Прюфер домен - Prüfer domain

В математика, а Прюфер домен это тип коммутативное кольцо это обобщает Дедекиндовские домены в не-Нётерян контекст. Эти кольца обладают красивым идеальный и модуль теоретические свойства дедекиндовских областей, но обычно только для конечно порожденные модули. Домены Prüfer названы в честь Немецкий математик Хайнц Прюфер.

Примеры

Кольцо целые функции на открытой комплексной плоскости C образуют домен Прюфера. Кольцо целочисленные многочлены с Рациональное число коэффициентов является прюферовой областью, хотя кольцо Z[Икс] целочисленных многочленов не является, (Наркевич 1995, п. 56). Хотя каждый номер кольцо это Дедекиндский домен, их союз, кольцо целых алгебраических чисел, является доменом Прюфера. Так же, как домен Дедекинда является локальным кольцо дискретной оценки, прюферский домен локально оценочное кольцо, так что домены Прюфера действуют как нётеровы аналоги дедекиндовских доменов. Действительно, область, которая является прямой предел подстрок, которые являются доменами Прюфера, является доменом Прюфера, (Fuchs & Salce 2001 С. 93–94).

Многие домены Prüfer также Bézout домены, то есть не только конечно порожденные идеалы проективный они даже свободный (то есть, главный ). Например, кольцо аналитических функций на любом некомпактном Риманова поверхность - область Безу, (Хельмер 1940 ), а кольцо целых алгебраических чисел - Безу.

Определения

А Прюфер домен это полунаследственный область целостности. Аналогичным образом, домен Прюфера можно определить как коммутативное кольцо без делители нуля в котором каждый ненулевой конечно порожденный идеальный обратимо. Известно много различных характеристик доменов Прюфера. Бурбаки перечисляет их четырнадцать, (Гилмер 1972 ) насчитывается около сорока, а (Фонтана, Хукаба и Папик, 1997 г., п. 2) открыть девятью.

В качестве примера, следующие условия на область целостности р эквивалентны р прюферова область, т.е. каждый конечно порожденный идеал р является проективный:

Идеальная арифметика

Каждый ненулевой конечно порожденный идеал я из р является обратимый: т.е. ${ Displaystyle I cdot I ^ {- 1} = R}$ , куда ${ displaystyle I ^ {- 1} = {r in q (R): rI substeq R }}$ и ${ Displaystyle q (R)}$ это поле дробей из р. Эквивалентно, любой ненулевой идеал, порожденный двумя элементами, обратим.
Для любых (конечно порожденных) ненулевых идеалов я, J, K из р, выполняется следующее свойство дистрибутивности:

{ Displaystyle I cap (J + K) = (I cap J) + (I cap K).}

Для любых (конечно порожденных) идеалов я, J, K из р, выполняется следующее свойство дистрибутивности:

{ Displaystyle I (J cap K) = IJ cap IK.}

Для любых (конечно порожденных) ненулевых идеалов я, J из р, выполняется следующее свойство:

{ Displaystyle (I + J) (I cap J) = IJ.}

Для любых конечно порожденных идеалов я, J, K из р, если IJ = IK тогда J = K или же я = 0.

Локализации

Для каждого главный идеал п из р, то локализация р_п из р в п это область оценки.
Для каждого максимальный идеал м в р, локализация р_м из р в м это область оценки.
р целозамкнуто и каждый исключение из р (то есть кольцо, заключенное между р и это поле дробей ) является пересечением локализаций р

Плоскостность

Каждый без кручения р-модуль плоский.
Каждый без кручения р-модуль плоский.
Каждый идеал р плоский
Каждое превышение р является р-плоский
Каждый подмодуль квартиры р-модуль плоский.
Если M и N без кручения р-модули, то их тензорное произведение M ⊗_р N без кручения.
Если я и J два идеала р тогда я ⊗_р J без кручения.
В торсионный подмодуль каждого конечно порожденный модуль это прямое слагаемое, (Капланский 1960 ).

Интегральное закрытие

Каждое превышение р является целиком закрытый
р целозамкнуто и существует некоторое натуральное число п так что для каждого а, б в р надо (а,б)^п = (а^п,б^п).
р целозамкнуто, и каждый элемент поля частных K из р является корнем многочлена от р[Икс], коэффициенты которого порождают р как р-модуль, (Гилмер и Хоффманн 1975, п. 81).

Характеристики

Коммутативное кольцо - это Дедекиндский домен тогда и только тогда, когда это домен Прюфера и Нётерян.
Хотя Прюферские домены не обязательно должны быть нётерскими, они должны быть последовательный, поскольку конечно порожденные проективные модули конечно связанный.
Хотя идеалы дедекиндовских доменов могут быть порождены двумя элементами, для каждого положительного целого числа п, существуют области Прюфера с конечно порожденными идеалами, которые не могут быть порождены менее чем п элементы, (Лебедь 1984 ). Однако конечно порожденные максимальные идеалы прюферовых областей двупорождены, (Фонтана, Хукаба и Папик, 1997 г., п. 31).
Если р прюферский домен, а K это его поле дробей, то любое кольцо S такой, что р ⊆ S ⊆ K это прюферский домен.
Если р это прюферский домен, K это его поле дробей, и L является поле алгебраических расширений из K, то интегральное замыкание р в L прюферский домен, (Fuchs & Salce 2001, п. 93).
Конечно порожденный модуль M над доменом Прюфера проективный тогда и только тогда, когда он без кручения. Фактически, это свойство характеризует прюферские домены.
(Теорема Гилмера – Хоффмана) Предположим, что р является областью целостности, K его поле дробей, и S это целостное закрытие из р в K. потом S является прюферовой областью тогда и только тогда, когда каждый элемент K является корнем многочлен в р[Икс] хотя бы один из коэффициентов единица измерения из р, (Гилмер и Хоффманн 1975, Теорема 2).
Коммутативная область является дедекиндовской областью тогда и только тогда, когда подмодуль кручения является прямым слагаемым всякий раз, когда он ограничен (M ограничено означает rM = 0 для некоторых р в р), (Чейз 1960 ). Точно так же коммутативная область является областью Прюфера тогда и только тогда, когда подмодуль кручения является прямым слагаемым всякий раз, когда он конечно порожден, (Капланский 1960 ).

Обобщения

В более общем плане Прюфер кольцо является коммутативным кольцом, в котором каждое не-нуль конечно порожденный идеал, состоящий только из неделителей нуля, обратим (то есть проективен).

Коммутативное кольцо называется арифметический если для каждого максимальный идеал м в р, локализация р_м из р в м это цепное кольцо. Согласно этому определению, арифметическая область - это область Прюфера.

Некоммутативные правые или левые полунаследственные области также могут рассматриваться как обобщения областей Прюфера.

Смотрите также

Разделенный домен