Квадратичная вариация - Quadratic variation

В математика, квадратичная вариация используется при анализе случайные процессы Такие как Броуновское движение и другие мартингалы. Квадратичная вариация - это всего лишь один из видов вариация процесса.

Определение

Предположим, что Икс_т - стохастический процесс с действительными значениями, определенный на вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ и с указателем времени т начиная с неотрицательных действительных чисел. Его квадратичная вариация - это процесс, записанный как [Икс]_т, определяется как

${\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}$

куда п колеблется над перегородки интервала [0,т] и норма разбиения п это сетка. Этот предел, если он существует, определяется с помощью сходимость по вероятности. Обратите внимание, что процесс может иметь конечную квадратичную вариацию в смысле данного здесь определения, и его пути, тем не менее, почти наверняка будут бесконечными. 1-вариация для каждого т> 0 в классическом смысле взятия супремума суммы по всем разбиениям; это, в частности, касается Броуновское движение.

В более общем плане ковариация (или же перекрестная дисперсия) двух процессов Икс и Y является

${\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right).}$

Ковариацию можно записать в терминах квадратичной вариации поляризационная идентичность:

${\displaystyle [X,Y]_{t}={\tfrac {1}{2}}([X+Y]_{t}-[X]_{t}-[Y]_{t}).}$

Конечные вариационные процессы

Процесс Икс говорят, что имеет конечная вариация если у него есть ограниченная вариация на каждом конечном интервале времени (с вероятностью 1). Такие процессы очень распространены, включая, в частности, все непрерывно дифференцируемые функции. Квадратичная вариация существует для всех непрерывных процессов конечной вариации и равна нулю.

Это утверждение можно обобщить на прерывистые процессы. Любой càdlàg конечный вариационный процесс Икс имеет квадратичную вариацию, равную сумме квадратов скачков Икс. Точнее говоря, левая граница Икс_т относительно т обозначается Икс_т-, и скачок Икс вовремя т можно записать как ΔИкс_т = Икс_т - Икс_т-. Тогда квадратичная вариация определяется выражением

${\displaystyle [X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}.}$

Доказательство того, что непрерывные процессы с конечной вариацией имеют нулевую квадратичную вариацию, следует из следующего неравенства. Здесь, п является разбиением интервала [0,т], и V_т(Икс) является вариацией Икс более [0,т].

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}&\leq \max _{k\leq n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\sum _{k=1}^{n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\\&\leq \max _{|u-v|\leq \Vert P\Vert }|X_{u}-X_{v}|V_{t}(X).\end{aligned}}}$

По преемственности Икс, это исчезает в пределе при ${\displaystyle \Vert P\Vert }$ уходит в ноль.

Ито процессы

Квадратичная вариация стандарта Броуновское движение B существует и задается формулой [B]_т = т, однако предел в определении подразумевается в смысле L2, а не по пути. Это обобщает на Ито процессы что, по определению, можно выразить через Интегралы Ито

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{t}&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,d[B]_{s}\\&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds,\end{aligned}}}$

куда B это броуновское движение. Любой такой процесс имеет квадратичную вариацию, задаваемую формулой

${\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,ds.}$

Семимартингалы

Квадратичные вариации и ковариации всех семимартингалы можно показать, что оно существует. Они составляют важную часть теории стохастического исчисления, появляющуюся в Лемма Ито, которое является обобщением цепного правила на интеграл Ито. Квадратичная ковариация также появляется в формуле интегрирования по частям

${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},}$

который можно использовать для вычисления [Икс,Y].

В качестве альтернативы это можно записать как стохастическое дифференциальное уравнение:

${\displaystyle \,d(X_{t}Y_{t})=X_{t-}\,dY_{t}+Y_{t-}\,dX_{t}+\,dX_{t}\,dY_{t},}$

куда ${\displaystyle \,dX_{t}\,dY_{t}=\,d[X,Y]_{t}.}$

Мартингалы

Все càdlàg мартингалы и местные мартингалы имеют хорошо определенную квадратичную вариацию, что следует из того факта, что такие процессы являются примерами семимартингалов. Можно показать, что квадратичная вариация [M] общего локально квадратично интегрируемого мартингала M - единственный непрерывный справа возрастающий процесс, начинающийся с нуля, со скачками Δ [M] = ΔM², и такой, что M² − [M] - местный мартингейл. Доказательство существования [M] (без использования стохастического исчисления) приведен в Karandikar – Rao (2014).

Полезный результат для квадратично интегрируемый мартингалы - это Ито изометрия, который можно использовать для вычисления дисперсии интегралов Ито,

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\left(\int _{0}^{t}H\,dM\right)^{2}\right)=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right).}$

Этот результат верен всякий раз, когда M - мартингал, интегрируемый с квадратом кадлага, и ЧАС ограниченный предсказуемый процесс, и часто используется при построении интеграла Ито.

Еще один важный результат - Неравенство Буркхолдера – Дэвиса – Ганди. Это дает оценки максимума мартингала в терминах квадратичной вариации. Для местного мартингейла M начиная с нуля, с максимумом, обозначенным M_т^* ≡ sup_s≤т|M_s|, и любое действительное число п ≥ 1 неравенство

${\displaystyle c_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2})\leq \operatorname {E} ((M_{t}^{*})^{p})\leq C_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2}).}$

Здесь, c_п < C_п - константы в зависимости от выбора п, но не в зависимости от мартингейла M или время т использовал. Если M является непрерывным локальным мартингалом, то неравенство Буркхолдера – Дэвиса – Ганди выполняется для любогоп > 0.

Альтернативный процесс, предсказуемая квадратичная вариация иногда используется для мартингалов, интегрируемых с локальным квадратом. Это записывается как <M>_т, и определяется как уникальный непрерывный справа и возрастающий предсказуемый процесс, начинающийся с нуля, такой, что M² − <M> это местный мартингейл. Его существование следует из Теорема Дуба – Мейера о разложении а для непрерывных локальных мартингалов это то же самое, что и квадратичная вариация.

Смотрите также

• Общая вариация
• Ограниченная вариация

Рекомендации

• Проттер, Филип Э. (2004), Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3-540-00313-7
• Karandikar, Rajeeva L .; Рао, Б. В. (2014). «О квадратичной вариации мартингалов». Труды - Математические науки. 124 (3): 457–469. Дои:10.1007 / s12044-014-0179-2.