Наследственное кольцо - Hereditary ring

В математика, особенно в районе абстрактная алгебра известный как теория модулей, а звенеть р называется наследственный я упал подмодули из проективные модули над р снова проективны. Если это требуется только для конечно порожденный подмодули, это называется полунаследственный.

Для некоммутативного кольца р, условия левый потомственный и левый полунаследственный и их правосторонние версии используются, чтобы различать свойство на одной стороне кольца. Чтобы быть (полу) наследственными слева, все (конечно порожденные) подмодули проективных оставили р-модули должны быть проективными, и чтобы быть (полу) наследственными справа, все (конечно порожденные) подмодули проективных правых подмодулей должны быть проективными. Кольцо может быть левым (полу) наследственным, но не право (полу) наследственным, и наоборот.

Эквивалентные определения

• Кольцо р является (полу) наследственным слева тогда и только тогда, когда все (конечно порожденный ) левые идеалы из р являются проективными модулями.^[1][2]
• Кольцо р наследственно слева тогда и только тогда, когда все левые модули имеют проективные резолюции длины не более 1. Это равносильно утверждению, что левая глобальное измерение не превосходит 1. Следовательно, обычное производные функторы Такие как ${displaystyle mathrm {Ext} _{R}^{i}}$ и ${displaystyle mathrm {Tor} _{i}^{R}}$ тривиальны для ${displaystyle i>1}$.

Примеры

• Полупростые кольца являются левыми и правыми наследственными посредством эквивалентных определений: все левые и правые идеалы являются слагаемыми р, а значит, проективны. Аналогичным образом, в регулярное кольцо фон Неймана каждый конечно порожденный левый и правый идеал является прямым слагаемым р, поэтому регулярные кольца фон Неймана полунаследственны слева и справа.
• Для любого ненулевого элемента Икс в домен р, ${displaystyle Rcong xR}$ через карту ${displaystyle rmapsto xr}$. Следовательно, в любой области главный правый идеал свободен, а значит, проективен. Это отражает тот факт, что домены правильные Кольца Rickart. Отсюда следует, что если р это право Безу домен, так что конечно порожденные правые идеалы являются главными, то р имеет все конечно порожденные правые идеалы проективны, и, следовательно, р полунаследственно справа. Наконец, если р считается область главного правого идеала, то все правые идеалы проективны, и р право наследственное.
• Коммутативный наследственный область целостности называется Дедекиндский домен. Коммутативная полунаследственная область целостности называется Прюфер домен.
• Важным примером (левого) наследственного кольца является алгебра путей из колчан. Это следствие существования стандартной резольвенты (имеющей длину 1) для модулей над алгеброй путей.
• Кольцо треугольных матриц ${displaystyle {egin{bmatrix}Z&Q�&Qend{bmatrix}}}$ является наследственным справа и полунаследственным слева, но не наследственным слева.
• Если S является регулярным кольцом фон Неймана с идеалом я которое не является прямым слагаемым, то кольцо треугольных матриц ${displaystyle {egin{bmatrix}S/I&S/I�&Send{bmatrix}}}$ является полунаследственным слева, но не полунаследственным справа.

Характеристики

• Для левого наследственного кольца р, каждый подмодуль свободной левой р-модуль изоморфен прямой сумме левых идеалов р и, следовательно, проективен.^[2]

Рекомендации

1. Лам 1999, п. 42
2. Райнер 2003, стр. 27–29

• Кроули-Боеви, Уильям, Примечания к изображению колчана (PDF)
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98428-5, МИСТЕР  1653294, Zbl  0911.16001
• Осборн, М. Скотт (2000), Базовая гомологическая алгебра, Тексты для выпускников по математике, 196, Springer-Verlag, ISBN  0-387-98934-X, Zbl  0948.18001
• Райнер, И. (2003), Максимальные заказы, Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 28, Oxford University Press, ISBN  0-19-852673-3, Zbl  1024.16008
• Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру, Кембриджские исследования по высшей математике, 38, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-43500-5, Zbl  0797.18001