Алгебра Пуассона - Poisson algebra

В математика, а Алгебра Пуассона является ассоциативная алгебра вместе с Кронштейн лжи это также удовлетворяет Закон Лейбница; то есть скобка также является происхождение. Алгебры Пуассона естественным образом возникают в Гамильтонова механика, а также занимают центральное место в изучении квантовые группы. Коллекторы со структурой алгебры Пуассона известны как Пуассоновы многообразия, из которых симплектические многообразия и Группы Пуассона – Ли являются частным случаем. Алгебра названа в честь Симеон Дени Пуассон.

Определение

Алгебра Пуассона - это векторное пространство через поле K оснащен двумя билинейный продукты, ⋅ и {,}, обладающие следующими свойствами:

Продукт ⋅ образует ассоциативный K-алгебра.
Продукт {,}, названный Скобка Пуассона, образует Алгебра Ли, поэтому он антисимметричен и подчиняется Личность Якоби.
Скобка Пуассона действует как происхождение ассоциативного произведения ⋅, так что для любых трех элементов Икс, у и z в алгебре {Икс, у ⋅ z} = {Икс, у} ⋅ z + у ⋅ {Икс, z}.

Последнее свойство часто позволяет дать множество различных формулировок алгебры, как отмечено в примерах ниже.

Примеры

Алгебры Пуассона встречаются в различных условиях.

Симплектические многообразия

Пространство реальных ценностей гладкие функции через симплектическое многообразие образует алгебру Пуассона. На симплектическом многообразии любая вещественнозначная функция ЧАС на многообразии индуцирует векторное поле Икс_ЧАС, то Гамильтоново векторное поле. Тогда для любых двух гладких функций F и грамм над симплектическим многообразием скобку Пуассона можно определить как:

{ Displaystyle {F, G } = dG (X_ {F}) = X_ {F} (G) ,}

.

Это определение совместимо отчасти потому, что скобка Пуассона действует как вывод. Эквивалентно, можно определить скобку {,} как

{ Displaystyle X _ { {F, G }} = [X_ {F}, X_ {G}] ,}

где Производная Ли. Когда симплектическое многообразие р^2п со стандартной симплектической структурой, то скобка Пуассона принимает хорошо известный вид

{ displaystyle {F, G } = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial F} { partial q_ {i}}} { frac { partial G} { partial p_ {i}}} - { frac { partial F} { partial p_ {i}}} { frac { partial G} { partial q_ {i}}}.}

Аналогичные соображения применимы к Пуассоновы многообразия, которые обобщают симплектические многообразия, позволяя симплектическому бивектору обращаться в нуль на некотором (или, тривиально, на всех) многообразии.

Алгебры Ли

В тензорная алгебра из Алгебра Ли имеет структуру алгебры Пуассона. Очень явная конструкция этого дана в статье о универсальные обертывающие алгебры.

Строительство продолжается, сначала возводя тензорная алгебра основного векторного пространства алгебры Ли. Тензорная алгебра - это просто несвязный союз (прямая сумма ⊕) всех тензорных произведений этого векторного пространства. Затем можно показать, что скобка Ли может быть последовательно поднята до всей тензорной алгебры: она подчиняется как правилу произведения, так и тождеству Якоби скобки Пуассона и, таким образом, является скобкой Пуассона при поднятии. Тогда пара произведений {,} и ⊗ образует алгебру Пуассона. Заметим, что ⊗ не коммутативно и не антикоммутативно: оно просто ассоциативно.

Таким образом, имеется общее утверждение, что тензорная алгебра любой алгебры Ли является алгеброй Пуассона. Универсальная обертывающая алгебра получается путем модификации структуры алгебры Пуассона.

Ассоциативные алгебры

Если А является ассоциативная алгебра, а затем наложив коммутатор [Икс,у]=ху−yx превращает его в алгебру Пуассона (а значит, и в алгебру Ли) А_L. Обратите внимание, что в результате А_L не следует путать с конструкцией тензорной алгебры, описанной в предыдущем разделе. При желании можно было бы также применить эту конструкцию, но это дало бы другую алгебру Пуассона, гораздо более крупную.

Алгебры вершинных операторов

Для алгебра вершинных операторов (V, Y, ω, 1), космос V / C₂(V) алгебра Пуассона с {а, б} = а₀б и а ⋅ б = а₋₁б. Для некоторых вертексных операторных алгебр эти пуассоновы алгебры конечномерны.