Когомологии Чеха - Čech cohomology

А Треугольник Пенроуза изображает нетривиальный элемент первых когомологий кольцо со значениями в группе расстояний от наблюдателя^[1]

В математика, конкретно алгебраическая топология, Когомологии Чеха это когомология теория, основанная на свойствах пересечения открыто охватывает из топологическое пространство. Назван в честь математика. Эдуард Чех.

Мотивация

Позволять Икс - топологическое пространство, и пусть ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ быть открытой крышкой Икс. Позволять ${\displaystyle N({\mathcal {U}})}$ обозначить нерв покрытия. Идея когомологий Чеха состоит в том, что для открытой крышки ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ состоящий из достаточно малых открытых множеств, результирующий симплициальный комплекс ${\displaystyle N({\mathcal {U}})}$ должна быть хорошей комбинаторной моделью для пространства Икс. Для такого покрытия когомологии Чеха Икс определяется как симплициальный когомология нерва. Эту идею можно формализовать с помощью понятия хорошее прикрытие. Однако более общий подход - взять прямой предел групп когомологий нерва над системой всевозможных открытых покрытий Икс, заказан уточнение. Это подход, принятый ниже.

Строительство

Позволять Икс быть топологическое пространство, и разреши ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ быть предпучка из абелевы группы на Икс. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ быть открытая крышка из Икс.

Симплекс

А q-симплекс σ из ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ это упорядоченный набор q+1 набор выбран из ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$, такое, что пересечение всех этих множеств непусто. Это пересечение называется поддерживать σ и обозначается | σ |.

Теперь позвольте ${\displaystyle \sigma =(U_{i})_{i\in \{0,\ldots ,q\}}}$ быть таким q-симплекс. В j-я частичная граница σ определяется как (q−1) -симплекс, полученный удалением j-й набор из σ, то есть:

${\displaystyle \partial _{j}\sigma :=(U_{i})_{i\in \{0,\ldots ,q\}\setminus \{j\}}.}$

В граница σ определяется как знакопеременная сумма частичных границ:

${\displaystyle \partial \sigma :=\sum _{j=0}^{q}(-1)^{j+1}\partial _{j}\sigma }$

рассматривается как элемент свободная абелева группа натянутые на симплексы ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.

Cochain

А q-коцепь из ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ с коэффициентами в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это карта, которая ассоциируется с каждым q-симплекс σ элемент ${\displaystyle {\mathcal {F}}(|\sigma |)}$ и обозначим множество всех q-сцепки из ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ с коэффициентами в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ к ${\displaystyle C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$. ${\displaystyle C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$ является абелевой группой поточечным сложением.

Дифференциальный

Коцепные группы могут быть преобразованы в коцепьевой комплекс ${\displaystyle (C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta )}$ путем определения кограничный оператор ${\displaystyle \delta _{q}:C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to C^{q+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$ к:

${\displaystyle \quad (\delta _{q}f)(\sigma ):=\sum _{j=0}^{q+1}(-1)^{j}\mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}f(\partial _{j}\sigma ),}$

куда ${\displaystyle \mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}}$ это рестрикционный морфизм из ${\displaystyle {\mathcal {F}}(|\partial _{j}\sigma |)}$ к ${\displaystyle {\mathcal {F}}(|\sigma |).}$

Расчет показывает, что ${\displaystyle \delta _{q+1}\circ \delta _{q}=0.}$

В кограница оператор аналогичен внешняя производная из Когомологии де Рама, поэтому его иногда называют дифференциалом коцепьевой комплекс.

Коцикл

А q-cochain называется q-коцикл, если он находится в ядре ${\displaystyle \delta }$, следовательно ${\displaystyle Z^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=\ker(\delta _{q})\subseteq C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$ это набор всех q-коциклы.

Таким образом, a (q-1) -коцепь ${\displaystyle f}$ коцикл, если для всех q-симплексы ${\displaystyle \sigma }$ условие коцикла

${\displaystyle \sum _{j=0}^{q}(-1)^{j}\mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}f(\partial _{j}\sigma )=0}$

держит.

0-коцикл ${\displaystyle f}$ представляет собой собрание локальных разделов ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ удовлетворяющее отношению совместимости на каждом пересечении ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle f(A)|_{A\cap B}=f(B)|_{A\cap B}}$

1-коцикл ${\displaystyle f}$ удовлетворяет для каждого непустого ${\displaystyle U=A\cap B\cap C}$ с ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle f(B\cap C)|_{U}-f(A\cap C)|_{U}+f(A\cap B)|_{U}=0}$

Кограница

А q-cochain называется q-кограничный, если он находится в образе ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle B^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=\mathrm {Im} (\delta _{q-1})\subseteq C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$ это набор всех q-кограницы.

Например, 1-коцепь ${\displaystyle f}$ является 1-кограницей, если существует 0-коцепь ${\displaystyle h}$ такой, что для каждого пересекающегося ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle f(A\cap B)=h(A)|_{A\cap B}-h(B)|_{A\cap B}}$

Когомологии

В Когомологии Чеха из ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ со значениями в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ определяется как когомологии коцепного комплекса ${\displaystyle (C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta )}$. Таким образом qкогомологии Чеха задаются

${\displaystyle {\check {H}}^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=H^{q}((C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta ))=Z^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})/B^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$.

Когомологии Чеха Икс определяется с учетом уточнения открытых крышек. Если ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ это уточнение ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ то есть отображение в когомологиях ${\displaystyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to {\check {H}}^{*}({\mathcal {V}},{\mathcal {F}}).}$ Открытые обложки Икс сформировать направленный набор при уточнении, поэтому приведенная выше карта приводит к прямая система абелевых групп. В Когомологии Чеха из Икс со значениями в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ определяется как прямой предел ${\displaystyle {\check {H}}(X,{\mathcal {F}}):=\varinjlim _{\mathcal {U}}{\check {H}}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$ этой системы.

Когомологии Чеха Икс с коэффициентами в фиксированной абелевой группе А, обозначенный ${\displaystyle {\check {H}}(X;A)}$, определяется как ${\displaystyle {\check {H}}(X,{\mathcal {F}}_{A})}$ куда ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$ это постоянная связка на Икс определяется по А.

Вариант когомологий Чеха, названный числовые когомологии Чеха, определяется так, как указано выше, за исключением того, что все рассматриваемые открытые крышки должны быть исчисляемый: то есть есть разделение единства {ρ_я} так что каждая опора ${\displaystyle \{x\mid \rho _{i}(x)>0\}}$ содержится в каком-то элементе крышки. Если Икс является паракомпакт и Хаусдорф, то числовые когомологии Чеха согласуются с обычными когомологиями Чеха.

Связь с другими теориями когомологий

Если Икс является гомотопический эквивалент к CW комплекс, то когомологии Чеха ${\displaystyle {\check {H}}^{*}(X;A)}$ является естественно изоморфный к особые когомологии ${\displaystyle H^{*}(X;A)\,}$. Если Икс это дифференцируемое многообразие, тогда ${\displaystyle {\check {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )}$ также естественно изоморфен когомологии де Рама; статья о когомологиях де Рама дает краткий обзор этого изоморфизма. Для пространств с менее хорошим поведением когомологии Чеха отличаются от особых когомологий. Например, если Икс это синусоида замкнутого тополога, тогда ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} ,}$ в то время как ${\displaystyle H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.}$

Если Икс - дифференцируемое многообразие и покрытие ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ из Икс это "хорошее прикрытие" (т.е. все наборы U_α находятся стягиваемый в точку, и все конечные пересечения множеств в ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ либо пусты, либо стягиваются в точку), то ${\displaystyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}};\mathbb {R} )}$ изоморфна когомологиям де Рама.

Если Икс компактна по Хаусдорфу, то когомологии Чеха (с коэффициентами в дискретной группе) изоморфны Когомологии Александера-Спаниера.

В алгебраической геометрии

Когомологии Чеха могут быть определены более широко для объектов в сайт C наделен топологией. Это относится, например, к сайту Зарисского или этальному сайту схема Икс. Когомологии Чеха со значениями в некоторых пучок F определяется как

${\displaystyle {\check {H}}^{n}(X,F):=\varinjlim _{\mathcal {U}}{\check {H}}^{n}({\mathcal {U}},F).}$

где копредел пробегает все покрытия (относительно выбранной топологии) Икс. Здесь ${\displaystyle {\check {H}}^{n}({\mathcal {U}},F)}$ определяется, как указано выше, за исключением того, что р-кратные пересечения открытых подмножеств внутри объемлющего топологического пространства заменяются на р-складывать волокнистый продукт

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{\times _{X}^{r}}:={\mathcal {U}}\times _{X}\dots \times _{X}{\mathcal {U}}.}$

Как и в классической ситуации топологических пространств, всегда есть отображение

${\displaystyle {\check {H}}^{n}(X,F)\rightarrow H^{n}(X,F)}$

от когомологий Чеха к когомологии пучков. Это всегда изоморфизм по степеням п = 0 и 1, но может и не быть так в целом. Для Топология Зарисского на Нётерян отдельная схема, Когомологии Чеха и пучка согласуются для любых квазикогерентный пучок. Для этальная топология, две когомологии согласуются для любого этального пучка на Икс, если любое конечное множество точек Икс содержатся в некоторой открытой аффинной подсхеме. Это выполняется, например, если Икс является квазипроективный над аффинная схема.^[2]

Возможное различие между когомологиями Чеха и когомологиями пучков является мотивацией для использования гиперпокрытия: это более общие объекты, чем чех нерв

${\displaystyle N_{X}{\mathcal {U}}:\dots \to {\mathcal {U}}\times _{X}{\mathcal {U}}\times _{X}{\mathcal {U}}\to {\mathcal {U}}\times _{X}{\mathcal {U}}\to {\mathcal {U}}.}$

Гиперпокрытие K_∗ из Икс это симплициальный объект в C, т.е. совокупность объектов K_п вместе с граничными картами и отображениями вырождения. Накладываем связку F к K_∗ дает симплициальная абелева группа F(K_∗) чей п-я группа когомологий обозначается ЧАС^п(F(K_∗)). (Эта группа совпадает с ${\displaystyle {\check {H}}^{n}({\mathcal {U}},F)}$ в случае K равно ${\displaystyle N_{X}{\mathcal {U}}}$.) Тогда можно показать, что существует канонический изоморфизм

${\displaystyle H^{n}(X,F)=\varinjlim _{K_{*}}H^{n}(F(K_{*})),}$

где копредел теперь проходит по всем гиперпокрытиям.^[3]

Примеры

Например, мы можем вычислить когерентные когомологии пучков ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ на проективной линии ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$ используя комплекс Чеха. Использование крышки

${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{1}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [y]),U_{2}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [y^{-1}])\}}$

мы имеем следующие модули из котангенсного пучка

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Omega ^{1}(U_{1})=\mathbb {C} [y]dy\\&\Omega ^{1}(U_{2})=\mathbb {C} \left[y^{-1}\right]dy^{-1}\end{aligned}}}$

Если взять условные обозначения, ${\displaystyle dy^{-1}=-(1/y^{2})dy}$ тогда мы получаем комплекс Чеха

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} [y]dy\oplus \mathbb {C} \left[y^{-1}\right]dy^{-1}{\xrightarrow {d^{0}}}\mathbb {C} \left[y,y^{-1}\right]dy\to 0}$

С ${\displaystyle d^{0}}$ является инъективным и единственным элементом не в образе ${\displaystyle d^{0}}$ является ${\displaystyle y^{-1}dy}$ мы получаем это

${\displaystyle {\begin{aligned}&H^{1}(\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1},\Omega ^{1})\cong \mathbb {C} \\&H^{k}(\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1},\Omega ^{1})\cong 0{\text{ for }}k\neq 1\end{aligned}}}$

Рекомендации

Сноски цитирования

1. Пенроуз, Роджер (1992), "О когомологиях невозможных фигур", Леонардо, 25 (3/4): 245–247, Дои:10.2307/1575844. Перепечатано с Пенроуз, Роджер (1991), "О когомологиях невозможных фигур / La Cohomologie des Figures Impossibles", Структурная топология, 17: 11–16, получено 16 января, 2014
2. Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии, Принстонская математическая серия, 33, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08238-7, МИСТЕР  0559531, Раздел III.2, теорема 2.17
3. Артин, Майкл; Мазур, Барри (1969), Etale гомотопия, Конспект лекций по математике, № 100, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Теорема 8.16

Общие ссылки

• Ботт, Рауль; Лоринг Ту (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-90613-4.
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-79540-0.
• Уэллс, Раймонд (1980). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях.. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90419-0. ISBN  3-540-90419-0. Глава 2 Приложение А