Неравенство Гёльдерса - Hölders inequality - Wikipedia

В математический анализ, Неравенство Гёльдера, названный в честь Отто Гёльдер, является фундаментальным неравенство между интегралы и незаменимый инструмент для изучения L^п пробелы.

Теорема (неравенство Гёльдера). Позволять (S, Σ, μ) быть измерить пространство и разреши п, q ∈ [1, ∞) с 1/п + 1/q = 1. Тогда для всех измеримый настоящий - или же сложный -значен функции ж и грамм на S,

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

Если, кроме того, п, q ∈ (1, ∞) и ж ∈ L^п(μ) и грамм ∈ L^q(μ), то неравенство Гёльдера обращается в равенство тогда и только тогда, когда |ж |^п и |грамм|^q находятся линейно зависимый в L¹(μ), что означает, что существуют действительные числа α, β ≥ 0, а не оба они равны нулю, так что α|ж |^п = β |грамм|^q μ-почти всюду.

Цифры п и q выше, как говорят, Конъюгаты Гёльдера друг друга. Особый случай п = q = 2 дает форму Неравенство Коши – Шварца. Неравенство Гёльдера выполняется, даже если ||фг||₁ бесконечно, причем правая часть в этом случае также бесконечна. Наоборот, если ж в L^п(μ) и грамм в L^q(μ), то поточечное произведение фг в L¹(μ).

Неравенство Гёльдера используется для доказательства Неравенство Минковского, какой неравенство треугольника в пространстве L^п(μ), а также установить, что L^q(μ) это двойное пространство из L^п(μ) за п ∈ [1, ∞).

Неравенство Гёльдера было впервые найдено Леонард Джеймс Роджерс (Роджерс (1888) ), которые были открыты независимо Гёльдер (1889).

Замечания

Конвенции

В краткой формулировке неравенства Гёльдера используются некоторые соглашения.

• В определении конъюгатов Гёльдера 1/ ∞ означает ноль.
• Если п, q ∈ [1, ∞), тогда ||ж ||_п и ||грамм||_q обозначают (возможно, бесконечные) выражения

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\\&\left(\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}\end{aligned}}}$

• Если п = ∞, тогда ||ж ||_∞ стоит за существенный супремум из |ж |, аналогично для ||грамм||_∞.
• Обозначение ||ж ||_п с 1 ≤ п ≤ ∞ это небольшое злоупотребление, потому что в целом это всего лишь норма из ж если ||ж ||_п конечно и ж рассматривается как класс эквивалентности из μ-почти везде одинаковые функции. Если ж ∈ L^п(μ) и грамм ∈ L^q(μ), то обозначения адекватны.
• В правой части неравенства Гёльдера 0 × ∞, а также ∞ × 0 означает 0. Умножение а > 0 с ∞ дает ∞.

Оценки интегрируемых продуктов

Как и выше, пусть ж и грамм обозначают измеримые действительные или комплексные функции, определенные на S. Если ||фг||₁ конечно, то поточечные произведения ж с грамм и это комплексно сопряженный функции μ-интегрируемый, смета

${\displaystyle {\biggl |}\int _{S}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu {\biggr |}\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu =\|fg\|_{1}}$

и аналогичный для фг и к правой части применимо неравенство Гёльдера. В частности, если ж и грамм находятся в Гильбертово пространство L²(μ), то неравенство Гельдера для п = q = 2 подразумевает

${\displaystyle |\langle f,g\rangle |\leq \|f\|_{2}\|g\|_{2},}$

где угловые скобки относятся к внутренний продукт из L²(μ). Это также называется Неравенство Коши – Шварца, но требует для своего утверждения, что ||ж ||₂ и ||грамм||₂ конечны, чтобы убедиться, что внутренний продукт ж и грамм хорошо определено. Мы можем восстановить исходное неравенство (для случая п = 2) с помощью функций |ж | и |грамм| на месте ж и грамм.

Обобщение для вероятностных мер

Если (S, Σ,μ) это вероятностное пространство, тогда п, q ∈ [1, ∞] просто нужно удовлетворить 1/п + 1/q ≤ 1, а не быть конъюгатами Гёльдера. Комбинация неравенства Гёльдера и Неравенство Дженсена подразумевает, что

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$

для всех измеримых действительных или комплексных функций ж и грамм наS.

Известные особые случаи

Для следующих случаев предположим, что п и q находятся в открытом интервале (1,∞) с 1/п + 1/q = 1.

Счетная мера

Для п-размерный Евклидово пространство, когда множество S является {1, ..., п} с счетная мера, у нас есть

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}{\text{ for all }}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ or }}\mathbb {C} ^{n}.}$

Если S = N с считающей мерой, то получаем неравенство Гёльдера для пробелы последовательности:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}{\text{ for all }}(x_{k})_{k\in \mathbb {N} },(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }{\text{ or }}\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }.}$

Мера Лебега

Если S является измеримым подмножеством р^п с Мера Лебега, и ж и грамм являются измеримыми действительными или комплексными функциями наS, то неравенство Гёльдера имеет вид

${\displaystyle \int _{S}{\bigl |}f(x)g(x){\bigr |}\,\mathrm {d} x\leq {\biggl (}\int _{S}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\int _{S}|g(x)|^{q}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{q}}.}$

Вероятностная мера

Для вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ),}$ позволять ${\displaystyle \mathbb {E} }$ обозначить оператор ожидания. Для действительных или комплексных случайные переменные ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ на ${\displaystyle \Omega ,}$ Неравенство Гёльдера гласит

${\displaystyle \mathbb {E} [|XY|]\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Позволять ${\displaystyle 0<r<s}$ и определить ${\displaystyle p={\tfrac {s}{r}}.}$ потом ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$ гёльдеровское сопряжение ${\displaystyle p.}$ Применение неравенства Гёльдера к случайным величинам ${\displaystyle |X|^{r}}$ и ${\displaystyle 1_{\Omega }}$ мы получаем

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{r}{\bigr ]}\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{s}{\bigr ]}\right)^{\frac {r}{s}}.}$

В частности, если s^th абсолютный момент конечно, то р ^th абсолютный момент тоже конечен. (Это также следует из Неравенство Дженсена.)

Измерение продукта

Для двух σ-конечная мера пробелы (S₁, Σ₁, μ₁) и (S₂, Σ₂, μ₂) определить продукт мера пространство к

${\displaystyle S=S_{1}\times S_{2},\quad \Sigma =\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2},\quad \mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2},}$

куда S это Декартово произведение из S₁ и S₂, то σ-алгебра Σ возникает как произведение σ-алгебры из Σ₁ и Σ₂, и μ обозначает мера продукта из μ₁ и μ₂. потом Теорема Тонелли позволяет нам переписать неравенство Гёльдера, используя повторные интегралы: Еслиж и грамм находятся Σ-измеримый действительные или комплексные функции на декартовом произведенииS, тогда

${\displaystyle \int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)\,g(x,y)|\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|g(x,y)|^{q}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Это можно обобщить более чем на два σ-конечный измерять пространства.

Векторозначные функции

Позволять (S, Σ, μ) обозначить σ-конечный измерить пространство и предположить, что ж = (ж₁, ..., ж_п) и грамм = (грамм₁, ..., грамм_п) находятся Σ-измеримые функции на S, принимая значения в п-мерное действительное или комплексное евклидово пространство. Взяв изделие с помощью счетной меры на {1, ..., п}, мы можем переписать вышеприведенную версию неравенства Гёльдера для меры произведения в виде

${\displaystyle \int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)\,g_{k}(x)|\,\mu (\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)|^{p}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|g_{k}(x)|^{q}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Если два интеграла в правой части конечны, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда существуют действительные числа α, β ≥ 0, а не оба они равны нулю, так что

${\displaystyle \alpha \left(|f_{1}(x)|^{p},\ldots ,|f_{n}(x)|^{p}\right)=\beta \left(|g_{1}(x)|^{q},\ldots ,|g_{n}(x)|^{q}\right),}$

за μ-почти все Икс в S.

Эта конечномерная версия обобщается на функции ж и грамм принимая ценности в нормированное пространство который может быть, например, пространство последовательности или внутреннее пространство продукта.

Доказательство неравенства Гёльдера.

Есть несколько доказательств неравенства Гёльдера; основная идея в следующем Неравенство Юнга для продуктов.

Доказательство —

Если ||ж ||_п = 0, тогда ж ноль μ-почти везде, а товар фг ноль μ-почти всюду, поэтому левая часть неравенства Гёльдера равна нулю. То же верно, если ||грамм||_q = 0. Следовательно, можно предположить ||ж ||_п > 0 и ||грамм||_q > 0 В следующих.

Если ||ж ||_п = ∞ или же ||грамм||_q = ∞, то правая часть неравенства Гёльдера бесконечна. Поэтому можно считать, что ||ж ||_п и ||грамм||_q находятся в (0, ∞).

Если п = ∞ и q = 1, тогда |фг| ≤ ||ж ||_∞ |грамм| почти всюду, а неравенство Гёльдера следует из монотонности интеграла Лебега. Аналогично для п = 1 и q = ∞. Следовательно, мы также можем предположить п, q ∈ (1, ∞).

Разделение ж и грамм к ||ж ||_п и ||грамм||_qсоответственно, можно считать, что

${\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.}$

Теперь мы используем Неравенство Юнга для продуктов, в котором говорится, что

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}$

для всех неотрицательных а и б, где равенство достигается тогда и только тогда, когда а^п = б^q. Следовательно

${\displaystyle |f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.}$

Объединение обеих сторон дает

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{p}}+{\frac {\|g\|_{q}^{q}}{q}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$

что доказывает утверждение.

Согласно предположениям п ∈ (1, ∞) и ||ж ||_п = ||грамм||_qравенство выполняется тогда и только тогда, когда |ж |^п = |грамм|^q почти всюду. В более общем смысле, если ||ж ||_п и ||грамм||_q находятся в (0, ∞), то неравенство Гёльдера обращается в равенство тогда и только тогда, когда существуют действительные числа α, β > 0, а именно

${\displaystyle \alpha =\|g\|_{q}^{q},\qquad \beta =\|f\|_{p}^{p},}$

такой, что

${\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}}$   μ-почти всюду (*).

Дело ||ж ||_п = 0 соответствует β = 0 в (*). Дело ||грамм||_q = 0 соответствует α = 0 в (*).

Альтернативное доказательство с использованием неравенства Дженсена

Напомним Неравенство Дженсена для выпуклой функции ${\displaystyle x^{p}}$ (он выпуклый, потому что очевидно ${\displaystyle p\geq 1}$):

${\displaystyle \int hd\nu \leq \left(\int h^{p}d\nu \right)^{\frac {1}{p}}}$

куда ν - любое распределение вероятностей и час любой ν-измеримая функция. Позволять μ быть любой мерой, и ν распределение, плотность которого относительно μ пропорционально ${\displaystyle g^{q}}$, т.е.

${\displaystyle d\nu ={\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,d\mu }}d\mu }$

Следовательно, мы имеем, используя ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$, следовательно ${\displaystyle p(1-q)+q=0}$, и позволяя ${\displaystyle h=fg^{1-q}}$,

${\displaystyle \int fg\,d\mu =\left(\int g^{q}\,d\mu \right)\int \underbrace {fg^{1-q}} _{h}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,d\mu }}d\mu } _{d\nu }\leq \left(\int g^{q}d\mu \right)\left(\int \underbrace {f^{p}g^{p(1-q)}} _{h^{p}}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,d\mu }}\,d\mu } _{d\nu }\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\int g^{q}\,d\mu \right)\left(\int {\frac {f^{p}}{\int g^{q}\,d\mu }}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$

В итоге получаем

${\displaystyle \int fg\,d\mu \leq \left(\int f^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}\left(\int g^{q}\,d\mu \right)^{\frac {1}{q}}}$

Это предполагает ж, грамм вещественные и неотрицательные, но расширение до сложных функций простое (используйте модуль ж, грамм). Также предполагается, что ${\displaystyle \|f\|_{p},\|g\|_{q}}$ не являются ни нулем, ни бесконечностью, и что ${\displaystyle p,q>1}$: все эти предположения также можно снять, как в доказательстве выше.

Экстремальное равенство

Заявление

Предположить, что 1 ≤ п < ∞ и разреши q обозначают сопряжение Гёльдера. Затем для каждого ж ∈ L^п(μ),

${\displaystyle \|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{q}(\mu ),\|g\|_{q}\leq 1\right\},}$

где max указывает, что на самом деле существует грамм максимизируя правую часть. Когда п = ∞ и если каждый набор А в σ-поле Σ с μ(А) = ∞ содержит подмножество B ∈ Σ с 0 < μ(B) < ∞ (что особенно верно, когда μ является σ-конечный), тогда

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{1}(\mu ),\|g\|_{1}\leq 1\right\}.}$

Доказательство экстремального равенства

По неравенству Гёльдера интегралы определены корректно и при 1 ≤ п ≤ ∞,

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu \leq \|f\|_{p},}$

следовательно, левая часть всегда ограничена сверху правой.

Наоборот, для 1 ≤ п ≤ ∞сначала заметим, что утверждение очевидно, когда ||ж ||_п = 0. Поэтому мы предполагаем ||ж ||_п > 0 В следующих.

Если 1 ≤ п < ∞, определять грамм на S к

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}\|f\|_{p}^{1-p}\,|f(x)|^{p}/f(x)&{\text{if }}f(x)\not =0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Проверяя кейсы п = 1 и 1 < п < ∞ отдельно мы видим, что ||грамм||_q = 1 и

${\displaystyle \int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu =\|f\|_{p}.}$

Осталось рассмотреть случай п = ∞. За ε ∈ (0, 1) определять

${\displaystyle A=\left\{x\in S:|f(x)|>(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }\right\}.}$

С ж измеримо, А ∈ Σ. По определению ||ж ||_∞ как существенный супремум из ж и предположение ||ж ||_∞ > 0, у нас есть μ(А) > 0. Используя дополнительное предположение о σ-поле Σ при необходимости существует подмножество B ∈ Σ из А с 0 < μ(B) < ∞. Определять грамм на S к

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}{\frac {\|f\|_{\infty }}{f(x)}}&{\text{if }}x\in B,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

потом грамм четко определен, измерим и |грамм(Икс)| ≤ 1/μ(B) за Икс ∈ B, следовательно ||грамм||₁ ≤ 1. Более того,

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|=\int _{B}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}\|f\|_{\infty }\,\mathrm {d} \mu =(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }.}$

Замечания и примеры

• Равенство для ${\displaystyle p=\infty }$ терпит неудачу всякий раз, когда существует набор ${\displaystyle A}$ бесконечной меры в ${\displaystyle \sigma }$-поле ${\displaystyle \Sigma }$ с этим не имеет подмножества ${\displaystyle B\in \Sigma }$ что удовлетворяет: ${\displaystyle 0<\mu (B)<\infty .}$ (простейший пример - ${\displaystyle \sigma }$-поле ${\displaystyle \Sigma }$ содержащий только пустой набор и ${\displaystyle S,}$ и мера ${\displaystyle \mu }$ с ${\displaystyle \mu (S)=\infty .}$) Тогда индикаторная функция ${\displaystyle 1_{A}}$ удовлетворяет ${\displaystyle \|1_{A}\|_{\infty }=1,}$ но каждый ${\displaystyle g\in L^{1}(\mu )}$ должно быть ${\displaystyle \mu }$-почти везде постоянно на ${\displaystyle A,}$ потому что это так ${\displaystyle \Sigma }$-измерима, и эта константа должна быть равна нулю, потому что ${\displaystyle g}$ является ${\displaystyle \mu }$-интегрируемый. Следовательно, приведенный выше супремум для индикаторной функции ${\displaystyle 1_{A}}$ равен нулю, и экстремальное равенство не выполняется.
• За ${\displaystyle p=\infty ,}$ супремум вообще не достигается. В качестве примера пусть ${\displaystyle S=\mathbb {N} ,\Sigma ={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ и ${\displaystyle \mu }$ счетная мера. Определять:

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \\f(n)={\frac {n-1}{n}}\end{cases}}}$

потом ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=1.}$ За ${\displaystyle g\in L^{1}(\mu ,\mathbb {N} )}$ с ${\displaystyle 0<\|g\|_{1}\leqslant 1,}$ позволять ${\displaystyle m}$ обозначают наименьшее натуральное число с помощью ${\displaystyle g(m)\neq 0.}$ потом

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leqslant {\frac {m-1}{m}}|g(m)|+\sum _{n=m+1}^{\infty }|g(n)|=\|g\|_{1}-{\frac {|g(m)|}{m}}<1.}$

Приложения

• Экстремальное равенство - один из способов доказательства неравенства треугольника ||ж₁ + ж₂||_п ≤ ||ж₁||_п + ||ж₂||_п для всех ж₁ и ж₂ в L^п(μ), видеть Неравенство Минковского.
• Из неравенства Гёльдера следует, что каждое ж ∈ L^п(μ) определяет ограниченный (или непрерывный) линейный функционал κ_ж на L^q(μ) по формуле

${\displaystyle \kappa _{f}(g)=\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu ,\qquad g\in L^{q}(\mu ).}$

Экстремальное равенство (если оно истинно) показывает, что норма этого функционала κ_ж как элемент непрерывное двойное пространство L^q(μ)^* совпадает с нормой ж в L^п(μ) (см. также L^п-Космос статья).

Обобщение неравенства Гёльдера.

Предположить, что р ∈ (0, ∞] и п₁, …, п_п ∈ (0, ∞] такой, что

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}}$

(где мы интерпретируем 1 / ∞ как 0 в этом уравнении). Тогда для всех измеримых действительных или комплексных функций ж₁, …, ж_п определено на S,

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\|f_{k}\|_{p_{k}}}$

(где мы интерпретируем любой продукт с множителем ∞ как ∞, если все множители положительны, но произведение равно 0, если любой множитель равен 0).

Особенно,

${\displaystyle f_{k}\in L^{p_{k}}(\mu )\;\;\forall k\in \{1,\ldots ,n\}\implies \prod _{k=1}^{n}f_{k}\in L^{r}(\mu ).}$

Примечание: За р ∈ (0, 1), вопреки обозначениям, ||.||_р вообще не является нормой, потому что не удовлетворяет неравенство треугольника.

Доказательство обобщения

Воспользуемся неравенством Гёльдера и математическая индукция. За п = 1, результат очевиден. Давайте теперь перейдем от п − 1 к п. Без ограничения общности предположим, что п₁ ≤ … ≤ п_п.

Случай 1: Если п_п = ∞, тогда

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}.}$

Вытягивая существенный супремум |ж_п| и используя предположение индукции, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|f_{1}\cdots f_{n}\right\|_{r}&\leq \|f_{1}\cdots f_{n-1}\|_{r}\|f_{n}\|_{\infty }\\&\leq \|f_{1}\|_{p_{1}}\cdots \|f_{n-1}\|_{p_{n-1}}\|f_{n}\|_{\infty }.\end{aligned}}}$

Случай 2: Если п_п < ∞, то обязательно р < ∞ также, а затем

${\displaystyle p:={\frac {p_{n}}{p_{n}-r}},\qquad q:={\frac {p_{n}}{r}}}$

являются конъюгатами Гёльдера в (1, ∞). Применение неравенства Гёльдера дает

${\displaystyle \left\||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\,|f_{n}|^{r}\right\|_{1}\leq \left\||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\right\|_{p}\,\left\||f_{n}|^{r}\right\|_{q}.}$

Повышение к власти 1/р и переписывание,

${\displaystyle \|f_{1}\cdots f_{n}\|_{r}\leq \|f_{1}\cdots f_{n-1}\|_{pr}\|f_{n}\|_{qr}.}$

С qr = п_п и

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p_{n}}}={\frac {p_{n}-r}{rp_{n}}}={\frac {1}{pr}},}$

заявленное неравенство следует теперь с помощью предположения индукции.

Интерполяция

Позволять п₁, ..., п_п ∈ (0, ∞] и разреши θ₁, ..., θ_п ∈ (0, 1) обозначим веса с θ₁ + ... + θ_п = 1. Определять п как взвешенный гармоническое среднее, т.е.

${\displaystyle {\frac {1}{p}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\theta _{k}}{p_{k}}}.}$

Даны измеримые действительные или комплексные функции ${\displaystyle f_{k}}$ на S, то приведенное выше обобщение неравенства Гёльдера дает

${\displaystyle \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\cdots |f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{p}\leq \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\right\|_{\frac {p_{1}}{\theta _{1}}}\cdots \left\||f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{\frac {p_{n}}{\theta _{n}}}=\|f_{1}\|_{p_{1}}^{\theta _{1}}\cdots \|f_{n}\|_{p_{n}}^{\theta _{n}}.}$

В частности, принимая ${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{n}=:f}$ дает

${\displaystyle \|f\|_{p}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|f\|_{p_{k}}^{\theta _{k}}.}$

Уточнение далее θ₁ = θ и θ₂ = 1-θ, в случае п = 2, получаем интерполяция результат (неравенство Литтлвуда)

${\displaystyle \|f\|_{p_{\theta }}\leqslant \|f\|_{p_{1}}^{\theta }\cdot \|f\|_{p_{0}}^{1-\theta },}$

за ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$ и

${\displaystyle {\frac {1}{p_{\theta }}}={\frac {\theta }{p_{1}}}+{\frac {1-\theta }{p_{0}}}.}$

Применение Гельдера дает неравенство Ляпунова: если

${\displaystyle p=(1-\theta )p_{0}+\theta p_{1},\qquad \theta \in (0,1),}$

тогда

${\displaystyle \left\||f_{0}|^{\frac {p_{0}(1-\theta )}{p}}\cdot |f_{1}|^{\frac {p_{1}\theta }{p}}\right\|_{p}^{p}\leq \|f_{0}\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\|f_{1}\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }}$

и в частности

${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}\leqslant \|f\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\cdot \|f\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }.}$

И Литтлвуд, и Ляпунов подразумевают, что если ${\displaystyle f\in L^{p_{0}}\cap L^{p_{1}},}$ тогда ${\displaystyle f\in L^{p}}$ для всех ${\displaystyle p_{0}<p<p_{1}.}$

Обратное неравенство Гёльдера

Предположить, что п ∈ (1, ∞) и что мера пространства (S, Σ, μ) удовлетворяет μ(S) > 0. Тогда для всех измеримых действительных или комплексных функций ж и грамм на S такой, что грамм(s) ≠ 0 за μ-почти все s ∈ S,

${\displaystyle \|fg\|_{1}\geqslant \|f\|_{\frac {1}{p}}\,\|g\|_{\frac {-1}{p-1}}.}$

Если

${\displaystyle \|fg\|_{1}<\infty \quad {\text{and}}\quad \|g\|_{\frac {-1}{p-1}}>0,}$

то обратное неравенство Гёльдера является равенством тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \exists \alpha \geqslant 0\quad |f|=\alpha |g|^{\frac {-p}{p-1}}\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}.}$

Примечание: Выражения:

${\displaystyle \|f\|_{\frac {1}{p}}\quad {\text{and}}\quad \|g\|_{\frac {-1}{p-1}},}$

не нормы, это просто компактные обозначения для

${\displaystyle \left(\int _{S}|f|^{\frac {1}{p}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{p}\quad {\text{and}}\quad \left(\int _{S}|g|^{\frac {-1}{p-1}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{-(p-1)}.}$

Доказательство обратного неравенства Гёльдера

Обратите внимание, что п и

${\displaystyle q:={\frac {p}{p-1}}\in (1,\infty )}$

являются конъюгатами Гёльдера. Применение неравенства Гёльдера дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}&=\left\||fg|^{\frac {1}{p}}\,|g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{1}\\&\leqslant \left\||fg|^{\frac {1}{p}}\right\|_{p}\left\||g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{q}\\&=\|fg\|_{1}^{\frac {1}{p}}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{\frac {p-1}{p}}\end{aligned}}}$

Повышение к власти п дает нам:

${\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\leqslant \|fg\|_{1}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{p-1}.}$

Следовательно:

${\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{-(p-1)}\leqslant \|fg\|_{1}.}$

Теперь нам просто нужно вспомнить наши обозначения.

С грамм почти всюду не равна нулевой функции, мы можем иметь равенство тогда и только тогда, когда существует постоянная α ≥ 0 такой, что |фг| = α |грамм|^−q/п почти всюду. Решение для абсолютного значения ж дает претензию.

Условное неравенство Гёльдера

Позволять (Ω,F, ℙ) быть вероятностным пространством, грамм ⊂ F а суб-σ-алгебра, и п, q ∈ (1, ∞) Гёльдер спрягается, что означает, что 1/п + 1/q = 1. Тогда для всех вещественных или комплексных случайных величин Икс и Y наΩ,

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}\leq {\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}}\,{\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}\qquad \mathbb {P} {\text{-almost surely.}}}$

Примечания:

• Если неотрицательная случайная величина Z имеет бесконечный ожидаемое значение, то его условное ожидание определяется

${\displaystyle \mathbb {E} [Z|{\mathcal {G}}]=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\mathbb {E} [\min\{Z,n\}|{\mathcal {G}}]\quad {\text{a.s.}}}$

• В правой части условного неравенства Гельдера 0, умноженное на ∞, а также ∞, умноженное на 0, означает 0. Умножение а > 0 с ∞ дает ∞.

Доказательство условного неравенства Гёльдера

Определите случайные величины

${\displaystyle U={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}},\qquad V={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}}$

и обратите внимание, что они измеримы относительно суб-σ-алгебра. С

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}1_{\{U=0\}}{\bigr ]}=\mathbb {E} {\bigl [}1_{\{U=0\}}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}} _{=\,U^{p}}{\bigr ]}=0,}$

следует, что |Икс | = 0 в качестве. на съемочной площадке {U = 0}. По аналогии, |Y | = 0 в качестве. на съемочной площадке {V = 0}, следовательно

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}=0\qquad {\text{a.s. on }}\{U=0\}\cup \{V=0\}}$

и на этом множестве выполнено условное неравенство Гёльдера. На съемочной площадке

${\displaystyle \{U=\infty ,V>0\}\cup \{U>0,V=\infty \}}$

правая часть бесконечна, и условное неравенство Гёльдера также выполнено. Таким образом, разделив правую часть, остается показать, что

${\displaystyle {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}\leq 1\qquad {\text{a.s. on the set }}H:=\{0<U<\infty ,\,0<V<\infty \}.}$

Это делается путем проверки выполнения неравенства после интегрирования по произвольному

${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},\quad G\subset H.}$

Используя измеримость U, V, 1_грамм с уважением к суб-σ-алгебра, правила условных ожиданий, неравенство Гёльдера и 1/п + 1/q = 1, Мы видим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}1_{G}{\biggr ]}&=\mathbb {E} {\biggl [}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|XY|}{UV}}1_{G}{\bigg |}\,{\mathcal {G}}{\biggr ]}{\biggr ]}\\&=\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|}{U}}1_{G}\cdot {\frac {|Y|}{V}}1_{G}{\biggr ]}\\&\leq {\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|^{p}}{U^{p}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|Y|^{q}}{V^{q}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&={\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{U^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{V^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&=\mathbb {E} {\bigl [}1_{G}{\bigr ]}.\end{aligned}}}$

Неравенство Гёльдера для возрастающих полунорм

Позволять S быть набором и пусть ${\displaystyle F(S,\mathbb {C} )}$ - пространство всех комплекснозначных функций на S. Позволять N быть увеличивающимся полунорма на ${\displaystyle F(S,\mathbb {C} ),}$ означает, что для всех действительных функций ${\displaystyle f,g\in F(S,\mathbb {C} )}$ имеем следующую импликацию (полунорме также разрешено принимать значение ∞):

${\displaystyle \forall s\in S\quad f(s)\geqslant g(s)\geqslant 0\qquad \Rightarrow \qquad N(f)\geqslant N(g).}$

Потом:

${\displaystyle \forall f,g\in F(S,\mathbb {C} )\qquad N(|fg|)\leqslant {\bigl (}N(|f|^{p}){\bigr )}^{\frac {1}{p}}{\bigl (}N(|g|^{q}){\bigr )}^{\frac {1}{q}},}$

где числа ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ являются конъюгатами Гёльдера.^[1]

Замечание: Если (S, Σ, μ) это измерить пространство и ${\displaystyle N(f)}$ - верхний интеграл Лебега от ${\displaystyle |f|}$ то ограничение N все Σ-измеримый функции дает обычный вариант неравенства Гёльдера.

Смотрите также

• Неравенство Коши – Шварца
• Неравенство Минковского
• Неравенство Дженсена
• Неравенство Юнга для продуктов
• Неравенства Кларксона
• Неравенство Браскампа – Либа

Цитаты

1. Доказательство см. В (Трев 1967, Лемма 20.1, с. 205–206).

Рекомендации

• Гриншпан, А. З. (2010), "Весовые неравенства и отрицательные биномы", Успехи в прикладной математике, 45 (4): 564–606, Дои:10.1016 / j.aam.2010.04.004
• Харди, Г. Х.; Литтлвуд, Дж. Э.; Поля, Г. (1934), Неравенства, Издательство Кембриджского университета, стр. XII + 314, ISBN  0-521-35880-9, JFM  60.0169.01, Zbl  0010.10703.
• Гёльдер, О. (1889), "Ueber einen Mittelwertsatz", Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen, Band (на немецком языке), 1889 (2): 38–47, JFM  21.0260.07. Доступны на Digi Zeitschriften.
• Купцов, Л. П. (2001) [1994], «Неравенство Гёльдера», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Роджерс, Л. Дж. (Февраль 1888 г.), «Расширение одной теоремы в неравенствах», Посланник математики, Новая серия, XVII (10): 145–150, JFM  20.0254.02, заархивировано из оригинал 21 августа 2007 г..
• Трев, Франсуа (1967), Топологические векторные пространства, распределения и ядра, Чистая и прикладная математика. Серия монографий и учебников, 25, Нью-Йорк, Лондон: Academic Press, МИСТЕР  0225131, Zbl  0171.10402.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

внешняя ссылка

• Каттлер, Кеннет (2007), Введение в линейную алгебру (PDF), Электронная электронная книга в формате PDF, Университет Бригама Янга.
• Лохуотер, Артур (1982), Введение в неравенство (PDF).
• Тисделл, Крис (2012), Неравенство Холдера, Онлайн-видео на канале доктора Криса Тисделла на YouTube.