Граница Крамера – Рао - Cramér–Rao bound - Wikipedia

В теория оценки и статистика, то Граница Крамера – Рао (CRB) выражает нижнюю границу отклонение непредвзятого оценщики детерминированного (фиксированного, хотя и неизвестного) параметра, утверждающего, что дисперсия любой такой оценки не меньше, чем величина, обратная Информация Fisher. Результат назван в честь Харальд Крамер и К. Р. Рао,^[1][2][3] но независимо также был получен Морис Фреше,^[4] Жорж Дармуа,^[5] а также Александр Айткен и Гарольд Сильверстоун.^[6][7]

Несмещенная оценка, которая достигает этой нижней границы, называется (полностью) эффективный. Такое решение обеспечивает минимально возможное среднеквадратичная ошибка среди всех беспристрастных методов, и поэтому минимальная дисперсия объективная (MVU) оценщик. Однако в некоторых случаях не существует беспристрастной техники, позволяющей достичь предела. Это может произойти либо в том случае, если для любой несмещенной оценки существует другая со строго меньшей дисперсией, либо если существует оценка MVU, но ее дисперсия строго больше, чем инверсия информации Фишера.

Граница Крамера – Рао также может быть использована для оценки дисперсии пристрастный оценщики данной предвзятости. В некоторых случаях необъективный подход может привести как к отклонению, так и к среднеквадратичная ошибка которые ниже несмещенная нижняя граница Крамера – Рао; видеть систематическая ошибка оценки.

Заявление

Граница Крамера – Рао формулируется в этом разделе для нескольких все более общих случаев, начиная со случая, когда параметр является скаляр и его оценка беспристрастный. Для всех вариантов оценки требуются определенные условия регулярности, которые выполняются для большинства распределений с хорошим поведением. Эти условия перечислены позже в этом разделе.

Скалярный несмещенный случай

Предполагать ${\displaystyle \theta }$ - неизвестный детерминированный параметр, который оценивается по ${\displaystyle n}$ независимые наблюдения (измерения) ${\displaystyle x}$, каждый распределен согласно некоторым функция плотности вероятности ${\displaystyle f(x;\theta )}$. В отклонение любой беспристрастный оценщик ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ из ${\displaystyle \theta }$ тогда ограничено взаимный из Информация Fisher ${\displaystyle I(\theta )}$:

${\displaystyle \operatorname {var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {1}{I(\theta )}}}$

где информация Фишера ${\displaystyle I(\theta )}$ определяется

${\displaystyle I(\theta )=n\operatorname {E} \left[\left({\frac {\partial \ell (x;\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}\right]}$

и ${\displaystyle \ell (x;\theta )=\log(f(x;\theta ))}$ это натуральный логарифм из функция правдоподобия за единичный образец ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \operatorname {E} }$ обозначает ожидаемое значение (над ${\displaystyle x}$). Если ${\displaystyle \ell (x;\theta )}$ дважды дифференцируема и выполняются определенные условия регулярности, то информацию Фишера также можно определить следующим образом:^[8]

${\displaystyle I(\theta )=-n\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}\ell (x;\theta )}{\partial \theta ^{2}}}\right]}$

В эффективность объективной оценки ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ измеряет, насколько близко дисперсия этой оценки подходит к этой нижней границе; эффективность оценщика определяется как

${\displaystyle e({\hat {\theta }})={\frac {I(\theta )^{-1}}{\operatorname {var} ({\hat {\theta }})}}}$

или минимально возможная дисперсия для несмещенной оценки, деленная на ее фактическую дисперсию. Таким образом, нижняя граница Крамера – Рао дает

${\displaystyle e({\hat {\theta }})\leq 1.}$

Общий скалярный случай

Более общий вид оценки может быть получен путем рассмотрения смещенной оценки ${\displaystyle T(X)}$, ожидание которого не ${\displaystyle \theta }$ но функция этого параметра, скажем, ${\displaystyle \psi (\theta )}$. Следовательно ${\displaystyle E\{T(X)\}-\theta =\psi (\theta )-\theta }$ обычно не равно 0. В этом случае оценка дается выражением

${\displaystyle \operatorname {var} (T)\geq {\frac {[\psi '(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}}$

куда ${\displaystyle \psi '(\theta )}$ является производной от ${\displaystyle \psi (\theta )}$ (к ${\displaystyle \theta }$), и ${\displaystyle I(\theta )}$ - это информация Fisher, определенная выше.

Связано с дисперсией смещенных оценок

Помимо ограничения оценок функций параметра, этот подход может использоваться для получения границы дисперсии смещенных оценок с заданным смещением следующим образом. Рассмотрим оценщик ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ с предвзятостью ${\displaystyle b(\theta )=E\{{\hat {\theta }}\}-\theta }$, и разреши ${\displaystyle \psi (\theta )=b(\theta )+\theta }$. Согласно приведенному выше результату, любая несмещенная оценка, математическое ожидание которой ${\displaystyle \psi (\theta )}$ имеет дисперсию больше или равную ${\displaystyle (\psi '(\theta ))^{2}/I(\theta )}$. Таким образом, любая оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ смещение которого задается функцией ${\displaystyle b(\theta )}$ удовлетворяет

${\displaystyle \operatorname {var} \left({\hat {\theta }}\right)\geq {\frac {[1+b'(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}.}$

Несмещенная версия оценки является частным случаем этого результата с ${\displaystyle b(\theta )=0}$.

Иметь небольшую дисперсию тривиально - постоянная «оценка» имеет нулевую дисперсию. Но из приведенного выше уравнения мы находим, что среднеквадратичная ошибка смещенной оценки ограничено

${\displaystyle \operatorname {E} \left(({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right)\geq {\frac {[1+b'(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}+b(\theta )^{2},}$

используя стандартную декомпозицию MSE. Однако обратите внимание, что если ${\displaystyle 1+b'(\theta )<1}$ эта оценка может быть меньше несмещенной границы Крамера – Рао ${\displaystyle 1/I(\theta )}$. Например, в пример оценки дисперсии ниже, ${\displaystyle 1+b'(\theta )={\frac {n}{n+2}}<1}$.

Многомерный случай

Расширение границы Крамера – Рао до нескольких параметров, определение столбца параметров вектор

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\left[\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{d}\right]^{T}\in \mathbb {R} ^{d}}$

с функцией плотности вероятности ${\displaystyle f(x;{\boldsymbol {\theta }})}$ который удовлетворяет двум условия регулярности ниже.

В Информационная матрица Fisher это ${\displaystyle d\times d}$ матрица с элементом ${\displaystyle I_{m,k}}$ определяется как

${\displaystyle I_{m,k}=\operatorname {E} \left[{\frac {\partial }{\partial \theta _{m}}}\log f\left(x;{\boldsymbol {\theta }}\right){\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\log f\left(x;{\boldsymbol {\theta }}\right)\right]=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta _{m}\,\partial \theta _{k}}}\log f\left(x;{\boldsymbol {\theta }}\right)\right].}$

Позволять ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(X)}$ быть оценщиком любой вектор-функции параметров, ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(X)=(T_{1}(X),\ldots ,T_{d}(X))^{T}}$, и обозначим его вектор ожидания ${\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {T}}(X)]}$ к ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}({\boldsymbol {\theta }})}$. Тогда граница Крамера – Рао утверждает, что ковариационная матрица из ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(X)}$ удовлетворяет

${\displaystyle \operatorname {cov} _{\boldsymbol {\theta }}\left({\boldsymbol {T}}(X)\right)\geq {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}\left({\boldsymbol {\theta }}\right)}{\partial {\boldsymbol {\theta }}}}[I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)]^{-1}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}\left({\boldsymbol {\theta }}\right)}{\partial {\boldsymbol {\theta }}}}\right)^{T}}$

куда

• Матричное неравенство ${\displaystyle A\geq B}$ означает, что матрица ${\displaystyle A-B}$ является положительно полуопределенный, и
• ${\displaystyle \partial {\boldsymbol {\psi }}({\boldsymbol {\theta }})/\partial {\boldsymbol {\theta }}}$ это Матрица якобиана чей ${\displaystyle ij}$ элемент дается ${\displaystyle \partial \psi _{i}({\boldsymbol {\theta }})/\partial \theta _{j}}$.

Если ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(X)}$ является беспристрастный оценщик ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$ (т.е. ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}\left({\boldsymbol {\theta }}\right)={\boldsymbol {\theta }}}$), то оценка Крамера – Рао сводится к

${\displaystyle \operatorname {cov} _{\boldsymbol {\theta }}\left({\boldsymbol {T}}(X)\right)\geq I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)^{-1}.}$

Если неудобно вычислять обратную величину Информационная матрица Fisher, то можно просто взять величину, обратную соответствующему диагональному элементу, чтобы найти (возможно, свободную) нижнюю границу.^[9]

${\displaystyle \operatorname {var} _{\boldsymbol {\theta }}(T_{m}(X))=\left[\operatorname {cov} _{\boldsymbol {\theta }}\left({\boldsymbol {T}}(X)\right)\right]_{mm}\geq \left[I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)^{-1}\right]_{mm}\geq \left(\left[I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)\right]_{mm}\right)^{-1}.}$

Условия регулярности

Оценка основана на двух слабых условиях регулярности функция плотности вероятности, ${\displaystyle f(x;\theta )}$, а оценщик ${\displaystyle T(X)}$:

• Информация Фишера всегда определена; эквивалентно, для всех ${\displaystyle x}$ такой, что ${\displaystyle f(x;\theta )>0}$,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(x;\theta )}$

существует и конечно.

• Операции интегрирования относительно ${\displaystyle x}$ и дифференцирование по ${\displaystyle \theta }$ можно поменять местами в ожидании ${\displaystyle T}$; то есть,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[\int T(x)f(x;\theta )\,dx\right]=\int T(x)\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right]\,dx}$

всякий раз, когда правая часть конечна.

Это условие часто можно подтвердить, используя тот факт, что интегрирование и дифференцирование можно поменять местами, когда выполняется один из следующих случаев:

1. Функция ${\displaystyle f(x;\theta )}$ имеет ограниченную поддержку в ${\displaystyle x}$, причем оценки не зависят от ${\displaystyle \theta }$;
2. Функция ${\displaystyle f(x;\theta )}$ имеет бесконечную поддержку, является непрерывно дифференцируемый, причем интеграл сходится равномерно при всех ${\displaystyle \theta }$.

Упрощенная форма информации Фишера

Предположим, кроме того, что операции интегрирования и дифференцирования можно поменять местами на вторую производную от ${\displaystyle f(x;\theta )}$ также, т.е.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\left[\int T(x)f(x;\theta )\,dx\right]=\int T(x)\left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f(x;\theta )\right]\,dx.}$

В этом случае можно показать, что информация Фишера равна

${\displaystyle I(\theta )=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\log f(X;\theta )\right].}$

Граница Крамера – Рао может быть записана в виде

${\displaystyle \operatorname {var} \left({\widehat {\theta }}\right)\geq {\frac {1}{I(\theta )}}={\frac {1}{-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\log f(X;\theta )\right]}}.}$

В некоторых случаях эта формула дает более удобный способ оценки оценки.

Однопараметрическое доказательство

Ниже приводится доказательство общего скалярного случая границы Крамера – Рао, описанного. над. Предположить, что ${\displaystyle T=t(X)}$ оценка с ожиданием ${\displaystyle \psi (\theta )}$ (по наблюдениям ${\displaystyle X}$), т.е. что ${\displaystyle \operatorname {E} (T)=\psi (\theta )}$. Цель - доказать, что для всех ${\displaystyle \theta }$,

${\displaystyle \operatorname {var} (t(X))\geq {\frac {[\psi ^{\prime }(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}.}$

Позволять ${\displaystyle X}$ быть случайная переменная с функцией плотности вероятности ${\displaystyle f(x;\theta )}$.Здесь ${\displaystyle T=t(X)}$ это статистика, который используется как оценщик за ${\displaystyle \psi (\theta )}$. Определять ${\displaystyle V}$ как счет:

${\displaystyle V={\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f(X;\theta )={\frac {1}{f(X;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(X;\theta )}$

где Правило цепи используется в последнем равенстве выше. Тогда ожидание из ${\displaystyle V}$, написано ${\displaystyle \operatorname {E} (V)}$, равно нулю. Это потому что:

${\displaystyle \operatorname {E} (V)=\int f(x;\theta )\left[{\frac {1}{f(x;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right]\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int f(x;\theta )\,dx=0}$

где интегральная и частная производная поменяли местами (оправдано вторым условием регулярности).

Если мы рассмотрим ковариация ${\displaystyle \operatorname {cov} (V,T)}$ из ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle T}$, у нас есть ${\displaystyle \operatorname {cov} (V,T)=\operatorname {E} (VT)}$, потому что ${\displaystyle \operatorname {E} (V)=0}$. Расширяя это выражение, мы имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (V,T)&=\operatorname {E} \left(T\cdot \left[{\frac {1}{f(X;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(X;\theta )\right]\right)\\[6pt]&=\int t(x)\left[{\frac {1}{f(x;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right]f(x;\theta )\,dx\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[\int t(x)f(x;\theta )\,dx\right]=\psi ^{\prime }(\theta )\end{aligned}}}$

опять же, потому что операции интегрирования и дифференцирования коммутируют (второе условие).

В Неравенство Коши – Шварца показывает, что

${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {var} (T)\operatorname {var} (V)}}\geq \left|\operatorname {cov} (V,T)\right|=\left|\psi ^{\prime }(\theta )\right|}$

следовательно

${\displaystyle \operatorname {var} (T)\geq {\frac {[\psi ^{\prime }(\theta )]^{2}}{\operatorname {var} (V)}}={\frac {[\psi ^{\prime }(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}}$

что доказывает предложение.

Примеры

Многомерное нормальное распределение

В случае d-вариантное нормальное распределение

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\sim N_{d}\left({\boldsymbol {\mu }}({\boldsymbol {\theta }}),{\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {\theta }})\right)}$

то Информационная матрица Fisher имеет элементы^[10]

${\displaystyle I_{m,k}={\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}^{T}}{\partial \theta _{m}}}{\boldsymbol {C}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}}{\partial \theta _{k}}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {C}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {C}}}{\partial \theta _{m}}}{\boldsymbol {C}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {C}}}{\partial \theta _{k}}}\right)}$

где "tr" - это след.

Например, пусть ${\displaystyle w[n]}$ быть образцом ${\displaystyle N}$ независимые наблюдения с неизвестным средним ${\displaystyle \theta }$ и известная дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ .

${\displaystyle w[n]\sim \mathbb {N} _{N}\left(\theta {\boldsymbol {1}},\sigma ^{2}{\boldsymbol {I}}\right).}$

Тогда информация Фишера представляет собой скаляр, задаваемый формулой

${\displaystyle I(\theta )=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}(\theta )}{\partial \theta }}\right)^{T}{\boldsymbol {C}}^{-1}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}(\theta )}{\partial \theta }}\right)=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sigma ^{2}}}={\frac {N}{\sigma ^{2}}},}$

и поэтому оценка Крамера – Рао равна

${\displaystyle \operatorname {var} \left({\hat {\theta }}\right)\geq {\frac {\sigma ^{2}}{N}}.}$

Нормальное отклонение от известного среднего

Предполагать Икс это нормально распределенный случайная величина с известным средним значением ${\displaystyle \mu }$ и неизвестная дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Рассмотрим следующую статистику:

${\displaystyle T={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{n}}.}$

потом Т беспристрастен к ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, так как ${\displaystyle E(T)=\sigma ^{2}}$. Какая дисперсия Т?

${\displaystyle \operatorname {var} (T)={\frac {\operatorname {var} (X-\mu )^{2}}{n}}={\frac {1}{n}}\left[\operatorname {E} \left\{(X-\mu )^{4}\right\}-\left(\operatorname {E} \{(X-\mu )^{2}\}\right)^{2}\right]}$

(второе равенство следует непосредственно из определения дисперсии). Первый член - четвертый момент о среднем и имеет ценность ${\displaystyle 3(\sigma ^{2})^{2}}$; второй - квадрат дисперсии, или ${\displaystyle (\sigma ^{2})^{2}}$.Таким образом

${\displaystyle \operatorname {var} (T)={\frac {2(\sigma ^{2})^{2}}{n}}.}$

Теперь, что такое Информация Fisher в образце? Напомним, что счет V определяется как

${\displaystyle V={\frac {\partial }{\partial \sigma ^{2}}}\log L(\sigma ^{2},X)}$

куда ${\displaystyle L}$ это функция правдоподобия. Таким образом, в этом случае

${\displaystyle V={\frac {\partial }{\partial \sigma ^{2}}}\log \left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(X-\mu )^{2}/{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {(X-\mu )^{2}}{2(\sigma ^{2})^{2}}}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}$

где второе равенство взято из элементарного исчисления. Таким образом, информация в одном наблюдении - это просто минус математическое ожидание производной от V, или же

${\displaystyle I=-\operatorname {E} \left({\frac {\partial V}{\partial \sigma ^{2}}}\right)=-\operatorname {E} \left(-{\frac {(X-\mu )^{2}}{(\sigma ^{2})^{3}}}+{\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{(\sigma ^{2})^{3}}}-{\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}={\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}.}$

Таким образом, информация в выборке ${\displaystyle n}$ независимые наблюдения просто ${\displaystyle n}$ раз это, или ${\displaystyle {\frac {n}{2(\sigma ^{2})^{2}}}.}$

Граница Крамера – Рао утверждает, что

${\displaystyle \operatorname {var} (T)\geq {\frac {1}{I}}.}$

В этом случае неравенство насыщается (равенство достигается), показывая, что оценщик является эффективный.

Однако мы можем добиться более низкого среднеквадратичная ошибка используя предвзятую оценку. Оценщик

${\displaystyle T={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{n+2}}.}$

очевидно, имеет меньшую дисперсию, которая на самом деле

${\displaystyle \operatorname {var} (T)={\frac {2n(\sigma ^{2})^{2}}{(n+2)^{2}}}.}$

Его предвзятость

${\displaystyle \left(1-{\frac {n}{n+2}}\right)\sigma ^{2}={\frac {2\sigma ^{2}}{n+2}}}$

поэтому его среднеквадратичная ошибка

${\displaystyle \operatorname {MSE} (T)=\left({\frac {2n}{(n+2)^{2}}}+{\frac {4}{(n+2)^{2}}}\right)(\sigma ^{2})^{2}={\frac {2(\sigma ^{2})^{2}}{n+2}}}$

что явно меньше найденной выше границы Крамера – Рао.

Когда среднее значение неизвестно, оценка минимальной среднеквадратичной ошибки дисперсии выборки от гауссовского распределения достигается путем деления на п +1, а не п - 1 или п + 2.

Смотрите также

• Граница Чепмена – Роббинса
• Неравенство Кульбака
• Неравенство Браскампа – Либа

Ссылки и примечания

1. Крамер, Харальд (1946). Математические методы статистики. Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Нажмите. ISBN  0-691-08004-6. OCLC  185436716.
2. Рао, Калямпуди Радакришна (1945). «Информация и достижимая точность при оценке статистических параметров». Бюллетень Калькуттское математическое общество. 37: 81–89. МИСТЕР  0015748.
3. Рао, Калямпуди Радакришна (1994). С. Дас Гупта (ред.). Избранные статьи К. Р. Рао. Нью-Йорк: Вили. ISBN  978-0-470-22091-7. OCLC  174244259.
4. Фреше, Морис (1943). "Sur l'extension de specifices évaluations statistiques au cas de petits échantillons". Rev. Inst. Int. Статист. 11: 182–205.
5. Дармуа, Жорж (1945). "Sur les limites de la дисперсия определенных оценок". Rev. Int. Inst. Статист. 13: 9–15.
6. Aitken, A.C .; Сильверстоун, Х. (1942). «Об оценке статистических параметров». Труды Королевского общества Эдинбурга. 61 (2): 186–194. Дои:10.1017 / s008045410000618x.
7. Шентон, Л. Р. (1970). «Так называемое неравенство Крамера – Рао». Американский статистик. 24 (2): 36. JSTOR  2681931.
8. Суба Рао. «Лекции по статистическому выводу» (PDF).
9. Для байесовского случая см. Уравнение. (11) из Бобровский; Майер-Вольф; Закай (1987). «Некоторые классы глобальных границ Крамера – Рао». Анна. Стат. 15 (4): 1421–38.
10. Кей, С. М. (1993). Основы статистической обработки сигналов: теория оценивания. Прентис Холл. п. 47. ISBN  0-13-042268-1.

дальнейшее чтение

• Амемия, Такеши (1985). Продвинутая эконометрика. Кембридж: Издательство Гарвардского университета. стр.14 –17. ISBN  0-674-00560-0.
• Бос, Адриан ван ден (2007). Оценка параметров для ученых и инженеров. Хобокен: Джон Уайли и сыновья. С. 45–98. ISBN  0-470-14781-4.
• Кей, Стивен М. (1993). Основы статистической обработки сигналов, Том I: Теория оценивания. Прентис Холл. ISBN  0-13-345711-7.. Глава 3.
• Шао, Цзюнь (1998). Математическая статистика. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-98674-X.. Раздел 3.1.3.

внешняя ссылка

• FandPLimitTool программное обеспечение на основе графического интерфейса пользователя для расчета информации Фишера и нижней границы Крамера-Рао с приложением к микроскопии одиночных молекул.