Адаптированный процесс - Adapted process
При изучении случайные процессы, адаптированный процесс (также называемый непредвиденный или же непредвиденный процесс) не может «заглянуть в будущее». Неформальная интерпретация[1] в том, что Икс адаптирован тогда и только тогда, когда для каждой реализации и каждого п, Иксп известно время п. Концепция адаптированного процесса важна, например, при определении Itō интегральный, что имеет смысл, только если интегрировать это адаптированный процесс.
Определение
Позволять
- быть вероятностное пространство;
- быть индексным набором с полным порядком (довольно часто, является , , или же );
- быть фильтрация из сигма-алгебра ;
- быть измеримое пространство, то пространство состояний;
- быть случайный процесс.
Процесс как говорят адаптирован к фильтрации если случайная переменная это -измеримая функция для каждого .[2]
Примеры
Рассмотрим случайный процесс Икс : [0, Т] × Ω → р, и оборудовать реальная линия р со своим обычным Борелевская сигма-алгебра генерируется открытые наборы.
- Если мы возьмем естественная фильтрация F•Икс, куда FтИкс это σ-алгебра, порожденная прообразами Иксs−1(B) для борелевских подмножеств B из р и раз 0 ≤ s ≤ т, тогда Икс автоматически F•Икс-адаптирован. Интуитивно естественная фильтрация F•Икс содержит «общую информацию» о поведении Икс до временит.
- Это простой пример неадаптированного процесса. Икс : [0, 2] × Ω → р: набор Fт быть тривиальным σ-алгебра {∅, Ω} для времен 0 ≤т <1, и Fт = FтИкс на время 1 ≤ т ≤ 2. Поскольку единственный способ измерить функцию относительно тривиального σ-алгебра должна быть постоянной, любой процесс Икс непостоянный на [0, 1] не будет F•-адаптирован. Непостоянный характер такого процесса «использует информацию» из более тонкого «будущего». σ-алгебры Fт, 1 ≤ т ≤ 2.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Вильямс, Дэвид (1979). «II.25». Диффузии, марковские процессы и мартингалы: основы. 1. Вайли. ISBN 0-471-99705-6.
- ^ Эксендал, Бернт (2003). Стохастические дифференциальные уравнения. Springer. п. 25. ISBN 978-3-540-04758-2.