Гомоморфизм Гизина - Gysin homomorphism

В области математика известный как алгебраическая топология, то Последовательность гизина это длинная точная последовательность который связывает классы когомологий из базовое пространство, волокно и общая площадь из связка сфер. Последовательность Гизина - полезный инструмент для расчета кольца когомологий Учитывая Класс Эйлера пучка сфер и наоборот. Он был представлен Гайсин  (1942 ) и обобщается Спектральная последовательность Серра.

Определение

Рассмотрим расслоение сфер, ориентированное слоями, с полным пространством E, базовое пространство M, волокно S^k и карта проекции${displaystyle pi }$:${displaystyle S^{k}hookrightarrow E{stackrel {pi }{longrightarrow }}M.}$

Любое такое расслоение определяет степень k + 1 класс когомологий е называется классом Эйлера расслоения.

Когомологии де Рама

Обсуждение последовательности наиболее наглядно в когомологии де Рама. Здесь классы когомологий представлены дифференциальные формы, так что е можно представить как (k + 1) -форма.

Карта проекции ${displaystyle pi }$ индуцирует отображение в когомологиях ${displaystyle H^{ast }}$ назвал его откат ${displaystyle pi ^{ast }}$

${displaystyle pi ^{*}:H^{*}(M)longrightarrow H^{*}(E).,}$

В случае расслоения также можно определить продвигать карта ${displaystyle pi _{ast }}$

${displaystyle pi _{*}:H^{*}(E)longrightarrow H^{*-k}(M)}$

который действует послойное интегрирование дифференциальных форм на ориентированной сфере - обратите внимание, что эта карта идет "неправильным путем": это ковариантная карта между объектами, связанными с контравариантным функтором.

Гайсин доказал, что следующая длинная точная последовательность

${displaystyle cdots longrightarrow H^{n}(E){stackrel {pi _{*}}{longrightarrow }}H^{n-k}(M){stackrel {e_{wedge }}{longrightarrow }}H^{n+1}(M){stackrel {pi ^{*}}{longrightarrow }}H^{n+1}(E)longrightarrow cdots }$

куда ${displaystyle e_{wedge }}$ это клин дифференциальной формы с классом Эйлерае.

Интегральные когомологии

Последовательность Гизина - это длинная точная последовательность не только для когомологии де Рама дифференциальных форм, но и для когомология с интегральными коэффициентами. В интегральном случае необходимо заменить изделие клина на Класс Эйлера с чашка продукта, и карта продвижения вперед больше не соответствует интеграции.

Гомоморфизм Гизина в алгебраической геометрии

Позволять я: Икс → Y быть (закрытым) регулярное вложение коразмерности d, Y' → Y морфизм и я': Икс' = Икс ×_Y Y' → Y' индуцированное отображение. Позволять N быть откатом нормальной связки я к Икс'. Тогда уточненный гомоморфизм Гизина я^! относится к составу

${displaystyle i^{!}:A_{k}(Y'){overset {sigma }{longrightarrow }}A_{k}(N){overset { ext{Gysin}}{longrightarrow }}A_{k-d}(X')}$

куда

• σ - это гомоморфизм специализации; который отправляет k-мерное подмногообразие V к нормальный конус до пересечения V и Икс' в V. Результат заключается в N через ${displaystyle C_{X'/Y'}hookrightarrow N}$.
• Второе отображение - это (обычный) гомоморфизм Гизина, индуцированный вложением нулевого сечения ${displaystyle X'hookrightarrow N}$.

Гомоморфизм я^! кодирует продукт пересечения в теория пересечений в котором либо показывает, либо определяет произведение пересечений Икс и V в качестве:^[1] ${displaystyle Xcdot V=i^{!}[V].}$

Пример: Данное векторное расслоение E, позволять s: Икс → E быть частью E. Потом, когда s это регулярный раздел, ${displaystyle s^{!}[X]}$ класс нулевого геометрического s, куда [Икс] это фундаментальный класс из Икс.^[2]

Смотрите также

• Логарифмическая форма
• Последовательность Ванга

Примечания

1. Фултон 1998, Пример 6.2.1 ..
2. Фултон 1998, Предложение 14.1. (с).

Источники

• Ботт, Рауль; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии, Тексты для выпускников по математике, Springer-Verlag, ISBN  978-038790613-3
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-1700-8, ISBN  978-3-540-62046-4, МИСТЕР  1644323
• Гайсин, Вернер (1942), "Zur Homologietheorie der Abbildungen und Faserungen von Mannigfaltigkeiten", Комментарии Mathematici Helvetici, 14: 61–122, Дои:10.1007 / bf02565612, ISSN  0010-2571, МИСТЕР  0006511