Интеграл Римана – Стилтьеса. - Riemann–Stieltjes integral

В математика, то Интеграл Римана – Стилтьеса. является обобщением Интеграл Римана, названный в честь Бернхард Риманн и Томас Джоаннес Стилтьес. Определение этого интеграла впервые было опубликовано в 1894 году Стилтьесом.^[1] Он служит поучительным и полезным предшественником Интеграл Лебега и бесценный инструмент для унификации эквивалентных форм статистических теорем, применимых к дискретной и непрерывной вероятности.

Формальное определение

Риман-Стилтьес интеграл из функция с действительным знаком ${\displaystyle f}$ действительной переменной на интервале ${\displaystyle [a,b]}$ по отношению к другой реальной функции ${\displaystyle g}$ обозначается

${\displaystyle \int _{x=a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x).}$

В его определении используется последовательность перегородки ${\displaystyle P}$ интервала ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}.}$

Тогда интеграл определяется как предел, поскольку норма (длина самого длинного подынтервала) перегородок приближается к ${\displaystyle 0}$, аппроксимирующей суммы

${\displaystyle S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\left[g(x_{i+1})-g(x_{i})\right]}$

куда ${\displaystyle c_{i}}$ находится в я-й подынтервал [Икс_я, Икс_я+1]. Две функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ соответственно называются интегрировать и интегратор. Обычно ${\displaystyle g}$ считается монотонный (или, по крайней мере, ограниченная вариация ) и полунепрерывный справа (однако это последнее по сути условное). Мы специально не требуем ${\displaystyle g}$ быть непрерывным, что позволяет использовать интегралы с точечными массами.

Под "пределом" здесь понимается число А (значение интеграла Римана – Стилтьеса) такое, что для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для каждого раздела п с нормой (п) < δ, и для каждого выбора точек c_я в [Икс_я, Икс_я+1],

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon .\,}$

Характеристики

Интеграл Римана – Стилтьеса допускает интеграция по частям в виде

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} f(x)}$

и существование одного интеграла подразумевает существование другого.^[2]

С другой стороны, классический результат^[3] показывает, что интеграл корректно определен, если ж является α-Гёльдер непрерывный и грамм является β-Hölder непрерывно с α + β > 1 .

Приложение к теории вероятностей

Если грамм это кумулятивная функция распределения вероятностей из случайная переменная Икс который имеет функция плотности вероятности относительно Мера Лебега, и ж - любая функция, для которой ожидаемое значение ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\,\left|f(X)\right|\,\right]}$ конечна, то функция плотности вероятности Икс является производной от грамм и у нас есть

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.}$

Но эта формула не работает, если Икс не имеет функции плотности вероятности относительно меры Лебега. В частности, не работает, если раздача Икс является дискретным (т.е. вся вероятность учитывается точечными массами), и даже если кумулятивная функция распределения грамм непрерывно, он не работает, если грамм не может быть абсолютно непрерывный (опять же Функция Кантора может служить примером этой неудачи). Но личность

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$

имеет место, если грамм является любой кумулятивная функция распределения вероятностей на реальной линии, как бы плохо себя ни вели. В частности, как бы плохо ни велась кумулятивная функция распределения грамм случайной величины Икс, если момент E (Икс^п) существует, то он равен

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} g(x).}$

Приложение к функциональному анализу

Интеграл Римана – Стилтьеса входит в исходную формулировку Теорема Ф. Рисса который представляет собой двойное пространство из Банахово пространство C[а,б] непрерывных функций на отрезке [а,б] как интегралы Римана – Стилтьеса от функций ограниченная вариация. Позже эта теорема была переформулирована в терминах мер.

Интеграл Римана – Стилтьеса также появляется в формулировке спектральная теорема для (некомпактных) самосопряженных (или, в более общем смысле, нормальных) операторов в гильбертовом пространстве. В этой теореме интеграл рассматривается по спектральному семейству проекций.^[4]

Существование интеграла

Лучшая простая теорема существования утверждает, что если ж непрерывно и грамм имеет ограниченная вариация на [а, б], то интеграл существует.^[5][6][7] Функция грамм имеет ограниченную вариацию тогда и только тогда, когда это разница между двумя (ограниченными) монотонными функциями. Если грамм не имеет ограниченной вариации, то найдутся непрерывные функции, которые нельзя проинтегрировать по грамм. В общем случае интеграл не определен правильно, если ж и грамм поделиться любыми точками прерывность, но есть и другие случаи.

Обобщение

Важным обобщением является Интеграл Лебега – Стилтьеса., который обобщает интеграл Римана – Стилтьеса аналогично тому, как Интеграл Лебега обобщает интеграл Римана. Если неподходящий Допускаются интегралы Римана – Стилтьеса, тогда интеграл Лебега не является строго более общим, чем интеграл Римана – Стилтьеса.

Интеграл Римана – Стилтьеса также обобщает^{[нужна цитата ]} к случаю, когда либо подынтегральное выражение ƒ или интегратор грамм принимать ценности в Банахово пространство. Если грамм : [а,б] → Икс принимает значения в банаховом пространстве Икс, то естественно предположить, что он сильно ограниченная вариация, означающий, что

${\displaystyle \sup \sum _{i}\|g(t_{i-1})-g(t_{i})\|_{X}<\infty }$

супремум берется по всем конечным разбиениям

${\displaystyle a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{n}=b}$

интервала [а,б]. Это обобщение играет роль при изучении полугруппы, через Преобразование Лапласа – Стилтьеса.

В Ито интегральный расширяет интеграл Римана – Ститьеса на подынтегральные выражения и интеграторы, которые случайные процессы а не простые функции; смотрите также стохастическое исчисление.

Обобщенный интеграл Римана – Стилтьеса.

Небольшое обобщение^[8] следует рассматривать в приведенном выше определении разделы п который уточнять другой раздел п_ε, означающий, что п возникает из п_ε путем добавления точек, а не из перегородок с более мелкой сеткой. В частности, обобщенный интеграл Римана – Стилтьеса из ж относительно грамм это число А так что для каждого ε > 0 существует раздел п_ε так что для каждого раздела п это уточняет п_ε,

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon \,}$

за каждый выбор очков c_я в [Икс_я, Икс_я+1].

Это обобщение демонстрирует интеграл Римана – Стилтьеса как Предел Мура – ​​Смита на направленный набор разделов [а, б] .^[9][10]

Как следствие, при таком определении интеграл ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$ все еще можно определить в тех случаях, когда ж и грамм имеют общую точку разрыва.

Суммы Дарбу

Интеграл Римана – Стилтьеса может быть эффективно обработан с помощью подходящего обобщения Суммы Дарбу. Для перегородки п и неубывающая функция грамм на [а, б] определяют верхнюю сумму Дарбу ж относительно грамм к

${\displaystyle U(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)}$

а нижняя сумма на

${\displaystyle L(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).}$

Тогда обобщенный алгоритм Римана – Стилтьеса ж относительно грамм существует тогда и только тогда, когда для любого ε> 0 существует разбиение п такой, что

${\displaystyle U(P,f,g)-L(P,f,g)<\varepsilon .}$

Более того, ж интегрируема по Риману – Стилтьесу относительно грамм (в классическом смысле), если

${\displaystyle \lim _{\operatorname {mesh} (P)\to 0}[\,U(P,f,g)-L(P,f,g)\,]=0.\quad }$^[11]

Примеры и частные случаи

Дифференцируемый грамм(Икс)

Учитывая ${\displaystyle g(x)}$ который непрерывно дифференцируемый над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ можно показать, что существует равенство

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x}$

где интеграл в правой части - стандартный интеграл Римана в предположении, что ${\displaystyle f}$ можно проинтегрировать с помощью интеграла Римана – Стилтьеса.

В более общем смысле интеграл Римана равен интегралу Римана – Стилтьеса, если ${\displaystyle g}$ это Интеграл Лебега его производной; в этом случае ${\displaystyle g}$ как говорят абсолютно непрерывный.

Может случиться так, что ${\displaystyle g}$ имеет скачкообразные разрывы или может иметь нулевую производную почти повсюду, оставаясь при этом непрерывным и увеличивающимся (например, ${\displaystyle g}$ может быть Функция Кантора или «Чертова лестница»), в любом из этих случаев интеграл Римана – Стилтьеса не улавливается никаким выражением, включающим производные от грамм.

Интеграл Римана

Стандартный интеграл Римана является частным случаем интеграла Римана – Стилтьеса, где ${\displaystyle g(x)=x}$.

Выпрямитель

Рассмотрим функцию ${\displaystyle g(x)=\max\{0,x\}}$ используется при изучении нейронные сети, называется выпрямленный линейный блок (ReLU). Тогда Риманна – Стилтьеса можно оценить как

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,\mathrm {d} x}$

где интеграл в правой части - стандартный интеграл Римана.

Интеграция Cavaliere

Визуализация интеграла Кавальера для функции ${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

Принцип Кавальери может использоваться для вычисления площадей, ограниченных кривыми, с использованием интегралов Римана – Стилтьеса.^[12] Интегральные планки интеграции Riemann заменяются планками непрямоугольной формы. Метод состоит в том, чтобы преобразовать «регион Кавальере» с преобразованием ${\displaystyle h}$, или использовать ${\displaystyle g=h^{-1}}$ как подынтегральное выражение.

Для заданной функции ${\displaystyle f(x)}$ на интервале ${\displaystyle [a,b]}$, "трансляционная функция" ${\displaystyle a(y)}$ должен пересекаться ${\displaystyle (x,f(x))}$ ровно один раз за любой сдвиг в интервале. Тогда "регион Кавальере" ограничен ${\displaystyle f(x),a(y)}$, то ${\displaystyle x}$-ось и ${\displaystyle b(y)=a(y)+(b-a)}$. Тогда площадь региона

${\displaystyle \int _{a(y)}^{b(y)}f(x)\,dx\ =\ \int _{a'}^{b'}f(x)\,dg(x),}$ куда ${\displaystyle a'}$ и ${\displaystyle b'}$ являются ${\displaystyle x}$-значения, где ${\displaystyle a(y)}$ и ${\displaystyle b(y)}$ пересекаться ${\displaystyle f(x)}$.

Примечания

1. Стилтьес (1894) С. 68–71.
2. Хилле и Филлипс (1974), §3.3.
3. Молодые (1936).
4. Видеть Riesz & Sz. Надь (1990) для подробностей.
5. Джонсонбо и Пфаффенбергер (2010), п. 219.
6. Рудин (1964) С. 121–122.
7. Колмогоров и Фомин (1975), п. 368.
8. Представлен Поллард (1920) и теперь стандарт в анализе.
9. МакШейн (1952).
10. Хильдебрандт (1938) называет это Интеграл Полларда – Мура – ​​Стилтьеса..
11. Могилы (1946), Гл. XII, §3.
12. Т. Л. Гроблер, Э. Р. Акерманн, А. Дж. Ван Зил и Дж. К. Оливье Интеграция Cavaliere из Совет по научным и промышленным исследованиям

Рекомендации

• Грейвс, Лоуренс (1946). Теория функций действительных переменных.. Макгроу-Хилл. через HathiTrust
• Хильдебрандт, Т. (1938). «Определения интегралов Стилтьеса типа Римана». Американский математический ежемесячник. 45 (5): 265–278. ISSN  0002-9890. JSTOR  2302540. МИСТЕР  1524276.
• Хилле, Эйнар; Филлипс, Ральф С. (1974). Функциональный анализ и полугруппы. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. МИСТЕР  0423094.
• Джонсонбо, Ричард Ф.; Пфаффенбергер, Уильям Элмер (2010). Основы математического анализа. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-47766-4.
• Колмогоров Андрей; Фомин, Сергей В. (1975) [1970]. Вводный реальный анализ. Перевод Сильвермана, Ричарда А. (пересмотренное английское издание). Dover Press. ISBN  0-486-61226-0.
• МакШейн, Э. Дж. (1952). «Частичные упорядочения и предел Мура-Смита» (PDF). Американский математический ежемесячник. 59: 1–11. Дои:10.2307/2307181. JSTOR  2307181. Получено 2 ноября 2010.
• Поллард, Генри (1920). «Интеграл Стилтьеса и его обобщения». Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики. 49.
• Riesz, F .; Sz. Надь, Б. (1990). Функциональный анализ. Dover Publications. ISBN  0-486-66289-6.
• Рудин, Вальтер (1964). Принципы математического анализа (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
• Шилов, Г. Э .; Гуревич, Б. Л. (1978). Интеграл, мера и производная: единый подход. Перевод Сильвермана, Ричард А. Довер Пабликейшнс. Bibcode:1966imdu.book ..... S. ISBN  0-486-63519-8.
• Стилтьес, Томас Ян (1894). «Исследования по фракциям продолжаются». Анна. Фак. Sci. Тулуза. VIII: 1–122. МИСТЕР  1344720.
• Строок, Дэниел В. (1998). Краткое введение в теорию интеграции (3-е изд.). Бирхаузер. ISBN  0-8176-4073-8.
• Янг, Л. (1936). «Неравенство типа Гёльдера, связанное с интегрированием Стилтьеса». Acta Mathematica. 67 (1): 251–282. Дои:10.1007 / bf02401743.