in \mathbf {N} }.}$

А пространство последовательности - любое линейное подпространство в K^N.

ℓ^п пробелы

Смотрите также: L^п Космос и L-бесконечность

Для 0 <п <∞, ℓ^п является подпространством K^N состоящий из всех последовательностей Икс = (Икс_п) удовлетворение

${\displaystyle \sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty .}$

Если п ≥ 1, то действительнозначная операция ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ определяется

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{n}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$

определяет норму на ℓ^п. Фактически, ℓ^п это полное метрическое пространство относительно этой нормы и, следовательно, является Банахово пространство.

Если 0 <п <1, то ℓ^п не несет нормы, а скорее метрика определяется

${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}|x_{n}-y_{n}|^{p}.\,}$

Если п = ∞, то ℓ^∞ определяется как пространство всех ограниченные последовательности. По норме

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|,}$

ℓ^∞ также является банаховым пространством.

c, c₀ и c₀₀

Пространство сходящиеся последовательности c это пространство последовательностей. Это состоит из всего Икс ∈ K^N такой, что lim_п→∞ Икс_п существуют. Поскольку каждая сходящаяся последовательность ограничена, c является линейным подпространством в ℓ^∞. Более того, это замкнутое подпространство относительно нормы бесконечности, а значит, и банахово пространство само по себе.

Подпространство нулевые последовательности c₀ состоит из всех последовательностей, предел которых равен нулю. Это замкнутое подпространство в c, и снова банахово пространство.

Подпространство окончательно нулевых последовательностей c₀₀ состоит из всех последовательностей, которые имеют лишь конечное число ненулевых элементов. Это не замкнутое подпространство и, следовательно, не банахово пространство относительно бесконечной нормы. Например, последовательность (Икс_нк)_k ∈ N куда Икс_нк = 1/k во-первых п записи (для k = 1, ..., п) и равен нулю везде (т.е. (Икс_нк)_k ∈ N = (1, 1/2, ..., 1/(п−1), 1/п, 0, ...)) есть Коши w.r.t. бесконечная норма, но не сходящаяся (к последовательности в c₀₀).

Другие пространства последовательностей

Пространство ограниченного серии, обозначим через bs, - пространство последовательностей Икс для которого

${\displaystyle \sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert <\infty .}$

Это пространство, когда оно оборудовано нормой

${\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert ,}$

является банаховым пространством, изометрически изоморфным ℓ^∞, через линейное отображение

${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbf {N} }\mapsto \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)_{n\in \mathbf {N} }.}$

Подпространство cs состоящее из всех сходящихся рядов, является подпространством, которое переходит в пространство c при этом изоморфизме.

Пространство Φ или ${\displaystyle c_{00}}$ определяется как пространство всех бесконечных последовательностей только с конечным числом ненулевых членов (последовательности с конечная поддержка ). Этот набор плотный во многих пространствах последовательностей.

Свойства ℓ^п пространства и пространство c₀

Смотрите также: c пространство

Пространство ℓ² единственный ℓ^п пространство, которое является Гильбертово пространство, поскольку любая норма, индуцированная внутренний продукт должен удовлетворить закон параллелограмма

${\displaystyle \|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}.}$

Подставив два различных единичных вектора на Икс и у прямо показывает, что тождество неверно, если п = 2.

Каждый ℓ^п различна тем, что ℓ^п это строгий подмножество из ℓ^s в любое время п < s; кроме того, ℓ^п не линейно изоморфный к ℓ^s когдап ≠ s. Фактически, по теореме Питта (Питт 1936 ) любой линейный ограниченный оператор из ℓ^s к ℓ^п является компактный когда п < s. Такой оператор не может быть изоморфизмом; и, кроме того, он не может быть изоморфизмом ни на каком бесконечномерном подпространстве в ℓ^s, и, таким образом, считается строго единичный.

Если 1 <п <∞, то (непрерывное) двойственное пространство из ℓ^п изометрически изоморфно ℓ^q, куда q это Конъюгат Гёльдера из п: 1/п + 1/q = 1. Конкретный изоморфизм ассоциируется с элементом Икс из ℓ^q функционал

${\displaystyle L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}}$

за у в ℓ^п. Неравенство Гёльдера подразумевает, что L_Икс - линейный ограниченный функционал на ℓ^п, а на самом деле

${\displaystyle |L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}}$

так что норма оператора удовлетворяет

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\sup _{y\in \ell ^{p},y\not =0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}.}$

Фактически, принимая у быть элементом ℓ^п с

${\displaystyle y_{n}={\begin{cases}0&{\rm {{if}\ x_{n}=0}}\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&{\rm {{if}\ x_{n}\not =0}}\end{cases}}}$

дает L_Икс(у) = ||Икс||_q, так что на самом деле

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}.}$

Наоборот, для ограниченного линейного функционала L на ℓ^п, последовательность, определяемая Икс_п = L(е_п) лежит в ℓ^q. Таким образом, отображение ${\displaystyle x\mapsto L_{x}}$ дает изометрию

${\displaystyle \kappa _{q}:\ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}.}$

Карта

${\displaystyle \ell ^{q}{\xrightarrow {\kappa _{q}}}(\ell ^{p})^{*}{\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}}}}$

полученный составлением κ_п с обратным транспонировать совпадает с каноническая инъекция из ℓ^q в его двойной двойной. Как следствие ℓ^q это рефлексивное пространство. К злоупотребление обозначениями, типично идентифицировать^q с двойственным к ℓ^п: (ℓ^п)^* = ℓ^q. Тогда под рефлексивностью понимается последовательность отождествлений (ℓ^п)^** = (ℓ^q)^* = ℓ^п.

Космос c₀ определяется как пространство всех последовательностей, сходящихся к нулю, с нормой, идентичной ||Икс||_∞. Это замкнутое подпространство в ℓ^∞, следовательно, банахово пространство. В двойной из c₀ является ℓ¹; двойственный к ℓ¹ является ℓ^∞. В случае набора индексов натуральных чисел^п и c₀ находятся отделяемый, за исключением ℓ^∞. Двойник ℓ^∞ это ба пространство.

Пространства c₀ и ℓ^п (для 1 ≤ п <∞) имеют канонический безусловный Основа Шаудера {е_я | я = 1, 2, ...}, где е_я последовательность, которая равна нулю, но для 1 в я ^th Вход.

Пространство ℓ¹ имеет Schur собственности: В ℓ¹, любая последовательность, которая слабо сходящийся это также сильно сходящийся (Щур 1921 ). Однако поскольку слабая топология на бесконечномерных пространствах строго слабее, чем сильная топология, Существуют сети в ℓ¹ которые сходятся слабо, но не сильно сходятся.

ℓ^п пространства могут быть встроенный во многие Банаховы пространства. Вопрос о том, каждое ли бесконечномерное банахово пространство содержит изоморф некоторого ℓ^п или из c₀, получил отрицательный ответ Б. С. Цирельсон строительство Пространство Цирельсона в 1974 г. Двойственное утверждение, что каждое сепарабельное банахово пространство линейно изометрично факторное пространство из ℓ¹утвердительно ответил Банах и Мазур (1933). То есть для каждого сепарабельного банахова пространства Икс, существует факторное отображение ${\displaystyle Q:\ell ^{1}\to X}$, так что Икс изоморфен ${\displaystyle \ell ^{1}/\ker Q}$. В общем, кер Q не дополняется в ℓ¹, то есть не существует подпространства Y из ℓ¹ такой, что ${\displaystyle \ell ^{1}=Y\oplus \ker Q}$. Фактически, ℓ¹ имеет несчетное количество незаполненных подпространств, которые не изоморфны друг другу (например, взять ${\displaystyle X=\ell ^{p}}$; так как таких бесчисленное множество Икс 's, а поскольку нет ℓ^п изоморфна любому другому, то есть несчетное количество ker Q s).

За исключением тривиального конечномерного случая, необычная особенность ℓ^п это то, что это не полиномиально рефлексивный.

ℓ^п пространства увеличиваются в п

За ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$, пробелы ${\displaystyle \ell ^{p}}$ увеличиваются в ${\displaystyle p}$с непрерывным оператором включения: при ${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$, надо ${\displaystyle \|f\|_{q}\leq \|f\|_{p}}$.

Это следует из определения ${\displaystyle F:={\frac {f}{\|f\|_{p}}}}$ за ${\displaystyle f\in \ell ^{p}}$и отмечая, что ${\displaystyle |F(m)|\leq 1}$ для всех ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, что, как можно показать, означает ${\displaystyle \|F\|_{q}^{q}\leq 1}$.

Свойства ℓ¹ пробелы

Последовательность элементов в ℓ¹ сходится в пространстве комплексных последовательностей ℓ¹ тогда и только тогда, когда он слабо сходится в этом пространстве.^[1] Если K является подмножеством этого пространства, то следующие эквивалентны:^[1]

1. K компактный;
2. K слабо компактный;
3. K ограничена, замкнута и равносильна на бесконечности.

Здесь K существование равнодоступность в бесконечности означает, что для каждого ${\displaystyle \epsilon >0}$, существует натуральное число ${\displaystyle n_{\epsilon }\geq 0}$ такой, что ${\displaystyle \sum _{n=n_{\epsilon }}^{\infty }|s_{n}|<\epsilon }$ для всех ${\displaystyle s=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in K}$.

Смотрите также

• L^п Космос
• Пространство Цирельсона
• бета-дуальное пространство
• Пространство последовательности Орлича

Рекомендации

1. Трев 2006 С. 451-458.

Библиография

• Банах, Стефан; Мазур, С. (1933), "Zur Theorie der linearen Dimension", Studia Mathematica, 4: 100–112.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы, том I, Wiley-Interscience.
• Питт, H.R. (1936), "Заметка о билинейных формах", J. London Math. Soc., 11 (3): 174–180, Дои:10.1112 / jlms / s1-11.3.174.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шур, Дж. (1921), "Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 151: 79–111, Дои:10.1515 / crll.1921.151.79.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.