Мера Бесова - Besov measure

В математика - в частности, в области теория вероятности и обратные задачи — Бесовские меры и связанные Случайные величины, распределенные по Бесову являются обобщениями понятий Гауссовские меры и случайные переменные, Распределения Лапласа, и другие классические распределения. Они особенно полезны при изучении обратные задачи на функциональные пространства для которого гауссовский Байесовский приор неподходящая модель. Построение меры Бесова аналогично построению меры Бесова. Бесовское пространство, отсюда и номенклатура.

Определения

Позволять ${\displaystyle H}$ быть отделяемый Гильбертово пространство функций, определенных в области ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$, и разреши ${\displaystyle \{e_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$ быть полный ортонормированный базис за ${\displaystyle H}$. Позволять ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$. За ${\displaystyle u=\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}e_{n}\in H}$, определять

${\displaystyle \|u\|_{X^{s,p}}=\left\|\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}e_{n}\right\|_{X^{s,p}}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{({\frac {ps}{d}}+{\frac {p}{2}}-1)}|u_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$

Это определяет норма на подпространстве ${\displaystyle H}$ для которого он конечен, и пусть ${\displaystyle X^{s,p}}$ обозначить завершение этого подпространства относительно этой новой нормы. Мотивация для этих определений проистекает из того факта, что ${\displaystyle \|u\|_{X^{s,p}}}$ эквивалентно норме ${\displaystyle u}$ в пространстве Бесова ${\displaystyle B_{pp}^{s}(D)}$.

Позволять ${\displaystyle \kappa >0}$ - масштабный параметр, аналогичный точности (величина, обратная отклонение ) гауссовской меры. Теперь определим ${\displaystyle X^{s,p}}$-значная случайная величина ${\displaystyle u}$ к

${\displaystyle u:=\sum _{n\in \mathbb {N} }n^{-({\frac {s}{d}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{p}})}\kappa ^{-{\frac {1}{p}}}\xi _{n}e_{n},}$

куда ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dots }$ выбираются независимо и одинаково из обобщенной гауссовской меры на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с Лебегом функция плотности вероятности пропорционально ${\displaystyle \exp(-{\tfrac {1}{2}}|\xi _{n}|^{p})}$. Неофициально ${\displaystyle u}$ можно сказать, что функция плотности вероятности пропорциональна ${\displaystyle \exp(-{\tfrac {\kappa }{2}}\|u\|_{X^{s,p}}^{p})}$ относительно бесконечномерной меры Лебега (что не имеет строгого смысла ), и поэтому является естественным кандидатом на роль "типичного" элемента ${\displaystyle X^{s,p}}$ (хотя это не совсем так - см. ниже).

Характеристики

Легко показать, что когда т ≤ s, то Икс^т,п норма конечна, если Икс^s,п норма есть. Следовательно, пространства Икс^s,п и Икс^т,п вложены:

${\displaystyle X^{s,p}\subseteq X^{t,p}{\mbox{ when }}t\leq s.}$

Это согласуется с обычным вложением классов гладкости функций ж: D → р: например, Соболевское пространство ЧАС²(D) является подпространством ЧАС¹(D) и в свою очередь Пространство Лебега L²(D) = ЧАС⁰(D); в Пространство Гёльдера C¹(D) непрерывно дифференцируемых функций является подпространством пространства C⁰(D) непрерывных функций.

Можно показать, что ряд, определяющий ты сходится в Икс^т,п почти наверняка для любого т < s − d / п, и поэтому дает четко определенную Икс^т,п-значная случайная величина. Обратите внимание, что Икс^т,п это больше, чем Икс^s,п, а на самом деле это случайная величина ты является почти наверняка нет в меньшем пространстве Икс^s,п. Космос Икс^s,п скорее пространство Камерона-Мартина этой вероятностной меры в гауссовском случае п = 2. Случайная величина ты как говорят Бесов раздал с параметрами (κ, s, п), а индуцированная вероятностная мера называется Мера Бесова.

Рекомендации

• Дашти, Масуме; Харрис, Стивен; Стюарт, Эндрю М. (2012). «Априоры Бесова для байесовских обратных задач». Обратные задачи и визуализация. 6 (2): 183–200. arXiv:1105.0889. Дои:10.3934 / ipi.2012.6.183. ISSN  1930-8337. МИСТЕР  2942737. S2CID  88518742.
• Лассас, Матти; Саксман, Ээро; Силтанен, Самули (2009). «Дискретно-инвариантное байесовское обращение и априорные значения пространства Бесова». Обратные задачи и визуализация. 3 (1): 87–122. arXiv:0901.4220. Дои:10.3934 / ipi.2009.3.87. ISSN  1930-8337. МИСТЕР  2558305. S2CID  14122432.