Теорема Гирсанова - Girsanov theorem

Визуализация теоремы Гирсанова - в левой части показан Винеровский процесс с отрицательным дрейфом по канонической мере п; справа каждый путь процесса окрашен в соответствии с его вероятность под мартингейл мера Q. Преобразование плотности от п к Q дается теоремой Гирсанова.

В теория вероятности, то Теорема Гирсанова (названный в честь Игорь Владимирович Гирсанов ) описывает, как динамика случайные процессы изменить, когда оригинал мера меняется на эквивалентная вероятностная мера.^[1]^:607 Теорема особенно важна в теории финансовая математика поскольку в нем рассказывается, как конвертировать из физическая мера, который описывает вероятность того, что базовый инструмент (например, Поделиться цена или процентная ставка ) будет принимать определенное значение или значения, в нейтральная к риску мера это очень полезный инструмент для ценообразования производные по базовому инструменту.

История

Результаты такого типа были впервые доказаны Кэмероном – Мартином в 1940-х годах и Гирсановым в 1960 году.^[2] Впоследствии они были распространены на более общие классы процессов, достигших высшей точки в общей форме Ленгларт (1977).^[3]

Значимость

Теорема Гирсанова важна в общей теории случайных процессов, поскольку она позволяет получить ключевой результат, что если Q является абсолютно непрерывный мера относительно п затем каждый п-семимартингал это Q-семимартингейл.

Заявление

Сначала сформулируем теорему для частного случая, когда лежащий в основе стохастический процесс является Винеровский процесс. Этого особого случая достаточно для ценообразования с нейтральным риском в Модель Блэка – Шоулза и во многих других моделях (например, во всех непрерывных моделях).

Позволять ${ displaystyle {W_ {t} }}$ быть винеровским процессом на Винере вероятностное пространство ${ displaystyle { Omega, { mathcal {F}}, P }}$ . Позволять ${ displaystyle {X_ {t} }}$ быть измеримым процессом адаптированный к естественная фильтрация винеровского процесса ${ Displaystyle {{ mathcal {F}} _ {t} ^ {W} }}$ с ${ displaystyle X_ {0} = 0}$ .

Определить Показательная величина Далеана-Даде ${ displaystyle { mathcal {E}} (X) _ {t}}$ из Икс относительно W

{ displaystyle { mathcal {E}} (X) _ {t} = exp left (X_ {t} - { frac {1} {2}} [X] _ {t} right),}

куда ${ displaystyle [X] _ {t}}$ это квадратичная вариация из ${ displaystyle X_ {t}}$ . Если ${ displaystyle { mathcal {E}} (X) _ {t}}$ строго положительный мартингейл, мера вероятности Q можно определить на ${ Displaystyle { Omega, { mathcal {F}} }}$ так что у нас есть Производная Радона – Никодима

{ displaystyle { frac {dQ} {dP}} { bigg |} _ {{ mathcal {F}} _ {t}} = { mathcal {E}} (X) _ {t}}

Тогда для каждого т мера Q ограничено нерасширенными сигма-полями ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t} ^ {W}}$ эквивалентно п ограниченный ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t} ^ {W}}$ . Кроме того, если Y местный мартингейл под п, то процесс

{ displaystyle { tilde {Y}} _ {t} = Y_ {t} - left [Y, X right] _ {t}}

это Q местный мартингейл на фильтрованное вероятностное пространство ${ displaystyle { Omega, { mathcal {F}}, Q, {{ mathcal {F}} _ {t} ^ {W} } }}$ .

Следствие

Если Икс это непрерывный процесс и W является Броуновское движение под мерой п тогда

{ displaystyle { tilde {W}} _ {t} = W_ {t} - left [W, X right] _ {t}}

броуновское движение под Q.

Дело в том, что ${ displaystyle { tilde {W}} _ {t}}$ непрерывно тривиально; по теореме Гирсанова это Q локальный мартингейл, и вычисляя квадратичная вариация

{ displaystyle left [{ тильда {W}} right] _ {t} = left [W_ {t}, W_ {t} right] -2 left [W_ {t}, [W, X ] _ {t} right] + left [[W, X] _ {t}, [W, X] _ {t} right] = left [W right] _ {t} = t}

это следует Характеристика Леви броуновского движения, что это Q Броуновское движение.

Мера Q построенный выше не эквивалентен п на ${ Displaystyle { mathcal {F}} _ { infty}}$ , так как это будет только в том случае, если Производная Радона – Никодима были равномерно интегрируемым мартингалом, что не является описанным выше экспоненциальным мартингалом (для ${ displaystyle lambda neq 0}$ ).

Заявка на финансирование

В финансах теорема Гирсанова используется каждый раз, когда нужно вывести динамику актива или ставки с использованием новой вероятностной меры. Самый известный случай - это переход от исторической меры P к нейтральной по отношению к риску мере Q, которая осуществляется - в Модель Блэка – Шоулза -через Производная Радона – Никодима:

${ displaystyle { frac {dQ} {dP}} = { mathcal {E}} left ( int _ {0} ^ { cdot} { frac {r- mu} { sigma}} , dW_ {s} right)}$

куда ${ displaystyle r}$ обозначает мгновенную безрисковую ставку, ${ displaystyle mu}$ дрейф актива и ${ displaystyle sigma}$ его непостоянство.

Другими классическими приложениями теоремы Гирсанова являются квантовые корректировки и расчет сносов форвардов при Модель рынка LIBOR.

Смотрите также

Теорема Камерона – Мартина

внешняя ссылка

Заметки о стохастическом исчислении который содержит простое набросок доказательства теоремы Гирсанова.
Папайоанну, Денис (14 июля 2012 г.). «Прикладная многомерная теорема Гирсанова». SSRN 1805984. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь) Содержит финансовые приложения теоремы Гирсанова.

[1] Musiela, M .; Рутковски, М. (2004). Методы мартингейла в финансовом моделировании (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-20966-2.

[2] Гирсанов, И. В. (1960). «О преобразовании определенного класса случайных процессов путем абсолютно непрерывной замены мер». Теория вероятностей и ее приложения. 5 (3): 285–301. Дои:10.1137/1105027.

[3] Ленгларт Э. (1977). «Преобразование локальных мартингалов с изменением абсолютной продолжительности вероятности». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit. 39 (1): 65–70. Дои:10.1007 / BF01844873.

[1]

[2]

[3]