Адаптированный процесс - Adapted process

При изучении случайные процессы, адаптированный процесс (также называемый непредвиденный или же непредвиденный процесс) не может «заглянуть в будущее». Неформальная интерпретация[1] в том, что Икс адаптирован тогда и только тогда, когда для каждой реализации и каждого п, Иксп известно время п. Концепция адаптированного процесса важна, например, при определении Itō интегральный, что имеет смысл, только если интегрировать это адаптированный процесс.

Определение

Позволять

  • быть вероятностное пространство;
  • быть индексным набором с полным порядком (довольно часто, является , , или же );
  • быть фильтрация из сигма-алгебра ;
  • быть измеримое пространство, то пространство состояний;
  • быть случайный процесс.

Процесс как говорят адаптирован к фильтрации если случайная переменная это -измеримая функция для каждого .[2]

Примеры

Рассмотрим случайный процесс Икс : [0, Т] × Ω → р, и оборудовать реальная линия р со своим обычным Борелевская сигма-алгебра генерируется открытые наборы.

  • Если мы возьмем естественная фильтрация FИкс, куда FтИкс это σ-алгебра, порожденная прообразами Иксs−1(B) для борелевских подмножеств B из р и раз 0 ≤ sт, тогда Икс автоматически FИкс-адаптирован. Интуитивно естественная фильтрация FИкс содержит «общую информацию» о поведении Икс до временит.
  • Это простой пример неадаптированного процесса. Икс : [0, 2] × Ω → р: набор Fт быть тривиальным σ-алгебра {∅, Ω} для времен 0 ≤т <1, и Fт = FтИкс на время 1 ≤ т ≤ 2. Поскольку единственный способ измерить функцию относительно тривиального σ-алгебра должна быть постоянной, любой процесс Икс непостоянный на [0, 1] не будет F-адаптирован. Непостоянный характер такого процесса «использует информацию» из более тонкого «будущего». σ-алгебры Fт, 1 ≤ т ≤ 2.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Вильямс, Дэвид (1979). «II.25». Диффузии, марковские процессы и мартингалы: основы. 1. Вайли. ISBN  0-471-99705-6.
  2. ^ Эксендал, Бернт (2003). Стохастические дифференциальные уравнения. Springer. п. 25. ISBN  978-3-540-04758-2.