Теоретико-схемное пересечение - Scheme-theoretic intersection - Wikipedia

В алгебраическая геометрия, то теоретико-схемное пересечение закрытых подсхем Икс, Y схемы W является ${\displaystyle X\times _{W}Y}$, волокнистый продукт замкнутых погружений ${\displaystyle X\hookrightarrow W,Y\hookrightarrow W}$. Обозначается он ${\displaystyle X\cap Y}$.

Локально, W дается как ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ для кольца р и Икс, Y в качестве ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/I),\operatorname {Spec} (R/J)}$ для некоторых идеалов я, J. Таким образом, локально пересечение ${\displaystyle X\cap Y}$ дается как

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/(I+J)).}$

Здесь мы использовали ${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J\simeq R/(I+J)}$ (об этом тождестве см. тензорное произведение модулей # Примеры.)

Пример: Позволять ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ быть проективное разнообразие с однородным координатным кольцом S / I, куда S кольцо многочленов. Если ${\displaystyle H=\{f=0\}\subset \mathbb {P} ^{n}}$ - гиперповерхность, заданная некоторым однородным полиномом ж в S, тогда

${\displaystyle X\cap H=\operatorname {Proj} (S/(I,f)).}$

Если ж линейна (deg = 1), называется сечение гиперплоскости. Смотрите также: Теорема Бертини.

Итак, теоретико-схемное пересечение не может быть правильный пересечение, скажем, с точки зрения теория пересечений. Например,^[1] позволять ${\displaystyle W=\operatorname {Spec} (k[x,y,z,w])}$ = аффинное 4-пространство и Икс, Y замкнутые подсхемы, определяемые идеалами ${\displaystyle (x,y)\cap (z,w)}$ и ${\displaystyle (x-z,y-w)}$. С Икс представляет собой объединение двух плоскостей, каждая из которых пересекает Y в нуле с кратностью единица в силу линейности кратность пересечения, мы ожидаем Икс и Y пересекаются в начале координат с кратностью два. С другой стороны, видно теоретико-схемное пересечение ${\displaystyle X\cap Y}$ состоит из начала с кратностью три. То есть теоретико-схемная кратность пересечения может отличаться от теоретико-схемной кратности пересечения, последняя задается формулой Формула Тора Серра. Устранение этого несоответствия - одна из отправных точек для производная алгебраическая геометрия, цель которого - ввести понятие производное пересечение.

Правильный перекресток

Позволять Икс быть регулярной схемой и V, W замкнутые интегральные подсхемы. Тогда неприводимая компонента п из ${\displaystyle V\cap W:=V\times _{X}W}$ называется правильный если неравенство (из-за Серра):

${\displaystyle \operatorname {codim} (P,X)\leq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X)}$

это равенство.^[2] Перекресток ${\displaystyle V\cap W}$ является собственным, если каждая его неприводимая компонента является собственной (в частности, правильным считается пустое пересечение). алгебраические циклы говорят, что они правильно пересекаются, если многообразия в циклах правильно пересекаются.

Например, два дивизора (цикла коразмерности один) на гладком многообразии правильно пересекаются тогда и только тогда, когда у них нет общей неприводимой компоненты. Лемма Чоу о движении (на гладком многообразии) говорит, что пересечение можно сделать правильным после замены дивизора подходящим линейно эквивалентным дивизором (ср. Теорема Клеймана.)

Приведенное выше неравенство Серра может не работать в общем случае для нерегулярной внешней схемы. Например,^[3] позволять ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} k[x,y,z,w]/(xz-yw),\,V=V({\overline {x}},{\overline {y}}),\,W=V({\overline {z}},{\overline {w}})}$. потом ${\displaystyle V,W}$ имеют коразмерность один, а ${\displaystyle V\cap W}$ имеет коразмерность три.

Некоторые авторы, такие как Блох, определяют правильное пересечение, не предполагая Икс является регулярным: в обозначениях, как указано выше, компонент п правильно, если

${\displaystyle \operatorname {codim} (P,X)\geq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X).}$

Смотрите также

• полное пересечение
• Гомоморфизм Гизина

Рекомендации

1. Hartshorne, Приложение A: Пример 1.1.1. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHartshorne (помощь)
2. Фултон, § 20.4. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
3. Фултон, Пример 7.1.6. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)

• Уильям Фултон. (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, МИСТЕР  1644323
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157