Теорема Камерона – Мартина - Cameron–Martin theorem

В математика, то Теорема Камерона – Мартина или же Формула Камерона – Мартина (названный в честь Роберт Хортон Кэмерон и В. Т. Мартин ) это теорема из теория меры это описывает, как абстрактная мера Винера изменения под перевод некоторыми элементами теории Кэмерона – Мартина Гильбертово пространство.

Мотивация

Стандарт Гауссова мера γ^п на п-размерный Евклидово пространство р^п это не переводинвариантный. (Фактически, существует уникальная трансляционно-инвариантная мера Радона с точностью до Теорема Хаара: the п-размерный Мера Лебега, обозначенный здесь dx.) Вместо этого измеримое подмножество А имеет гауссову меру

${displaystyle gamma _{n}(A)={frac {1}{(2pi )^{n/2}}}int _{A}exp left(-{ frac {1}{2}}langle x,xangle _{mathbf {R} ^{n}}ight),dx.}$

Здесь ${displaystyle langle x,xangle _{mathbf {R} ^{n}}}$ относится к стандартному евклидову скалярное произведение в р^п. Гауссовская мера перевода А вектором час ∈ р^п является

${displaystyle {egin{aligned}gamma _{n}(A-h)&={frac {1}{(2pi )^{n/2}}}int _{A}exp left(-{ frac {1}{2}}langle x-h,x-hangle _{mathbf {R} ^{n}}ight),dx[4pt]&={frac {1}{(2pi )^{n/2}}}int _{A}exp left({frac {2langle x,hangle _{mathbf {R} ^{n}}-langle h,hangle _{mathbf {R} ^{n}}}{2}}ight)exp left(-{ frac {1}{2}}langle x,xangle _{mathbf {R} ^{n}}ight),dx.end{aligned}}}$

Так что при переводе через час, мера Гаусса масштабируется функцией распределения, отображаемой на последнем экране:

${displaystyle exp left({frac {2langle x,hangle _{mathbf {R} ^{n}}-langle h,hangle _{mathbf {R} ^{n}}}{2}}ight)=exp left(langle x,hangle _{mathbf {R} ^{n}}-{ frac {1}{2}}|h|_{mathbf {R} ^{n}}^{2}ight).}$

Мера, которая ассоциируется с множеством А число γ_п(А−час) это предварительная мера, обозначается (Т_час)_∗(γ^п). Здесь Т_час : р^п → р^п относится к карте перевода: Т_час(Икс) = Икс + час. Приведенный выше расчет показывает, что Производная Радона – Никодима меры прямого распространения по отношению к исходной гауссовской мере определяется выражением

${displaystyle {frac {mathrm {d} (T_{h})_{*}(gamma ^{n})}{mathrm {d} gamma ^{n}}}(x)=exp left(leftlangle h,xightangle _{mathbf {R} ^{n}}-{ frac {1}{2}}|h|_{mathbf {R} ^{n}}^{2}ight).}$

Абстрактная мера Винера γ на отделяемый Банахово пространство E, куда я : ЧАС → E является абстрактным винеровским пространством, в подходящем смысле также является «гауссовой мерой». Как он меняется при переводе? Оказывается, что формула, аналогичная приведенной выше, верна, если рассматривать только переводы по элементам плотный подпространство я(ЧАС) ⊆ E.

Формулировка теоремы

Позволять я : ЧАС → E быть абстрактным винеровским пространством с абстрактной винеровской мерой γ : Борель (E) → [0, 1]. За час ∈ ЧАС, определять Т_час : E → E к Т_час(Икс) = Икс + я(час). Потом (Т_час)_∗(γ) есть эквивалент к γ с производной Радона – Никодима

${displaystyle {frac {mathrm {d} (T_{h})_{*}(gamma )}{mathrm {d} gamma }}(x)=exp left(langle h,xangle ^{sim }-{ frac {1}{2}}|h|_{H}^{2}ight),}$

куда

${displaystyle langle h,xangle ^{sim }=I(h)(x)}$

обозначает Интеграл Пэли – Винера.

Формула Камерона – Мартина справедлива только для сдвигов элементами плотного подпространства я(ЧАС) ⊆ E, называется Пространство Камерона – Мартина, а не произвольными элементами E. Если бы формула Кэмерона – Мартина действовала для произвольных переводов, это противоречило бы следующему результату:

Если E сепарабельное банахово пространство и μ является локально конечным Мера Бореля на E что эквивалентно собственному продвижению вперед при любом переводе, то либо E имеет конечную размерность или μ это тривиальная (нулевая) мера. (Видеть квазиинвариантная мера.)

Фактически, γ квазиинвариантна относительно сдвига на элемент v если и только если v ∈ я(ЧАС). Векторы в я(ЧАС) иногда называют Камерон – Мартин: маршруты.

Интеграция по частям

Формула Камерона – Мартина дает интеграция по частям формула на E: если F : E → р имеет ограниченный Производная Фреше DF : E → Линь (E; р) = E^∗, интегрирование формулы Камерона – Мартина по мере Винера с обеих сторон дает

${displaystyle int _{E}F(x+ti(h)),mathrm {d} gamma (x)=int _{E}F(x)exp left(tlangle h,xangle ^{sim }-{ frac {1}{2}}t^{2}|h|_{H}^{2}ight),mathrm {d} gamma (x)}$

для любого т ∈ р. Формально дифференцируя по т и оценка на т = 0 дает формулу интегрирования по частям

${displaystyle int _{E}mathrm {D} F(x)(i(h)),mathrm {d} gamma (x)=int _{E}F(x)langle h,xangle ^{sim },mathrm {d} gamma (x).}$

Сравнение с теорема расходимости из векторное исчисление предлагает

${displaystyle mathop {mathrm {div} } [V_{h}](x)=-langle h,xangle ^{sim },}$

куда V_час : E → E это константа "векторное поле " V_час(Икс) = я(час) для всех Икс ∈ E. Желание рассматривать более общие векторные поля и думать о стохастических интегралах как о «расходимостях» приводит к изучению случайные процессы и Исчисление Маллявэна, и, в частности, Теорема Кларка – Окона и связанное с ним интегрирование по формуле частей.

Приложение

Используя теорему Камерона – Мартина, можно установить (см. Липцер, Ширяев, 1977, с. 280), что для q × q симметричный неотрицательный определенная матрица ЧАС(т) чьи элементы ЧАС_{j, k}(т) непрерывны и удовлетворяют условию

${displaystyle int _{0}^{1}sum _{j,k=1}^{q}|H_{j,k}(t)|,dt<infty ,}$

это справедливо для q-Размерный Винеровский процесс ш(т) который

${displaystyle Eleft[exp left(-int _{0}^{1}w'(t)H(t)w(t),dtight)ight]=exp left[{ frac {1}{2}}int _{0}^{1}operatorname {tr} (G(t)),dtight],}$

куда грамм(т) это q × q неположительно определенная матрица, которая является единственным решением матричнозначного Дифференциальное уравнение Риккати

${displaystyle {frac {dG(t)}{dt}}=2H(t)-G^{2}(t).}$

Смотрите также

• Теорема Гирсанова

Рекомендации

• Cameron, R.H .; Мартин, В. Т. (1944). «Преобразования винеровских интегралов при сдвигах». Анналы математики. 45 (2): 386–396. Дои:10.2307/1969276. JSTOR  1969276.
• Липцер, Р. С .; Ширяев, А. Н. (1977). Статистика случайных процессов I: Общая теория. Springer-Verlag. ISBN  3-540-90226-0.