Пространство Цирельсона - Tsirelson space

В математика, особенно в функциональный анализ, то Пространство Цирельсона это первый пример Банахово пространство в котором ни ℓ ^п Космос ни c₀ Космос может быть встроен. Пространство Цирельсона - это рефлексивный.

Он был представлен Б. С. Цирельсон в 1974 году. В том же году Фигил и Джонсон опубликовали соответствующую статью (Фигиль и Джонсон (1974) ), где они использовали обозначения Т для двойной примера Цирельсона. Сегодня письмо Т стандартное обозначение^[1] для двойника исходного примера, в то время как исходный пример Цирельсона обозначается Т*. В Т* или в Т, подпространство не изоморфный, как банахово пространство, в ℓ ^п пробел, 1 ≤п <∞, или к c₀.

Все известные классические банаховы пространства Банах (1932), пространства непрерывные функции, из дифференцируемые функции или из интегрируемые функции, и все банаховы пространства, используемые в функциональном анализе в течение следующих сорока лет, содержат некоторые ℓ ^п или c₀. Кроме того, новые попытки в начале 70-х^[2] продвижение геометрической теории банаховых пространств привело к задаче ^[3] так или иначе каждый бесконечномерное банахово пространство имеет подпространство, изоморфное некоторому ℓ ^п или чтобы c₀.

Радикально новая конструкция Цирельсона лежит в основе нескольких дальнейших разработок теории пространства Банаха: произвольно искажаемый пространство Шлумпрехта (Шлумпрехт (1991) ), от которых зависят Гауэрса решение проблемы гиперплоскости Банаха^[4] и решение Оделла – Шлумпрехта проблема искажения. Кроме того, некоторые результаты Argyros et al.^[5] основаны на порядковый усовершенствования конструкции Цирельсона, завершившиеся решением Аргироса – Хейдона скалярной плюс компактной задачи.^[6]

Строительство Цирельсона

На векторном пространстве ℓ^∞ ограниченных скалярных последовательностей  Икс = {Икс_j} _j∈N, позволять п_п обозначить линейный оператор который обнуляет все координаты Икс_j из Икс для которого j ≤ п.

Конечная последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{N}}$ векторов из ℓ^∞ называется блочно-непересекающийся если есть натуральные числа ${\displaystyle \textstyle \{a_{n},b_{n}\}_{n=1}^{N}}$ так что ${\displaystyle a_{1}\leq b_{1}<a_{2}\leq b_{2}<\cdots \leq b_{N}}$, так что ${\displaystyle (x_{n})_{i}=0}$ когда ${\displaystyle i<a_{n}}$ или ${\displaystyle i>b_{n}}$, для каждого п от 1 до N.

В единичный мяч  B_∞ из ℓ^∞ является компактный и метризуемый для топологии поточечная сходимость (в топология продукта ). Решающий шаг в построении Цирельсона - позволить K быть самый маленький поточечно замкнутое подмножествоB_∞ удовлетворяющий следующим двум свойствам:^[7]

а. Для каждого целого числаj в N, то единичный вектор е_j и все кратные ${\displaystyle \lambda e_{j}}$, при | λ | ≤ 1, принадлежат K.

б. Для любого целого числа N ≥ 1, если ${\displaystyle \textstyle (x_{1},\ldots ,x_{N})}$ блочно-непересекающаяся последовательность в K, тогда ${\displaystyle \textstyle {{1 \over 2}P_{N}(x_{1}+\cdots +x_{N})}}$ принадлежитK.

Этот набор K удовлетворяет следующему свойству устойчивости:

c. Вместе с каждым элементом Икс из K, набор K содержит все векторы у в ℓ^∞ такой, что |у| ≤ |Икс| (для поточечного сравнения).

Затем показано, что K на самом деле является подмножеством c₀, банахово подпространство в ℓ^∞ состоящий из скалярных последовательностей, стремящихся к нулю на бесконечности. Это делается путем доказательства того, что

d: для каждого элемента Икс в K, существует целое число п так что 2п_п(Икс) принадлежитK,

и повторяя этот факт. поскольку K поточечно компактно и содержится в c₀, это слабо компактный в c₀. Позволять V быть закрытым выпуклая оболочка из K в c₀. Это также слабо компактное множество в c₀. Показано, что V удовлетворяет б, c и d.

Пространство Цирельсона Т* - банахово пространство, единичный мяч является V. Базис единичного вектора - это безусловная основа для Т* и Т* рефлексивно. Следовательно, Т* не содержит изоморфной копииc₀. Другой ℓ ^п пробелы, 1 ≤п <∞, исключаются условиемб.

Свойства

Пространство Цирельсона Т * является рефлексивный (Цирельсон (1974) ) и конечно универсальный, что означает, что для некоторой постоянной C ≥ 1, космос Т * содержит C-изоморфные копии любого конечномерного нормированного пространства, а именно, любого конечномерного нормированного пространства Икссуществует подпространство Y пространства Цирельсона с мультипликативное расстояние Банаха – Мазура к Икс меньше, чем C. На самом деле каждое конечно универсальное банахово пространство содержит почти изометрический копии каждого конечномерного нормированного пространства,^[8] означающий, что C можно заменить на 1 + ε для каждого ε> 0. Кроме того, каждое бесконечномерное подпространство Т * конечно универсален. С другой стороны, каждое бесконечномерное подпространство в двойственном Т из Т * содержит почти изометрические копии ${\displaystyle \scriptstyle {\ell _{n}^{1}}}$, то п-мерный ℓ¹-пространство, для всехп.

Пространство Цирельсона Т является искажаемый, но неизвестно, произвольно искажаемый.

Космос Т * это минимальный Банахово пространство.^[9] Это означает, что всякое бесконечномерное банахово подпространство в Т * содержит еще одно подпространство, изоморфное Т *. До строительства Т *, единственными известными примерами минимальных пространств были ℓ ^п и c₀. Двойное пространство Т не минимальный.^[10]

Космос Т * является полиномиально рефлексивный.

Производные пространства

В симметричное пространство Цирельсона S(Т) полиномиально рефлексивен и имеет свойство аппроксимации. Как и с Т, это рефлексивно и нет ℓ ^п в него можно встроить пространство.

Поскольку он симметричен, его можно определить даже на бесчисленный поддерживающий набор, на примере не-отделяемый полиномиально рефлексивный Банахово пространство.

Смотрите также

• Проблема искажения
• Пространство последовательности, Основа Шаудера
• Пространство Джеймса

Заметки

1. см. например Казацца и Шура (1989), п. 8; Линденштраус и Цафрири (1977), п. 95; Справочник по геометрии банаховых пространств, т. 1, стр. 276; т. 2, стр. 1060, 1649.
2. увидеть Линденштраус (1970), Мильман (1970).
3. Вопрос сформулирован явно в Линденштраус (1970), Мильман (1970), Линденштраус (1971) на последней странице. Линденштраус и Цафрири (1977), п. 95, скажите, что этот вопрос был "давняя открытая проблема, восходящая к книге Банаха" (Банах (1932) ), но вопрос не появляется в книге Банаха. Однако Банах сравнивает линейный размер из ℓ ^п с другими классическими пространствами, в чем-то похожий вопрос.
4. Вопрос в том, изоморфно ли всякое бесконечномерное банахово пространство своим гиперплоскостям. Отрицательное решение - в Гауэрсе ".Решение проблемы гиперплоскости Банаха". Bull. London Math. Soc. 26 (1994), 523-530.
5. например, С. Аргирос и В. Фелузис "Интерполяция наследственно неразложимых банаховых пространств", Journal Amer. Math. Soc., 13 (2000), 243–294; С. Аргирос и А. Толиас"Методы теории наследственно неразложимых банаховых пространств"Mem. Amer. Math. Soc. 170 (2004), № 806.
6. С. Аргирос и Р. Хейдон построили банахово пространство, на котором каждый ограниченный оператор является компактным возмущением скалярного кратного единицы, в "Наследственно неразложимая L_∞-пространство, которое решает скалярную плюс-компактную задачу", Acta Mathematica (2011) 206: 1-54.
7. условия б, c, d вот условия (3), (2) и (4) соответственно в Цирельсон (1974), и а является измененной формой условия (1) из той же статьи.
8. это потому что для каждого п, C и ε существует N так что каждый C-изоморф ℓ^∞_N содержит (1 + е)-изоморф ℓ^∞_пс помощью техники блокировки Джеймса (см. лемму 2.2 в книге Роберта С. Джеймса "Равномерно неквадратные банаховы пространства", Annals of Mathematics, Vol. 80, 1964, pp. 542-550), и потому, что каждое конечномерное нормированное пространство (1 + е)-вставки в ℓ^∞_п когда п достаточно большой.
9. увидеть Казацца и Шура (1989), п. 54.
10. увидеть Казацца и Шура (1989), п. 56.

использованная литература

• Цирельсон, Б.С. (1974), "'Не каждое банахово пространство содержит вложение ℓ ^п или c₀", Функциональный анализ и его приложения, 8: 138–141, Дои:10.1007 / BF01078599, Г-Н  0350378.
• Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций [Теория линейных операций] (PDF). Monografie Matematyczne (на французском языке). 1. Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-01-11. Получено 2020-07-11.
• Figiel, T .; Джонсон, В. Б. (1974), "Равномерно выпуклое банахово пространство, не содержащее ℓ ^п", Compositio Mathematica, 29: 179–190, Г-Н  0355537.
• Casazza, Питер G .; Шура, Таддеус Дж. (1989), Пространство Цирельсона, Конспект лекций по математике, 1363, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-50678-0, Г-Н  0981801.
• Джонсон, Уильям Б.; J. Lindenstrauss, Joram, eds. (2001, 2003), Справочник по геометрии банаховых пространств, 1, 2, Эльзевьер Проверить значения даты в: | дата публикации = (Помогите).
• Линденштраус, Иорам (1970), «Некоторые аспекты теории банаховых пространств», Успехи в математике, 5: 159–180, Дои:10.1016/0001-8708(70)90032-0.
• Линденштраус, Иорам (1971), "Геометрическая теория классических банаховых пространств", Actes du Congrès Intern. Math., Ницца 1970 г.: 365–372.
• Линденштраус, Иорам; Цафрири, Лиор (1977), Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете, 92, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-08072-4.
• Мильман, В. (1970), "Геометрическая теория банаховых пространств. I. Теория основных и минимальных систем", Успехи матем. Наук 25 вып. 3: 113–174. Английский перевод в русской математике. Обзоры 25 (1970), 111-170.
• Schlumprecht, Th. (1991), «Произвольное искажаемое банахово пространство», Израильский математический журнал, 76: 81–95, arXiv:математика / 9201225, Дои:10.1007 / bf02782845, ISSN  0021-2172, Г-Н  1177333.

внешние ссылки

• Воспоминания Бориса Цирельсона на своей странице в сети