Квадратичная алгебра - Quadratic algebra - Wikipedia

В математика, а квадратичная алгебра это фильтрованная алгебра порождаемые элементами первой степени с определяющими отношениями степени 2. На это указывал Юрий Манин что такие алгебры играют важную роль в теории квантовые группы. Самый важный класс градуированных квадратичных алгебр - это Кошуля алгебры.

Определение

А градуированная квадратичная алгебра А определяется векторное пространство генераторов V = А₁ и подпространство однородных квадратичных соотношений S ⊂ V ⊗ V (Полищук и Посицельский 2005, п. 6). Таким образом

${\displaystyle A=T(V)/\langle S\rangle }$

и наследует свою оценку от тензорная алгебра Т(V).

Если вместо этого подпространство отношений может содержать также неоднородные элементы степени 2, т.е. S ⊂ k ⊕ V ⊕ (V ⊗ V) эта конструкция приводит к фильтрованная квадратичная алгебра.

Градуированная квадратичная алгебра А как указано выше допускает квадратичный дуальный: квадратичная алгебра, порожденная V^* и с квадратичными соотношениями, образующими ортогональное дополнение к S в V^* ⊗ V^*.

Примеры

• Тензорная алгебра, симметрическая алгебра и внешняя алгебра конечномерного векторное пространство являются градуированными квадратичными (по сути, кошулевскими) алгебрами.
• Универсальная обертывающая алгебра конечномерного Алгебра Ли является фильтрованной квадратичной алгеброй.

Рекомендации

• Полищук Александр; Посицельский, Леонид (2005), Квадратичные алгебры, Серия университетских лекций, 37, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3834-1, МИСТЕР  2177131
• Мазорчук, Владимир; Овсиенко, Серж; Строппель, Катарина (2009), «Квадратичные двойники, двойственные функторы Кошуля и приложения», Пер. Амер. Математика. Soc., 361 (3): 1129–1172, arXiv:math.RT / 0603475, Дои:10.1090 / S0002-9947-08-04539-X