Пространство последовательности Орлича - Orlicz sequence space

В математика, Пространство последовательности Орлича какой-либо из определенного класса линейные пространства скалярных последовательности, наделенный особым норма, указанные ниже, в соответствии с которыми он образует Банахово пространство. Пространства последовательностей Орлича обобщают ${\displaystyle \ell _{p}}$ пространства, и как таковые играют важную роль в функциональный анализ.

Определение

Исправить ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ так что ${\displaystyle \mathbb {K} }$ обозначает вещественное или комплексное скалярное поле. Мы говорим, что функция ${\displaystyle M:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ является Функция Орлича если он непрерывный, неубывающий и (возможно, нестрого) выпуклый, с ${\displaystyle M(0)=0}$ и ${\displaystyle \textstyle \lim _{t\to \infty }M(t)=\infty }$. В частном случае, когда существует ${\displaystyle b>0}$ с участием ${\displaystyle M(t)=0}$ для всех ${\displaystyle t\in [0,b]}$ это называется выродиться.

В дальнейшем, если не указано иное, мы будем предполагать, что все функции Орлича невырождены. Из этого следует ${\displaystyle M(t)>0}$ для всех ${\displaystyle t>0}$.

Для каждой скалярной последовательности ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ набор

${\displaystyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{M}=\inf \left\{\rho >0:\sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )\leqslant 1\right\}.}$

Затем мы определяем Пространство последовательности Орлича относительно ${\displaystyle M}$, обозначенный ${\displaystyle \ell _{M}}$, как линейное пространство всех ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ такой, что ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )<\infty }$ для некоторых ${\displaystyle \rho >0}$, наделенный нормой ${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$.

Два других определения будут важны в последующем обсуждении. Функция Орлича ${\displaystyle M}$ считается, что удовлетворяет Δ₂ состояние на нуле всякий раз, когда

${\displaystyle \limsup _{t\to 0}{\frac {M(2t)}{M(t)}}<\infty .}$

Обозначим через ${\displaystyle h_{M}}$ подпространство скалярных последовательностей ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{M}}$ такой, что ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )<\infty }$ для всех ${\displaystyle \rho >0}$.

Свойства

Космос ${\displaystyle \ell _{M}}$ является банаховым пространством и обобщает классическое ${\displaystyle \ell _{p}}$ пробелы в следующем точном смысле: когда ${\displaystyle M(t)=t^{p}}$, ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$, тогда ${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$ совпадает с ${\displaystyle \ell _{p}}$-норма, а значит ${\displaystyle \ell _{M}=\ell _{p}}$; если ${\displaystyle M}$ является вырожденной функцией Орлича, то ${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$ совпадает с ${\displaystyle \ell _{\infty }}$-норма, а значит ${\displaystyle \ell _{M}=\ell _{\infty }}$ в этом частном случае и ${\displaystyle h_{M}=c_{0}}$ когда ${\displaystyle M}$ является вырожденным.

В общем, единичные векторы не могут образовывать основа для ${\displaystyle \ell _{M}}$, а потому следующий результат имеет большое значение.

Теорема 1. Если ${\displaystyle M}$ является функцией Орлича, то следующие условия эквивалентны:

(я) ${\displaystyle M}$ удовлетворяет Δ₂ условие в нуле, т.е. ${\displaystyle \textstyle \limsup _{t\to 0}M(2t)/M(t)<\infty }$.

(ii) Для каждого ${\displaystyle \lambda >0}$ существуют положительные постоянные ${\displaystyle K=K(\lambda )}$ и ${\displaystyle b=b(\lambda )}$ так что ${\displaystyle M(\lambda t)\leqslant KM(t)}$ для всех ${\displaystyle t\in [0,b]}$.

(iii) ${\displaystyle \textstyle \limsup _{t\to 0}tM'(t)/M(t)<\infty }$ (где ${\displaystyle M'}$ - неубывающая функция, определенная всюду, кроме, возможно, счетного множества, где вместо этого мы можем взять правую производную, которая определена везде).

(iv) ${\displaystyle \ell _{M}=h_{M}}$.

(v) Единичные векторы образуют ограниченно полный симметричный базис для ${\displaystyle \ell _{M}}$.

(vi) ${\displaystyle \ell _{M}}$ отделимо.

(vii) ${\displaystyle \ell _{M}}$ не может содержать подпространство, изоморфное ${\displaystyle \ell _{\infty }}$.

(viii) ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{M}}$ если и только если ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|)<\infty }$.

Две функции Орлича ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ удовлетворяющие Δ₂ состояние в нуле называются эквивалент когда существуют положительные константы ${\displaystyle A,B,b>0}$ такой, что ${\displaystyle AN(t)\leqslant M(t)\leqslant BN(t)}$ для всех ${\displaystyle t\in [0,b]}$. Это так, если и только если базисы единичных векторов ${\displaystyle \ell _{M}}$ и ${\displaystyle \ell _{N}}$ эквивалентны.

${\displaystyle \ell _{M}}$ может быть изоморфен ${\displaystyle \ell _{N}}$ без эквивалентности их базисов единичных векторов. (См. Ниже пример пространства последовательностей Орлича с двумя неэквивалентными симметричными базами.)

Теорема 2. Позволять ${\displaystyle M}$ быть функцией Орлича. потом ${\displaystyle \ell _{M}}$ рефлексивно тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \liminf _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}>1\;\;}$ и ${\displaystyle \;\;\limsup _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}<\infty }$.

Теорема 3. (К. Дж. Линдберг). Позволять ${\displaystyle X}$ - бесконечномерное замкнутое подпространство сепарабельного пространства последовательностей Орлича ${\displaystyle \ell _{M}}$. потом ${\displaystyle X}$ имеет подпространство ${\displaystyle Y}$ изоморфна некоторому пространству последовательностей Орлича ${\displaystyle \ell _{N}}$ для некоторой функции Орлича ${\displaystyle N}$ удовлетворяющие Δ₂ состояние на нуле. Если к тому же ${\displaystyle X}$ имеет безусловную основу, то ${\displaystyle Y}$ могут быть выбраны для дополнения в ${\displaystyle X}$, и если ${\displaystyle X}$ имеет симметричный базис, то ${\displaystyle X}$ сам изоморфен ${\displaystyle \ell _{N}}$.

Теорема 4. (Lindenstrauss / Tzafriri). Каждое разделимое пространство последовательностей Орлича ${\displaystyle \ell _{M}}$ содержит подпространство, изоморфное ${\displaystyle \ell _{p}}$ для некоторых ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$.

Следствие. Каждое бесконечномерное замкнутое подпространство сепарабельного пространства последовательностей Орлича содержит дополнительное подпространство, изоморфное ${\displaystyle \ell _{p}}$ для некоторых ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$.

Отметим, что в приведенной выше теореме 4 копия ${\displaystyle \ell _{p}}$ не всегда могут быть выбраны для дополнения, как показывает следующий пример.

пример (Lindenstrauss / Tzafriri). Существует сепарабельное и рефлексивное пространство последовательностей Орлича ${\displaystyle \ell _{M}}$ который не содержит дополненной копии ${\displaystyle \ell _{p}}$ для любого ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty }$. Это то же самое пространство ${\displaystyle \ell _{M}}$ содержит не менее двух неэквивалентных симметрических базисов.

Теорема 5. (К. Дж. Линдберг и Линденштраус / Цафрири). Если ${\displaystyle \ell _{M}}$ является пространством последовательностей Орлича, удовлетворяющим ${\displaystyle \textstyle \liminf _{t\to 0}tM'(t)/M(t)=\limsup _{t\to 0}tM'(t)/M(t)}$ (т.е. двусторонний предел существует), то все следующее верно.

(я) ${\displaystyle \ell _{M}}$ отделимо.

(ii) ${\displaystyle \ell _{M}}$ содержит дополненную копию ${\displaystyle \ell _{p}}$ для некоторых ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$.

(iii) ${\displaystyle \ell _{M}}$ имеет единственный симметрический базис (с точностью до эквивалентности).

Пример. Для каждого ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$, функция Орлича ${\displaystyle M(t)=t^{p}/(1-\log(t))}$ удовлетворяет условиям теоремы 5 выше, но не эквивалентно ${\displaystyle t^{p}}$.

использованная литература

• Lindenstrauss, J., and L. Tzafriri. Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей (1977), ISBN  978-3-642-66559-2.
• Lindenstrauss, J., and L. Tzafriri. «О пространствах последовательностей Орлича», Израильский математический журнал 10: 3 (сентябрь 1971 г.), стр 379-390.
• Lindenstrauss, J., and L. Tzafriri. "О пространствах последовательностей Орлича. II" Израильский математический журнал 11: 4 (декабрь 1972 г.), стр. 355-379.
• Lindenstrauss, J., and L. Tzafriri. «О пространствах последовательностей Орлича III», Израильский математический журнал 14: 4 (декабрь 1973 г.), стр. 368-389.