Геометрически правильное кольцо - Geometrically regular ring

В алгебраическая геометрия, а геометрически правильное кольцо это Кольцо Нётериана через поле это остается обычное кольцо после любого конечного расширения базового поля. Аналогично определяются геометрически регулярные схемы. В старой терминологии точки с обычным местные кольца были позваны простые моменты, а точки с геометрически правильными локальными кольцами назывались абсолютно простые моменты. Над полями, имеющими характеристику 0, или алгебраически замкнутыми, или в более общем смысле идеально, геометрически правильные кольца - это то же самое, что и правильные кольца. Геометрическая закономерность возникла, когда Клод Шевалле и Андре Вайль указал на Оскар Зариски  (1947 ), что над несовершенными полями Критерий якобиана для простой точки алгебраического многообразия не эквивалентно условию регулярности локального кольца.

Нётерово локальное кольцо, содержащее поле k геометрически регулярна над k если и только если это формально гладкий надk.

Примеры

Зарисский (1947) привел следующие два примера локальных колец, регулярных, но не геометрически правильных.

  1. Предположим, что k поле характеристики п > 0 и а является элементом k это не п-я мощность. Тогда каждая точка кривой Иксп + уп = а регулярно. Однако над полем k[а1/п] каждая точка кривой особая. Таким образом, точки этой кривой правильные, но не геометрически правильные.
  2. В предыдущем примере уравнение, определяющее кривую, становится приводимым на конечном расширении основного поля. Это не настоящая причина явления: Шевалле указал Зарискому, что кривая Иксп + у2 = а (с обозначениями из предыдущего примера) абсолютно неприводима, но все же имеет точку, которая является регулярной, но не геометрически правильной.

Смотрите также

Рекомендации

  • Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 24. Дои:10.1007 / bf02684322. МИСТЕР  0199181.
  • Зариски, Оскар (1947), «Понятие простой точки абстрактного алгебраического многообразия», Труды Американского математического общества, 62: 1–52, Дои:10.1090 / s0002-9947-1947-0021694-1, JSTOR  1990628, МИСТЕР  0021694