Ба пространство - Ba space

В математика, то ба пространство ${\displaystyle ba(\Sigma )}$ из алгебра множеств ${\displaystyle \Sigma }$ это Банахово пространство состоящий из всех ограниченный и конечно аддитивный подписанные меры на ${\displaystyle \Sigma }$. Норма определяется как вариация, это ${\displaystyle \|\nu \|=|\nu |(X).}$ (Данфорд и Шварц 1958, IV.2.15)

Если Σ является сигма-алгебра, то пробел ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ определяется как подмножество ${\displaystyle ba(\Sigma )}$ состоящий из счетно-аддитивные меры. (Данфорд и Шварц 1958, IV.2.16) Обозначения ба это мнемонический для ограниченная добавка и ок это сокращение от счетно аддитивный.

Если Икс это топологическое пространство, а Σ - сигма-алгебра Наборы Бореля в Икс, тогда ${\displaystyle rca(X)}$ является подпространством ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ состоящий из всех регулярный Борелевские меры на Икс. (Данфорд и Шварц 1958, IV.2.17)

Свойства

Все три пробела заполнены (они Банаховы пространства ) относительно той же нормы, определяемой общей вариацией, и, таким образом, ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ является замкнутым подмножеством ${\displaystyle ba(\Sigma )}$, и ${\displaystyle rca(X)}$ замкнутый набор ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ для Σ алгебра борелевских множеств на Икс. Пространство простые функции на ${\displaystyle \Sigma }$ является плотный в ${\displaystyle ba(\Sigma )}$.

Ба пространство набор мощности из натуральные числа, ба(2^N), часто обозначают просто ${\displaystyle ba}$ и является изоморфный к двойное пространство из ℓ^∞ Космос.

Двойственный к B (Σ)

Пусть B (Σ) - пространство ограниченных Σ-измеримых функций, снабженное единая норма. потом ба(Σ) = B (Σ) * - это непрерывное двойное пространство группы B (Σ). Это связано с Хильдебрандт (1934) и Фихтенгольц и Канторович (1934) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFFichtenholtzKantorovich1934 (Помогите). Это своего рода Теорема Рисса о представлении что позволяет представить меру как линейный функционал от измеримых функций. В частности, этот изоморфизм позволяет определить то интеграл относительно конечно-аддитивной меры (заметим, что обычный интеграл Лебега требует счетный аддитивность). Это связано с Данфорд и Шварц (1958), и часто используется для определения интеграла по векторные меры (Diestel & Uhl 1977 г., Глава I), и особенно векторнозначные Радоновые меры.

Топологическая двойственность ба(Σ) = B (Σ) * легко увидеть. Есть очевидное алгебраический двойственность между векторным пространством все конечно-аддитивные меры σ на Σ и векторное пространство простые функции (${\displaystyle \mu (A)=\zeta \left(1_{A}\right)}$). Легко проверить, что линейная форма, индуцированная σ, непрерывна в sup-норме тогда и только тогда, когда σ ограничена, и результат следует из того, что линейная форма на плотном подпространстве простых функций продолжается до элемента B (Σ) * тогда и только тогда, когда он непрерывен по sup-норме.

Двойной из L^∞(μ)

Если Σ является сигма-алгебра и μ это сигма-добавка положительной меры на Σ, то Lp пространство L^∞(μ) наделен существенный супремум норма по определению факторное пространство B (Σ) замкнутым подпространством ограниченного μ-null функции:

${\displaystyle N_{\mu }:=\{f\in B(\Sigma ):f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}.}$

Двойственное банахово пространство L^∞(μ) *, таким образом, изоморфна

${\displaystyle N_{\mu }^{\perp }=\{\sigma \in ba(\Sigma ):\mu (A)=0\Rightarrow \sigma (A)=0{\text{ for any }}A\in \Sigma \},}$

то есть пространство конечно аддитивный подписанные меры по Σ которые абсолютно непрерывный относительно μ (μ-a.c. короче).

Когда пространство измерения, кроме того, сигма-конечный тогда L^∞(μ) в свою очередь двойственна L¹(μ), что по Теорема Радона – Никодима отождествляется с множеством всех счетно аддитивный μ-a.c. Другими словами, включение в бидуальный

${\displaystyle L^{1}(\mu )\subset L^{1}(\mu )^{**}=L^{\infty }(\mu )^{*}}$

изоморфно включению пространства счетно аддитивных μ-a.c. ограниченные меры внутри пространства всех конечно аддитивных μ-a.c. ограниченные меры.

использованная литература

• Дистель, Джозеф (1984), Последовательности и серии в банаховых пространствах, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90859-5, OCLC  9556781.
• Diestel, J .; Уль, Дж. Дж. (1977), Векторные меры, Математические обзоры, 15, Американское математическое общество.
• Dunford, N .; Шварц, Дж. (1958), Линейные операторы, часть I, Wiley-Interscience.
• Хильдебрандт, Т. (1934), «Об ограниченных функциональных операциях», Труды Американского математического общества, 36 (4): 868–875, Дои:10.2307/1989829, JSTOR  1989829.
• Фихтенхольц, G; Канторович, Л. (1934), "Sur les opérations linéaires dans l'espace des fonctionsbornées", Studia Mathematica, 5: 69–98, Дои:10.4064 / см-5-1-69-98.
• Йосида, К; Hewitt, E (1952), "Конечно аддитивные меры", Труды Американского математического общества, 72 (1): 46–66, Дои:10.2307/1990654, JSTOR  1990654.