Векторная мера - Vector measure

В математика, а векторная мера это функция определено на семейство наборов и принимая вектор значения, удовлетворяющие определенным свойствам. Это обобщение концепции конечного мера, который занимает неотрицательный настоящий только значения.

Определения и первые следствия

Учитывая поле наборов ${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}})}$ и Банахово пространство ${displaystyle X}$, а конечно аддитивная векторная мера (или же мера, для краткости) - функция ${displaystyle mu :{mathcal {F}} o X}$ так что для любых двух непересекающиеся множества ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ в ${displaystyle {mathcal {F}}}$ надо

${displaystyle mu (Acup B)=mu (A)+mu (B).}$

Векторная мера ${displaystyle mu }$ называется счетно аддитивный если для любого последовательность ${displaystyle (A_{i})_{i=1}^{infty }}$ непересекающихся множеств в ${displaystyle {mathcal {F}}}$ так что их союз находится в ${displaystyle {mathcal {F}}}$ он считает, что

${displaystyle mu left(igcup _{i=1}^{infty }A_{i}ight)=sum _{i=1}^{infty }mu (A_{i})}$

с серии в правой части сходится в норма банахова пространства ${displaystyle X.}$

Можно доказать, что аддитивная векторная мера ${displaystyle mu }$ счетно аддитивен тогда и только тогда, когда для любой последовательности ${displaystyle (A_{i})_{i=1}^{infty }}$ как указано выше

${displaystyle lim _{n o infty }left|mu left(igcup _{i=n}^{infty }A_{i}ight)ight|=0,qquad qquad (*)}$

куда ${displaystyle |cdot |}$ это норма на ${displaystyle X.}$

Счетно-аддитивные векторные меры, определенные на сигма-алгебры более общие, чем конечные меры, конечный подписанные меры, и комплексные меры, которые счетно-аддитивные функции принимая значения соответственно на реальном интервале ${displaystyle [0,infty ),}$ набор действительные числа, а набор сложные числа.

Примеры

Рассмотрим поле множеств, составленное из интервала ${displaystyle [0,1]}$ вместе с семьей ${displaystyle {mathcal {F}}}$ из всех Измеримые по Лебегу множества содержится в этом интервале. Для любого такого набора ${displaystyle A}$, определять

${displaystyle mu (A)=chi _{A}}$

куда ${displaystyle chi }$ это индикаторная функция из ${displaystyle A.}$ В зависимости от того, где ${displaystyle mu }$ объявлен как принимающий значения, мы получаем два разных результата.

• ${displaystyle mu ,}$ рассматривается как функция от ${displaystyle {mathcal {F}}}$ к L^п-Космос ${displaystyle L^{infty }([0,1]),}$ - векторная мера, которая не является счетно-аддитивной.
• ${displaystyle mu ,}$ рассматривается как функция от ${displaystyle {mathcal {F}}}$ к L^п-Космос ${displaystyle L^{1}([0,1]),}$ - счетно-аддитивная векторная мера.

Оба эти утверждения довольно легко следуют из критерия (*), указанного выше.

Вариация векторной меры

Учитывая векторную меру ${displaystyle mu :{mathcal {F}} o X,}$ то вариация ${displaystyle |mu |}$ из ${displaystyle mu }$ определяется как

${displaystyle |mu |(A)=sup sum _{i=1}^{n}|mu (A_{i})|}$

где супремум берет на себя все перегородки

${displaystyle A=igcup _{i=1}^{n}A_{i}}$

из ${displaystyle A}$ в конечное число непересекающихся множеств для всех ${displaystyle A}$ в ${displaystyle {mathcal {F}}}$. Здесь, ${displaystyle |cdot |}$ это норма на ${displaystyle X.}$

Вариация ${displaystyle mu }$ - конечно аддитивная функция, принимающая значения в ${displaystyle [0,infty ].}$ Он считает, что

${displaystyle |mu (A)|leq |mu |(A)}$

для любого ${displaystyle A}$ в ${displaystyle {mathcal {F}}.}$ Если ${displaystyle |mu |(Omega )}$ конечно, мера ${displaystyle mu }$ говорят, что из ограниченная вариация. Можно доказать, что если ${displaystyle mu }$ - векторная мера ограниченной вариации, то ${displaystyle mu }$ счетно аддитивен тогда и только тогда, когда ${displaystyle |mu |}$ является счетно аддитивным.

Теорема Ляпунова

В теории векторных мер Ляпунов теорема утверждает, что диапазон a (неатомный ) конечномерная векторная мера закрыто и выпуклый.^[1][2][3] Фактически, диапазон неатомарной векторной меры равен зоноид (замкнутое и выпуклое множество, являющееся пределом сходящейся последовательности зонотопы ).^[2] Он используется в экономика,^[4][5][6] в ("ПИФ-паф" ) теория управления,^[1][3][7][8] И в статистическая теория.^[8]Теорема Ляпунова доказана с использованием Лемма Шепли – Фолкмана.,^[9] который рассматривался как дискретный аналог теоремы Ляпунова.^[8][10][11]

Рекомендации

1. Клуванек, И., Ноулз, Г., Векторные меры и системы контроля, Математические исследования Северной Голландии20, Амстердам, 1976.
2. Дистель, Джо; Уль, Джерри Дж. Младший (1977). Векторные меры. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1515-6.
3. Ролевич, Стефан (1987). Функциональный анализ и теория управления: линейные системы. Математика и ее приложения (восточноевропейская серия). 29 (Перевод с польского под ред. Евы Беднарчук). Дордрехт; Варшава: D. Reidel Publishing Co .; PWN — Польские научные издательства. С. xvi + 524. ISBN  90-277-2186-6. МИСТЕР  0920371. OCLC  13064804.
4. Робертс, Джон (Июль 1986 г.). «Большая экономика». В Дэвид М. Крепс; Джон Робертс; Роберт Б. Уилсон (ред.). Взносы в New Palgrave (PDF). Исследовательская работа. 892. Пало-Альто, Калифорния: Высшая школа бизнеса Стэнфордского университета. С. 30–35. (Проект статей к первому изданию Новый экономический словарь Пэлгрейва). Получено 7 февраля 2011.
5. Ауманн, Роберт Дж. (Январь 1966 г.). «Существование конкурентного равновесия на рынках с континуумом трейдеров». Econometrica. 34 (1): 1–17. Дои:10.2307/1909854. JSTOR  1909854. МИСТЕР  0191623. Эта статья основана на двух статьях Ауманна:

   Ауманн, Роберт Дж. (Январь – апрель 1964 г.). «Рынки с континуумом трейдеров». Econometrica. 32 (1–2): 39–50. Дои:10.2307/1913732. JSTOR  1913732. МИСТЕР  0172689.

   Ауманн, Роберт Дж. (Август 1965 г.). «Интегралы от многозначных функций». Журнал математического анализа и приложений. 12 (1): 1–12. Дои:10.1016 / 0022-247X (65) 90049-1. МИСТЕР  0185073.

6. Винд, Карл (май 1964). «Распределение Эджворта в экономике обмена с большим количеством трейдеров». Международное экономическое обозрение. 5 (2). С. 165–77. JSTOR  2525560. Статью Винда отметили Дебре (1991), п. 4) с таким комментарием:

   Концепция выпуклого множества (т. Е. Множества, содержащего отрезок, соединяющий любые две его точки) неоднократно ставилась в центр экономической теории до 1964 года. Она появилась в новом свете с введением теории интеграции в исследование экономическая конкуренция: если связать с каждым агентом экономики произвольный набор в товарном пространстве и если усреднить эти индивидуальные наборы над набором незначительных агентов, то полученное множество обязательно выпукло. [Дебре добавляет эту сноску: «Об этом прямом следствии теоремы А.А. Ляпунова см. Винд (1964). "] Но объяснения ... функций цен ... можно сделать так, чтобы выпуклость множеств, полученных в результате этого процесса усреднения. Выпуклость в товарном пространстве полученные путем агрегирования над набором незначительных агентов - это понимание, которое экономическая теория обязана ... теории интеграции. [Курсив добавлен]

   Дебре, Жерар (Март 1991 г.). «Математизация экономической теории». Американский экономический обзор. 81, номер 1 (Послание президента на 103-м заседании Американской экономической ассоциации, 29 декабря 1990 г., Вашингтон, округ Колумбия). С. 1–7. JSTOR  2006785.

7. Гермес, Генри; LaSalle, Джозеф П. (1969). Функциональный анализ и оптимальное по времени управление. Математика в науке и технике. 56. Нью-Йорк — Лондон: Academic Press. С. viii + 136. МИСТЕР  0420366.
8. Арштейн, Цви (1980). «Дискретные и непрерывные трещины и лицевые пространства, или: ищите крайние точки». SIAM Обзор. 22 (2). С. 172–185. Дои:10.1137/1022026. JSTOR  2029960. МИСТЕР  0564562.
9. Тарделла, Фабио (1990). «Новое доказательство теоремы Ляпунова о выпуклости». SIAM Journal по управлению и оптимизации. 28 (2). С. 478–481. Дои:10.1137/0328026. МИСТЕР  1040471.
10. Старр, Росс М. (2008). «Теорема Шепли – Фолкмана». В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э., изд. (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (Второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 317–318 (1-е изд.). Дои:10.1057/9780230226203.1518. ISBN  978-0-333-78676-5.
11. Стр. 210: Мас-Колелл, Андреу (1978). «Примечание к основной теореме эквивалентности: сколько всего блокирующих коалиций?». Журнал математической экономики. 5 (3). С. 207–215. Дои:10.1016/0304-4068(78)90010-1. МИСТЕР  0514468.

Книги

• Кон, Дональд Л. (1997) [1980]. Теория меры (переиздание ред.). Бостон – Базель – Штутгарт: Birkhäuser Verlag. С. IX + 373. ISBN  3-7643-3003-1. Zbl  0436.28001.
• Дистель, Джо; Уль, Джерри Дж. Младший (1977). Векторные меры. Математические обзоры. 15. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. С. xiii + 322. ISBN  0-8218-1515-6.
• Клуванек, И., Ноулз, Дж, Векторные меры и системы контроля, Математические исследования Северной Голландии20, Амстердам, 1976.
• ван Дулст, Д. (2001) [1994], «Векторные меры», Энциклопедия математики, EMS Press
• Рудин, W (1973). Функциональный анализ. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п.114.

Смотрите также

• Интеграл Бохнера