Неравенство Браскампа – Либа - Brascamp–Lieb inequality

В математика, то Неравенство Браскампа – Либа является одним из двух неравенств. Первый результат геометрия касательно интегрируемые функции на п-размерный Евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ . Он обобщает Неравенство Лумиса – Уитни и Неравенство Гёльдера. Второй - результат теории вероятностей, которая дает неравенство концентрации для логарифмически вогнутых распределений вероятностей. Оба названы в честь Херм Ян Браскамп и Эллиотт Х. Либ.

Геометрическое неравенство

Исправить натуральные числа м и п. Для 1 ≤я ≤ м, позволять п_я ∈ N и разреши c_я > 0 так что

{displaystyle sum _ {i = 1} ^ {m} c_ {i} n_ {i} = n.}

Выберите неотрицательные интегрируемые функции

{displaystyle f_ {i} in L ^ {1} left (mathbb {R} ^ {n_ {i}}; [0, + infty] ight)}

и сюръективный линейные карты

{displaystyle B_ {i}: mathbb {R} ^ {n} o mathbb {R} ^ {n_ {i}}.}

Тогда имеет место следующее неравенство:

{displaystyle int _ {mathbb {R} ^ {n}} prod _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} left (B_ {i} xight) ^ {c_ {i}}, mathrm {d} xleq D ^ {- 1/2} prod _ {i = 1} ^ {m} left (int _ {mathbb {R} ^ {n_ {i}}} f_ {i} (y), mathrm {d} yight) ^ {c_ {i}},}

куда D дан кем-то

{displaystyle D = inf left {left. {frac {det left (sum _ {i = 1} ^ {m} c_ {i} B_ {i} ^ {*} A_ {i} B_ {i} ight)} { prod _ {i = 1} ^ {m} (det A_ {i}) ^ {c_ {i}}}} ight | A_ {i} {ext {положительно определенное}} n_ {i} imes n_ { i} {ext {matrix}} ight}.}

Другой способ заявить об этом состоит в том, что постоянная D это то, что можно получить, ограничив внимание случаем, в котором каждый ${displaystyle f_ {i}}$ является центрированной функцией Гаусса, а именно ${displaystyle f_ {i} (y) = exp {- (y ,, A_ {i}, y)}}$ .^[1]

Отношение к другим видам неравенства

Геометрическое неравенство Браскампа – Либа.

Геометрическое неравенство Браскампа – Либа является частным случаем указанного выше,^[2] и использовался Кейт Болл, в 1989 г., чтобы получить оценки сверху объемов центральных сечений кубов.^[3]

За я = 1, ..., м, позволять c_я > 0 и пусть ты_я ∈ S^п−1 быть единичным вектором; Предположим, что c_я и ты_я удовлетворить

{displaystyle x = sum _ {i = 1} ^ {m} c_ {i} (xcdot u_ {i}) u_ {i}}

для всех Икс в р^п. Позволять ж_я ∈ L¹(р; [0, + ∞]) для каждого я = 1, ..., м. потом

{displaystyle int _ {mathbb {R} ^ {n}} prod _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} (xcdot u_ {i}) ^ {c_ {i}}, mathrm {d} xleq prod _ {i = 1} ^ {m} left (int _ {mathbb {R}} f_ {i} (y), mathrm {d} yight) ^ {c_ {i}}.}

Геометрическое неравенство Браскампа – Либа следует из неравенства Браскампа – Либа, как указано выше, если взять п_я = 1 и B_я(Икс) = Икс · ты_я. Тогда для z_я ∈ р,

{displaystyle B_ {i} ^ {*} (z_ {i}) = z_ {i} u_ {i}.}

Следует, что D = 1 в этом случае.

Неравенство Гёльдера

В качестве другого частного случая возьмем п_я = п, B_я = id, карта идентичности на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , заменяя ж_я к ж^1/c_я
_я, и разреши c_я = 1 / п_я для 1 ≤я ≤ м. потом

{displaystyle sum _ {i = 1} ^ {m} {frac {1} {p_ {i}}} = 1}

и бревенчатая вогнутость из детерминант из положительно определенная матрица подразумевает, что D = 1. Отсюда следует неравенство Гёльдера в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ :

{displaystyle int _ {mathbb {R} ^ {n}} prod _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} (x), mathrm {d} xleq prod _ {i = 1} ^ {m} | f_ {i} | _ {p_ {i}}.}

Неравенство концентрации

Рассмотрим функцию плотности вероятности ${displaystyle p (x) = exp (-phi (x))}$ . Эта функция плотности вероятности ${displaystyle p (x)}$ считается логарифмическая мера если ${displaystyle phi (x)}$ функция выпуклая. Такие функции плотности вероятности имеют хвосты, которые убывают экспоненциально быстро, поэтому большая часть вероятностной массы находится в небольшой области вокруг моды ${displaystyle p (x)}$ . Неравенство Браскампа – Либа дает еще одну характеристику компактности ${displaystyle p (x)}$ ограничивая среднее значение любой статистики ${displaystyle S (x)}$ .

Формально пусть ${displaystyle S (x)}$ - любая выводимая функция. Неравенство Браскэмпа – Либа гласит:

{displaystyle operatorname {var} _ {p} (S (x)) leq E_ {p} (abla ^ {T} S (x) [Hphi (x)] ^ {- 1} abla S (x))}

где H - Гессен и ${displaystyle abla}$ это Символ набла.^[4]

Отношения с другими видами неравенства

Неравенство Браскампа – Либа является расширением Неравенство Пуанкаре что касается только гауссовских распределений вероятностей.

Неравенство Браскампа – Либа также связано с Граница Крамера – Рао. В то время как Браскамп – Либ является верхней оценкой, граница Крамера – Рао ограничивает нижнюю границу дисперсии ${displaystyle operatorname {var} _ {p} (S (x))}$ . Выражения практически идентичны:

{displaystyle operatorname {var} _ {p} (S (x)) geq E_ {p} (abla ^ {T} S (x)) [E_ {p} (Hphi (x))] ^ {- 1} E_ {p} (abla S (x))}

Дополнительную информацию по обоим пунктам можно найти в "Лог-вогнутости и сильной лог-вогнутости: обзор" А. Сомара и Дж. Велнера.

Рекомендации

^ Это неравенство находится в Либ, Э. Х. (1990). «Гауссовские ядра имеют только гауссовские максимизаторы». Inventiones Mathematicae. 102: 179–208. Bibcode:1990InMat.102..179L. Дои:10.1007 / bf01233426.
^ Впервые это было получено в Brascamp, H.J .; Либ, Э. Х. (1976). «Лучшие константы в неравенстве Юнга, его обратное и его обобщение на более чем три функции». Adv. Математика. 20 (2): 151–172. Дои:10.1016/0001-8708(76)90184-5.
^ Болл, Кейт М. (1989). «Объемы сечений кубов и связанные с ними задачи». В Линденштраус, Дж.; Мильман, В. Д. (ред.). Геометрические аспекты функционального анализа (1987–88). Конспект лекций по математике. 1376. Берлин: Springer. С. 251–260.
^ Эта теорема была первоначально выведена в Brascamp, H.J .; Либ, Э. Х. (1976). «О расширениях теорем Брунна – Минковского и Прекопы – Лейндлера, включая неравенства для логарифмически вогнутых функций, и с приложением к уравнению диффузии». Журнал функционального анализа. 22 (4): 366–389. Дои:10.1016/0022-1236(76)90004-5. Расширения неравенства можно найти в Харже, Жиль (2008). «Усиление неравенства из-за Браскэмпа и Либа». Журнал функционального анализа. 254 (2): 267–300. Дои:10.1016 / j.jfa.2007.07.019 и Карлен, Эрик А .; Кордеро-Эраускин, Дарио; Либ, Эллиотт Х. (2013). "Асимметричные ковариантные оценки типа Браскэмпа-Либа и связанные с ними неравенства для лог-вогнутых мер". Annales de l'Institut Henri Poincaré B. 49 (1): 1–12. arXiv:1106.0709. Bibcode:2013АИХПБ..49 .... 1С. Дои:10.1214 / 11-aihp462.

Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна – Минковского» (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 39 (3): 355–405. Дои:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2.

[1] Это неравенство находится в Либ, Э. Х. (1990). «Гауссовские ядра имеют только гауссовские максимизаторы». Inventiones Mathematicae. 102: 179–208. Bibcode:1990InMat.102..179L. Дои:10.1007 / bf01233426.

[2] Впервые это было получено в Brascamp, H.J .; Либ, Э. Х. (1976). «Лучшие константы в неравенстве Юнга, его обратное и его обобщение на более чем три функции». Adv. Математика. 20 (2): 151–172. Дои:10.1016/0001-8708(76)90184-5.

[3] Болл, Кейт М. (1989). «Объемы сечений кубов и связанные с ними задачи». В Линденштраус, Дж.; Мильман, В. Д. (ред.). Геометрические аспекты функционального анализа (1987–88). Конспект лекций по математике. 1376. Берлин: Springer. С. 251–260.

[4] Эта теорема была первоначально выведена в Brascamp, H.J .; Либ, Э. Х. (1976). «О расширениях теорем Брунна – Минковского и Прекопы – Лейндлера, включая неравенства для логарифмически вогнутых функций, и с приложением к уравнению диффузии». Журнал функционального анализа. 22 (4): 366–389. Дои:10.1016/0022-1236(76)90004-5. Расширения неравенства можно найти в Харже, Жиль (2008). «Усиление неравенства из-за Браскэмпа и Либа». Журнал функционального анализа. 254 (2): 267–300. Дои:10.1016 / j.jfa.2007.07.019 и Карлен, Эрик А .; Кордеро-Эраускин, Дарио; Либ, Эллиотт Х. (2013). "Асимметричные ковариантные оценки типа Браскэмпа-Либа и связанные с ними неравенства для лог-вогнутых мер". Annales de l'Institut Henri Poincaré B. 49 (1): 1–12. arXiv:1106.0709. Bibcode:2013АИХПБ..49 .... 1С. Дои:10.1214 / 11-aihp462.

[1]

[2]

[3]

[4]