Формула квантования Концевича - Kontsevich quantization formula

В математике Формула квантования Концевича описывает, как построить обобщенный ★ -продукт операторная алгебра из заданного произвольного конечномерного Пуассоново многообразие. Эта операторная алгебра составляет квантование деформации соответствующей алгебры Пуассона. Это связано с Максим Концевич.^[1][2]

Деформационное квантование алгебры Пуассона

Учитывая Алгебра Пуассона (А, {⋅, ⋅}), а деформация квантование - это ассоциативный унитальное произведение ★ на алгебре формальных степенных рядов в час, А[[час]]при соблюдении следующих двух аксиом,

${\displaystyle {\begin{aligned}f*g&=fg+{\mathcal {O}}(\hbar )\\{}[f,g]&=f*g-g*f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}}(\hbar ^{2})\end{aligned}}}$

Если бы было дано пуассоново многообразие (M, {⋅, ⋅}), кроме того, можно было бы спросить, что

${\displaystyle f*g=fg+\sum _{k=1}^{\infty }\hbar ^{k}B_{k}(f\otimes g),}$

где B_k линейные бидифференциальные операторы степени не более k.

Две деформации называются эквивалентными, если они связаны калибровочным преобразованием типа

${\displaystyle {\begin{cases}D:A[[\hbar ]]\to A[[\hbar ]]\\\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}f_{k}\mapsto \sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}f_{k}+\sum _{n\geq 1,k\geq 0}D_{n}(f_{k})\hbar ^{n+k}\end{cases}}}$

куда D_п являются дифференциальными операторами порядка не выше п. Соответствующее индуцированное ★ -произведение ★ ′ тогда будет

${\displaystyle f\,{*}'\,g=D\left(\left(D^{-1}f\right)*\left(D^{-1}g\right)\right).}$

В качестве архетипического примера можно рассмотреть Groenewold оригинальный ★ -продукт "Мойал – Вейль".

Графы Концевича

Граф Концевича - это простой ориентированный граф без петель на 2 внешних вершинах, помеченных ж и грамм; и п внутренние вершины, помеченные Π. От каждой внутренней вершины берут начало два ребра. Все (классы эквивалентности) графов с п внутренние вершины накапливаются в множестве грамм_п(2).

Примером двух внутренних вершин является следующий граф,

Связанный двухдифференциальный оператор

Связано с каждым графом Γ, есть двухдифференциальный оператор B_Γ( ж, грамм) определяется следующим образом. Для каждого ребра есть частная производная по символу целевой вершины. Он сокращается с соответствующим индексом исходного символа. Срок для графика Γ является произведением всех его символов вместе с их частными производными. Здесь ж и грамм обозначают гладкие функции на многообразии, а Π это Бивектор Пуассона пуассонова многообразия.

Термин для примера графа:

${\displaystyle \Pi ^{i_{2}j_{2}}\partial _{i_{2}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\partial _{i_{1}}f\,\partial _{j_{1}}\partial _{j_{2}}g.}$

Связанный вес

Для сложения этих операторов двумерного дифференциала есть веса ш_Γ графика Γ. Прежде всего, каждому графу соответствует кратность м(Γ) который считает, сколько эквивалентных конфигураций существует для одного графа. Правило состоит в том, что сумма кратностей для всех графов с п внутренние вершины (п(п + 1))^п. Приведенный выше пример графика имеет кратность м(Γ) = 8. Для этого полезно пронумеровать внутренние вершины от 1 до п.

Чтобы вычислить вес, мы должны интегрировать произведение угла в верхняя полуплоскость, ЧАС, следующее. Верхняя полуплоскость ЧАС ⊂ ℂ, наделенный метрика

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}};}$

и для двух точек z, ш ∈ ЧАС с z ≠ ш, измеряем угол φ между геодезической от z к я∞ и из z к ш против часовой стрелки. Это

${\displaystyle \phi (z,w)={\frac {1}{2i}}\log {\frac {(z-w)(z-{\bar {w}})}{({\bar {z}}-w)({\bar {z}}-{\bar {w}})}}.}$

Область интеграции C_п(ЧАС) космос

${\displaystyle C_{n}(H):=\{(u_{1},\dots ,u_{n})\in H^{n}:u_{i}\neq u_{j}\forall i\neq j\}.}$

Формула сумм

${\displaystyle w_{\Gamma }:={\frac {m(\Gamma )}{(2\pi )^{2n}n!}}\int _{C_{n}(H)}\bigwedge _{j=1}^{n}\mathrm {d} \phi (u_{j},u_{t1(j)})\wedge \mathrm {d} \phi (u_{j},u_{t2(j)})}$,

куда т1(j) и т2(j) - первая и вторая целевая вершина внутренней вершины j. Вершины ж и грамм находятся в фиксированных позициях 0 и 1 в ЧАС.

Формула

Учитывая три приведенных выше определения, формула Концевича для звездного произведения теперь имеет вид

${\displaystyle f*g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\sum _{\Gamma \in G_{n}(2)}w_{\Gamma }B_{\Gamma }(f\otimes g).}$

Явная формула до второго порядка

Обеспечивая ассоциативность ★ -продукта, несложно напрямую проверить, что формула Концевича должна приводиться ко второму порядку по час, чтобы просто

${\displaystyle f*g=fg+{\tfrac {i\hbar }{2}}\Pi ^{ij}\partial _{i}f\,\partial _{j}g-{\tfrac {\hbar ^{2}}{8}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}\partial _{i_{1}}\,\partial _{i_{2}}f\partial _{j_{1}}\,\partial _{j_{2}}g-{\tfrac {\hbar ^{2}}{12}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\partial _{j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}(\partial _{i_{1}}\partial _{i_{2}}f\,\partial _{j_{2}}g-\partial _{i_{2}}f\,\partial _{i_{1}}\partial _{j_{2}}g)+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})}$

Рекомендации

1. М. Концевич (2003), Деформационное квантование пуассоновских многообразий., Письма по математической физике 66С. 157–216.
2. Каттанео, Альберто и Фельдер, Джованни (2000). "Интегральный по траекториям подход к формуле квантования Концевича". Коммуникации по математической физике. 212 (3): 591. arXiv:математика / 9902090. Bibcode:2000CMaPh.212..591C. Дои:10.1007 / s002200000229.