Гауссова мера - Gaussian measure

В математика, Гауссова мера это Мера Бореля на конечномерных Евклидово пространство р^п, тесно связанный с нормальное распределение в статистика. Есть также обобщение на бесконечномерные пространства. Гауссовские меры названы в честь Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Одна из причин, по которой гауссовские меры настолько распространены в теории вероятностей, заключается в том, что Центральная предельная теорема. Грубо говоря, он утверждает, что если случайная величина Икс получается суммированием большого числа N независимых случайных величин порядка 1, то Икс в порядке ${displaystyle {sqrt {N}}}$ и его закон приблизительно гауссовский.

Определения

Позволять п ∈ N и разреши B₀(р^п) обозначают завершение из Борель σ-алгебра на р^п. Позволять λ^п : B₀(р^п) → [0, + ∞] обозначают обычный п-размерный Мера Лебега. Тогда стандартная гауссовская мера γ^п : B₀(р^п) → [0, 1] определяется как

${displaystyle gamma ^{n}(A)={frac {1}{{sqrt {2pi }}^{n}}}int _{A}exp left(-{frac {1}{2}}|x|_{mathbb {R} ^{n}}^{2}ight),mathrm {d} lambda ^{n}(x)}$

для любого измеримого множества А ∈ B₀(р^п). Что касается Производная Радона – Никодима,

${displaystyle {frac {mathrm {d} gamma ^{n}}{mathrm {d} lambda ^{n}}}(x)={frac {1}{{sqrt {2pi }}^{n}}}exp left(-{frac {1}{2}}|x|_{mathbb {R} ^{n}}^{2}ight).}$

В более общем смысле, гауссовская мера с иметь в виду μ ∈ р^п и отклонение σ² > 0 определяется выражением

${displaystyle gamma _{mu ,sigma ^{2}}^{n}(A):={frac {1}{{sqrt {2pi sigma ^{2}}}^{n}}}int _{A}exp left(-{frac {1}{2sigma ^{2}}}|x-mu |_{mathbb {R} ^{n}}^{2}ight),mathrm {d} lambda ^{n}(x).}$

Гауссовские меры со средним значением μ = 0 известны как центрированные гауссовские меры.

В Мера Дирака δ_μ это слабый предел из ${displaystyle gamma _{mu ,sigma ^{2}}^{n}}$ в качестве σ → 0 и считается вырожденная гауссовская мера; напротив, гауссовские меры с конечной ненулевой дисперсией называются невырожденные гауссовские меры.

Свойства гауссовской меры

Стандартная гауссовская мера γ^п на р^п

• это Мера Бореля (на самом деле, как отмечалось выше, он определяется на пополнении сигма-алгебры Бореля, которая является более тонкой структурой);
• является эквивалент по мере Лебега: ${displaystyle lambda ^{n}ll gamma ^{n}ll lambda ^{n}}$, куда ${displaystyle ll }$ означает абсолютная непрерывность мер;
• является поддержанный на всем евклидовом пространстве: supp (γ^п) = р^п;
• это вероятностная мера (γ^п(р^п) = 1), поэтому локально конечный;
• является строго положительный: каждый непустой открытый набор имеет положительную меру;
• является внутренний регулярный: для всех наборов Бореля А,

${displaystyle gamma ^{n}(A)=sup{gamma ^{n}(K)mid Ksubseteq A,K{ ext{ is compact}}},}$

так что гауссовская мера является Радоновая мера;

• не является перевод -инвариантный, но удовлетворяет соотношению

${displaystyle {frac {mathrm {d} (T_{h})_{*}(gamma ^{n})}{mathrm {d} gamma ^{n}}}(x)=exp left(langle h,xangle _{mathbb {R} ^{n}}-{frac {1}{2}}|h|_{mathbb {R} ^{n}}^{2}ight),}$

где производная в левой части Производная Радона – Никодима, и (Т_час)_∗(γ^п) это продвигать стандартной гауссовской меры картой сдвига Т_час : р^п → р^п, Т_час(Икс) = Икс + час;

• является вероятностной мерой, связанной с нормальный распределение вероятностей:

${displaystyle Zsim operatorname {Normal} (mu ,sigma ^{2})implies mathbb {P} (Zin A)=gamma _{mu ,sigma ^{2}}^{n}(A).}$

Гауссовские меры на бесконечномерных пространствах

Можно показать, что нет аналога меры Лебега на бесконечномерном векторное пространство. Даже в этом случае можно определить гауссовские меры на бесконечномерных пространствах, основным примером которых является абстрактное винеровское пространство строительство. Мера Бореля γ на отделяемый Банахово пространство E считается невырожденная (центрированная) гауссова мера если для каждого линейный функционал L ∈ E^∗ Кроме L = 0, проталкивающая мера L_∗(γ) - невырожденная (центрированная) гауссова мера на р в смысле, определенном выше.

Например, классическая мера Винера на пространстве непрерывный пути является гауссовской мерой.

Смотрите также

• Мера Бесова, обобщение гауссовской меры
• Теорема Камерона – Мартина