P-вариант - P-variation

В математический анализ, p-вариация это собрание полунормы на функциях из упорядоченного набора в метрическое пространство, индексируется действительным числом ${ displaystyle p geq 1}$ . п-вариация - это мера регулярности или гладкости функции. В частности, если ${ displaystyle f: I to (M, d)}$ , куда ${ displaystyle (M, d)}$ метрическое пространство и я полностью упорядоченный набор, его п-вариация

{ displaystyle | f | _ {p { text {-var}}} = left ( sup _ {D} sum _ {t_ {k} in D} d (f (t_ {k} ), f (t_ {k-1})) ^ {p} right) ^ {1 / p}}

куда D пробегает все конечные перегородки интервала я.

В п вариация функции уменьшается с п. Если ж имеет конечный п-вариация и грамм является α-Непрерывная функция Гёльдера, то ${ displaystyle g circ f}$ имеет конечный ${ displaystyle { frac {p} { alpha}}}$ -вариация.

Случай, когда п один называется полное изменение, а функции с конечной 1-вариацией называются ограниченная вариация функции.

Связь с нормой Гёльдера

Можно интерпретировать п-вариация как не зависящая от параметров версия нормы Гельдера, которая также распространяется на разрывные функции. Если ж является α–Гёльдер непрерывный (т.е. его α – гёльдерова норма конечна), то его ${ displaystyle { frac {1} { alpha}}}$ -вариация конечна. В частности, на интервале [а,б], ${ Displaystyle | е | _ {{ гидроразрыва {1} { alpha}} { text {-var}}} leq | f | _ { alpha} (ba) ^ { alpha} }$ . Наоборот, если ж непрерывна и имеет конечное п-вариация, существует повторная параметризация, ${ Displaystyle тау}$ , так что ${ displaystyle f circ tau}$ является ${ displaystyle 1 / p-}$ Гёльдер непрерывный.

Если п меньше чем q то пространство функций конечных п-вариация на компакте непрерывно вкладывается с нормой 1 в вариации конечных q-вариация. Т.е. ${ displaystyle | е | _ {q { text {-var}}} leq | f | _ {p { text {-var}}}}$ . Однако в отличие от аналогичной ситуации с пространствами Гёльдера вложение не компактно. Например, рассмотрим действительные функции на [0,1], заданные формулой ${ displaystyle f_ {n} (x) = x ^ {n}}$ . Они равномерно ограничены в 1-вариации и поточечно сходятся к разрывной функции ж но это не только не совпадение п-вариант для любых п но также не является равномерной сходимостью.

Применение к интеграции Римана – Стилтьеса

Если ж и грамм являются функциями из [а, б] до ℝ без общих разрывов и с ж имея конечный п-вариация и грамм имея конечный q-вариант, с ${ displaystyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}}> 1}$ затем Интеграл Римана – Стилтьеса

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dg (x): = lim _ {| D | to 0} sum _ {t_ {k} in D} f ( t_ {k}) [g (t_ {k + 1}) - g ({t_ {k}})]}

четко определено. Этот интеграл известен как Юный интеграл потому что это исходит от Молодые (1936).^[1] Величина этого определенного интеграла ограничена оценкой Юнга-Лоева следующим образом

{ displaystyle left | int _ {a} ^ {b} f (x) , dg (x) -f ( xi) [g (b) -g (a)] right | leq C , | f | _ {p { text {-var}}} | , g | _ {q { text {-var}}}}

куда C константа, которая зависит только от п и q а ξ - любое число между а и б.^[2]Если ж и грамм непрерывны, неопределенный интеграл ${ Displaystyle F (ш) = int _ {а} ^ {ш} е (х) , dg (х)}$ - непрерывная функция с конечным q-вариация: Если а ≤ s ≤ т ≤ б тогда ${ Displaystyle | F | _ {д { текст {-var}}; [s, t]}}$ , это q-вариант на [s,т], ограничен ${ displaystyle C | g | _ {q { text {-var}}; [s, t]} ( | f | _ {p { text {-var}}; [s, t] } + | f | _ { infty; [s, t]}) leq 2C | g | _ {q { text {-var}}; [s, t]} ( | f | _ {p { text {-var}}; [a, b]} + f (a))}$ куда C константа, которая зависит только от п и q.^[3]

Дифференциальные уравнения Юнга

Функция из ℝ^d к е × d вещественные матрицы называются ℝ^е-значная однозначная форма на ℝ^d.

Если ж является липшицевым ℝ^е-значная однозначная форма на ℝ^d, и Икс - непрерывная функция из интервала [а, б] в ℝ^d с конечным п-вариант с п меньше 2, то интеграл от ж на Икс, ${ Displaystyle int _ {a} ^ {b} е (Х (т)) , dX (т)}$ , можно рассчитать, потому что каждый компонент ж(Икс(т)) будет путем конечного п-вариация и интеграл представляет собой сумму конечного числа интегралов Юнга. Он дает решение уравнения ${ Displaystyle dY = е (Х) , dX}$ ведомый по пути Икс.

Более того, если ж является липшицевым ℝ^е-значная однозначная форма на ℝ^е, и Икс - непрерывная функция из интервала [а, б] в ℝ^d с конечным п-вариант с п меньше 2, то интегрирования Юнга достаточно, чтобы установить решение уравнения ${ Displaystyle dY = е (Y) , dX}$ ведомый по пути Икс.^[4]

Грубые дифференциальные уравнения

Теория грубые тропы обобщает интегральные и дифференциальные уравнения Юнга и широко использует понятие п-вариация.

Для броуновского движения

п-вариант следует противопоставить квадратичная вариация который используется в стохастический анализ, где он переводит один случайный процесс на другой. Квадратичная вариация определяется как предел по мере того, как разбиение становится более тонким, тогда как п-вариация - это супремум по всем разделам. Таким образом, квадратичная вариация процесса может быть меньше, чем его 2-вариация. Если W_т это стандарт Броуновское движение на [0,Т] то с вероятностью единица его п-вариация бесконечна для ${ displaystyle p leq 2}$ и конечно в противном случае. Квадратичная вариация W является ${ displaystyle [W] _ {T} = T}$ .

Расчет п-вариация для дискретных временных рядов

Для дискретного временного ряда наблюдений Икс₀,...,ИКС_N легко вычислить его п-вариант со сложностью О (N²). Вот пример кода C ++ с использованием динамическое программирование:

двойной p_var(const стандартное::вектор<двойной>& Икс, двойной п) {	если (Икс.размер() == 0)		возвращаться 0.0;	стандартное::вектор<двойной> cum_p_var(Икс.размер(), 0.0);   // кумулятивная p-вариация	за (size_t п = 1; п < Икс.размер(); п++) {		за (size_t k = 0; k < п; k++) {			cum_p_var[п] = стандартное::Максимум(cum_p_var[п], cum_p_var[k] + стандартное::пау(стандартное::пресс(Икс[п] - Икс[k]), п));		}	}	возвращаться стандартное::пау(cum_p_var.назад(), 1./п);}

Существуют гораздо более эффективные, но и более сложные алгоритмы для ℝ-значных процессов^[5]^[6]а для процессов в произвольных метрических пространствах^[6].

внешняя ссылка

Непрерывные пути с ограниченной p-вариацией Фабрис Бодуан
Об интеграле Юнга, усеченной вариации и грубых путях Рафал М. Лоховски

[1] ttps://fabricebaudoin.wordpress.com/2012/12/25/lecture-7-youngs-integral/

[2] Фриз, Питер К .; Виктуар, Николас (2010). Многомерные случайные процессы как грубые пути: теория и приложения (Кембриджские исследования в области высшей математики под ред.). Издательство Кембриджского университета.

[3] Лайонс, Терри; Каруана, Майкл; Леви, Тьерри (2007). Дифференциальные уравнения, движущиеся по неровным дорогам, т. Конспект лекций по математике 1908 г.. Springer.

[4] ttps://fabricebaudoin.wordpress.com/2012/12/26/lecture-8-youngs-differential-equations/

[5] Буткус, В .; Норвайша, Р. (2018). «Вычисление p-вариации». Литовский математический журнал. Дои:10.1007 / s10986-018-9414-3.

[p-var-github-6] а ^б https://github.com/khumarahn/p-var

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]