Вселенная (математика) - Universe (mathematics)

Отношения между вселенной и дополнением.

В математика, и особенно в теория множеств, теория категорий, теория типов, а основы математики, а вселенная - это коллекция, содержащая все объекты, которые нужно учитывать в данной ситуации.

В теории множеств вселенные часто классы которые содержат (как элементы ) все наборы, для которых можно надеяться доказывать конкретный теорема. Эти классы могут служить внутренние модели для различных аксиоматических систем, таких как ZFC или же Теория множеств Морса – Келли. Вселенные имеют решающее значение для формализации концепций в теория категорий внутри теоретико-множественных основ. Например, канонический мотивирующий пример категории Набор, категория всех множеств, которая не может быть формализована в теории множеств без некоторого понятия универсума.

В теории типов юниверс - это тип, элементами которого являются типы.

В конкретном контексте

Пожалуй, самая простая версия: любой множество может быть вселенной, пока объект исследования ограничен этим конкретным множеством. Если объектом исследования является действительные числа, то реальная линия р, который представляет собой набор действительных чисел, может быть рассматриваемой вселенной. Неявно это вселенная, Георг Кантор использовал, когда впервые разработал современные наивная теория множеств и мощность в 1870-х и 1880-х годах в приложениях к реальный анализ. Единственными наборами, которые изначально интересовали Кантора, были подмножества из р.

Эта концепция вселенной отражена в использовании Диаграммы Венна. На диаграмме Венна действие традиционно происходит внутри большого прямоугольника, который представляет Вселенную. U. Обычно говорят, что множества представлены кружками; но эти множества могут быть только подмножествами U. В дополнять набора А затем задается той частью прямоугольника за пределами А 'круг. Собственно говоря, это относительное дополнение U \ А из А относительно U; но в контексте, где U Вселенная, ее можно рассматривать как абсолютное дополнение А^C из А. Точно так же есть понятие нулевое пересечение, это пересечение из нуль наборы (то есть нет наборов, не нулевые наборы ).

Без вселенной нулевое пересечение было бы набором абсолютно всего, что обычно считается невозможным; но имея в виду вселенную, нулевое пересечение можно рассматривать как совокупность всего рассматриваемого, что просто U. Эти соглашения весьма полезны в алгебраическом подходе к теории основных множеств, основанном на Булевы решетки. За исключением некоторых нестандартных форм аксиоматическая теория множеств (Такие как Новые основы ), учебный класс всех множеств не является булевой решеткой (это только относительно дополненная решетка ).

Напротив, класс всех подмножеств U, называется набор мощности из U, является булевой решеткой. Абсолютное дополнение, описанное выше, - это операция дополнения в булевой решетке; и U, как нулевое пересечение, служит верхний элемент (или недействительный встретить ) в булевой решетке. потом Законы де Моргана, которые касаются дополнений к встречам и присоединяется (которые союзы в теории множеств) применяются и применяются даже к нулевым встречам и нулевым соединением (что является пустой набор ).

В обычной математике

Однако, как только подмножества данного набора Икс (в случае Кантора Икс = р), вселенная может быть набором подмножеств Икс. (Например, топология на Икс набор подмножеств Икс.) Различные наборы подмножеств Икс сами не будут подмножествами Икс но вместо этого будут подмножества пИкс, то набор мощности из Икс. Это может быть продолжено; объект исследования может далее состоять из таких наборов подмножеств Икс, и так далее, и в этом случае Вселенная будет п(пИкс). В другом направлении бинарные отношения на Икс (подмножества Декартово произведение Икс × Икс) можно рассматривать, или функции из Икс самому себе, требуя таких вселенных, как п(Икс × Икс) или же Икс^Икс.

Таким образом, даже если основной интерес Икс, Вселенная должна быть значительно больше, чем Икс. Следуя приведенным выше идеям, вы можете захотеть надстройка над Икс как вселенная. Это можно определить как структурная рекурсия следующее:

Позволять S₀Икс быть Икс сам.
Позволять S₁Икс быть союз из Икс и пИкс.
Позволять S₂Икс быть союзом S₁Икс и п(S₁Икс).
В общем, пусть S_п+1Икс быть союзом S_пИкс и п(S_пИкс).

Тогда надстройка над Икс, написано SИкс, является объединением S₀Икс, S₁Икс, S₂Икс, и так далее; или же

{ displaystyle mathbf {S} X: = bigcup _ {i = 0} ^ { infty} mathbf {S} _ {i} X { mbox {.}} !}

Независимо от того, какой набор Икс это отправная точка, пустой набор {} будет принадлежать S₁Икс. Пустой набор - это порядковый номер фон Неймана [0]. Тогда {[0]}, набор, единственным элементом которого является пустой набор, будет принадлежать S₂Икс; это порядковый номер фон Неймана [1]. Точно так же {[1]} будет принадлежать S₃Икс, а значит, и {[0], [1]}, как объединение {[0]} и {[1]}; это ординал фон Неймана [2]. Продолжая этот процесс, каждые натуральное число в надстройке представлен порядковым номером фон Неймана. Далее, если Икс и у принадлежит надстройке, то {{Икс},{Икс,у}}, который представляет упорядоченная пара (Икс,у). Таким образом, надстройка будет содержать различные желаемые декартовы произведения. Тогда надстройка также содержит функции и связи, поскольку они могут быть представлены как подмножества декартовых произведений. Процесс также дает заказанные п-кортежи, представленные в виде функций, область определения которых является порядковым номером фон Неймана [п], и так далее.

Итак, если отправная точка просто Икс = {}, большая часть наборов, необходимых для математики, появляется как элементы надстройки над {}. Но каждый из элементов S{} будет конечный набор. Ему принадлежит каждое натуральное число, но множество N из все натуральные числа нет (хотя это подмножество из S{}). Фактически, надстройка над {} состоит из всех наследственно конечные множества. Таким образом, его можно считать вселенная финитистская математика. Говоря анахронизмом, можно предположить, что финитист XIX века Леопольд Кронекер работал в этой вселенной; он считал, что каждое натуральное число существует, но множество N (а "завершенная бесконечность ") не.

Тем не мение, S{} неудовлетворительна для обычных математиков (которые не являются финитистами), потому что даже если N может быть доступен как подмножество S{}, по-прежнему мощный набор N не является. В частности, недоступны произвольные наборы действительных чисел. Поэтому может потребоваться начать процесс заново и сформировать S(S{}). Однако для простоты можно взять набор N натуральных чисел как дано и в форме SN, надстройка над N. Это часто считается вселенная обычная математика. Идея состоит в том, что вся математика, которая обычно изучается, относится к элементам этой вселенной. Например, любой из обычных конструкции действительных чисел (сказать Дедекинд сокращает ) принадлежит SN. Четное нестандартный анализ может быть выполнено в надстройке над нестандартная модель натуральных чисел.

Есть небольшой сдвиг в философии по сравнению с предыдущим разделом, где вселенная была произвольной. U представляет интерес. Там изучаемые наборы были подмножествос Вселенной; теперь они члены Вселенной. Таким образом, хотя п(SИкс) является булевой решеткой, важно то, что SИкс сам по себе нет. Следовательно, редко применяют понятия булевых решеток и диаграмм Венна непосредственно к вселенной надстройки, как они были к вселенным с множеством степеней из предыдущего раздела. Вместо этого можно работать с отдельными булевыми решетками пА, куда А любой соответствующий набор принадлежит SИкс; тогда пА это подмножество SИкс (и фактически принадлежит SИкс). В случае Кантора Икс = р в частности, недоступны произвольные наборы действительных чисел, поэтому может действительно возникнуть необходимость начать процесс заново.

В теории множеств

Можно дать точный смысл утверждению, что SN это вселенная обычной математики; это модель из Теория множеств Цермело, то аксиоматическая теория множеств первоначально разработан Эрнст Цермело в 1908 г. Теория множеств Цермело была успешной именно потому, что она была способна аксиоматизировать «обычную» математику, выполняя программу, начатую Кантором более 30 лет назад. Но теории множеств Цермело оказалось недостаточно для дальнейшего развития аксиоматической теории множеств и других работ в основы математики, особенно теория моделей.

В качестве яркого примера приведенное выше описание процесса надстройки само по себе не может быть выполнено в теории множеств Цермело. Заключительный шаг, формирование S как бесконечный союз требует аксиома замены, который был добавлен в теорию множеств Цермело в 1922 г., чтобы сформировать Теория множеств Цермело – Френкеля, набор аксиом, наиболее широко распространенный сегодня. Итак, хотя обычная математика может быть выполнена в SN, обсуждение из SN выходит за рамки "обычного", в метаматематика.

Но если применить мощную теорию множеств, описанный выше процесс надстройки окажется всего лишь началом трансфинитная рекурсия. Возвращаясь к Икс = {}, пустое множество, и вводя (стандартные) обозначения V_я за S_я{}, V₀ = {}, V₁ = п{}, и так далее, как и раньше. Но то, что раньше называлось «надстройкой», теперь просто следующий пункт в списке: V_ω, где ω - первая бесконечный порядковый номер. Это может быть расширено до произвольного порядковые номера:

{ displaystyle V_ {i}: = bigcup _ {j

определяет V_я за любой порядковый номер я.Соединение всех V_я это Вселенная фон Неймана V:

{ Displaystyle V: = bigcup _ {i} V_ {i} !}

.

Каждый человек V_я это набор, но их союз V это правильный класс. В аксиома основания, который был добавлен в ZF теория множеств примерно в то же время, что и аксиома замещения, утверждает, что каждый набор принадлежит V.

Курт Гёдель с конструируемая вселенная L и аксиома конструктивности

Недоступные кардиналы дают модели ZF, а иногда и дополнительные аксиомы, и эквивалентны существованию Вселенная Гротендика набор

В исчислении предикатов

В интерпретация из логика первого порядка Вселенная (или область дискурса) - это набор индивидов (индивидуальных констант), над которыми кванторы классифицировать. Такое предложение, как $\forall Икс (Икс 2 \neq 2)$ является неоднозначным, если не идентифицирована область дискурса. В одной интерпретации сфера дискурса может быть набором действительные числа; в другой интерпретации это может быть набор натуральные числа. Если область дискурса - это множество действительных чисел, предложение неверно, с $Икс = \sqrt 2$ как контрпример; если область значений - это множество натуральных чисел, утверждение верно, поскольку 2 не является квадратом любого натурального числа.

В теории категорий

Есть и другой подход к вселенным, исторически связанный с теория категорий. Это идея Вселенная Гротендика. Грубо говоря, вселенная Гротендика - это множество, внутри которого могут выполняться все обычные операции теории множеств. Эта версия вселенной определяется как любое множество, для которого выполняются следующие аксиомы:^[1]

${ Displaystyle х в и в U}$ подразумевает ${ Displaystyle х в U}$
${ displaystyle u in U}$ и ${ displaystyle v in U}$ подразумевать {ты,v}, (ты,v), и ${ displaystyle u times v in U}$ .
${ Displaystyle х в U}$ подразумевает ${ Displaystyle { mathcal {P}} х в U}$ и ${ Displaystyle чашка х в U}$
${ displaystyle omega in U}$ (здесь ${ Displaystyle omega = {0,1,2, ... }}$ это набор всех конечные ординалы.)
если ${ displaystyle f: от a до b}$ является сюръективной функцией с ${ displaystyle a in U}$ и ${ displaystyle b subset U}$ , тогда ${ displaystyle b in U}$ .

Преимущество вселенной Гротендика состоит в том, что на самом деле это набор, и никогда не правильный класс. Недостаток в том, что если очень постараться, можно покинуть вселенную Гротендика.^{[нужна цитата ]}

Наиболее частое использование вселенной Гротендика U должен взять U как замена категории всех комплектов. Один говорит, что набор S является U-маленький если S ∈U, и U-большой иначе. Категория U-Набор из всех U-маленькие наборы имеют в качестве объектов все U-малые множества и как морфизмы все функции между этими множествами. И набор объектов, и набор морфизма являются наборами, поэтому становится возможным обсуждать категорию "все" наборы без вызова соответствующих классов. Затем становится возможным определять другие категории в рамках этой новой категории. Например, категория всех U-малые категории - это категория всех категорий, набор объектов и набор морфизма которых U. Тогда обычные аргументы теории множеств применимы к категории всех категорий, и не нужно беспокоиться о том, что случайно заговорят о правильных классах. Поскольку вселенные Гротендика чрезвычайно велики, этого достаточно почти для всех приложений.

Часто, работая с вселенными Гротендика, математики предполагают, что Аксиома Вселенных: "Для любого набора Икс, существует вселенная U такой, что Икс ∈U. "Суть этой аксиомы состоит в том, что любое встреченное множество U-маленький для некоторых U, поэтому любой аргумент, сделанный в общей вселенной Гротендика, может быть применен. Эта аксиома тесно связана с существованием сильно труднодоступные кардиналы.

В теории типов

В некоторых теориях типов, особенно в системах с зависимые типы, сами типы можно рассматривать как термины. Существует тип, называемый вселенной (часто обозначаемый ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ ), элементы которого являются типами. Чтобы избежать парадоксов типа Парадокс Жирара (аналог Парадокс Рассела для теории типов) теории типов часто снабжены счетно бесконечный иерархия таких вселенных, где каждая вселенная является членом следующей.

В теории типов можно рассматривать как минимум два типа вселенных: Вселенные в стиле Рассела (названный в честь Бертран Рассел ) и Вселенные в стиле Тарского (названный в честь Альфред Тарский ).^[2]^[3]^[4] Вселенная в стиле Рассела - это тип, членами которого являются типы.^[2] Вселенная в стиле Тарского - это тип вместе с операцией интерпретации, позволяющей нам рассматривать его термины как типы.^[2]

Смотрите также

Примечания

^ Mac Lane 1998, стр. 22
^ ^а ^б ^c "Вселенная в теории гомотопических типов" в nLab
^ Чжаохуэй Ло, «Заметки о вселенных в теории типов», 2012.
^ Пер Мартин-Лёф, Интуиционистская теория типов, Bibliopolis, 1984, с. 88 и 91.

внешняя ссылка

[1] Mac Lane 1998, стр. 22

[nLab-2] а ^б ^c "Вселенная в теории гомотопических типов" в nLab

[3] Чжаохуэй Ло, «Заметки о вселенных в теории типов», 2012.

[4] Пер Мартин-Лёф, Интуиционистская теория типов, Bibliopolis, 1984, с. 88 и 91.

[1]

[2]

[3]

[4]