Теорема Крулля о главном идеале - Krulls principal ideal theorem - Wikipedia

В коммутативная алгебра, Теорема Крулля о главном идеале, названный в честь Вольфганг Круль (1899–1971), дает оценку высота из главный идеал в коммутативном Кольцо Нётериана. Иногда теорему называют ее немецким названием: Krulls Hautilealsatz (Satz означает «предложение» или «теорема»).

Именно, если р является нётеровым кольцом и я главный, собственный идеал р, то каждый минимальный простой идеал над я имеет высоту не более одного.

Эту теорему можно обобщить на идеалы которые не являются принципиальными, и результат часто называют Теорема Крулля о высоте. Это говорит о том, что если р является нётеровым кольцом и я является собственным идеалом, порожденным п элементы р, то каждое минимальное простое число над я имеет высоту не более п. Верно и обратное: если простой идеал имеет высоту п, то это минимальный простой идеал над идеалом, порожденным п элементы.^[1]

Теорема о главном идеале и обобщение, теорема о высоте, следуют из основная теорема теории размерности в коммутативной алгебре (прямые доказательства см. также ниже). Бурбаки Коммутативная алгебра дает прямое доказательство. Капланского Коммутативные кольца включает доказательство из-за Дэвид Рис.

Доказательства

Доказательство теоремы о главном идеале

Позволять ${\displaystyle A}$ быть нётеровым кольцом, Икс его элемент и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ минимальное простое число над Икс. Замена А по локализации ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$, можно предположить ${\displaystyle A}$ локально с максимальным идеалом ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subsetneq {\mathfrak {p}}}$ - строго меньший простой идеал, и пусть ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}={\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}\cap A}$, который является ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$-первичный идеал называется п-го символическая сила из ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$. Он образует нисходящую цепочку идеалов ${\displaystyle A\supset {\mathfrak {q}}\supset {\mathfrak {q}}^{(2)}\supset {\mathfrak {q}}^{(3)}\supset \cdots }$. Таким образом, существует нисходящая цепочка идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)/(x)}$ в ринге ${\displaystyle {\overline {A}}=A/(x)}$. Теперь радикальный ${\displaystyle {\sqrt {(x)}}}$ является пересечением всех минимальных простых идеалов, содержащих ${\displaystyle x}$; ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ среди них. Но ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ является единственным максимальным идеалом и, следовательно, ${\displaystyle {\sqrt {(x)}}={\mathfrak {p}}}$. С ${\displaystyle (x)}$ содержит некоторую силу своего радикала, отсюда следует, что ${\displaystyle {\overline {A}}}$ является артиновым кольцом, поэтому цепь ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)/(x)}$ стабилизируется и поэтому есть некоторые п такой, что ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)={\mathfrak {q}}^{(n+1)}+(x)}$. Это подразумевает:

${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}={\mathfrak {q}}^{(n+1)}+x\,{\mathfrak {q}}^{(n)}}$,

от факта ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}}$ является ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$-первичный (если ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}}$, тогда ${\displaystyle y=z+ax}$ с ${\displaystyle z\in {\mathfrak {q}}^{(n+1)}}$ и ${\displaystyle a\in A}$. С ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ минимально над ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x\not \in {\mathfrak {q}}}$ и так ${\displaystyle ax\in {\mathfrak {q}}^{(n)}}$ подразумевает ${\displaystyle a}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}}$.) Теперь, разделив обе части на ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n+1)}}$ дает ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}=(x){\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}}$. Затем по Лемма Накаямы (что говорит о конечно порожденном модуле M равно нулю, если ${\displaystyle M=IM}$ для некоторого идеала я содержится в радикале), получаем ${\displaystyle M={\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}=0}$; т.е. ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}={\mathfrak {q}}^{(n+1)}}$ и поэтому ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}={\mathfrak {q}}^{n+1}A_{\mathfrak {q}}}$. Снова используя лемму Накаямы, ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}=0}$ и ${\displaystyle A_{\mathfrak {q}}}$ - артиново кольцо; таким образом, высота ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ равно нулю. ${\displaystyle \square }$

Доказательство теоремы о высоте

Теорема Крулля о высоте может быть доказана как следствие теоремы о главном идеале индукцией по числу элементов. Позволять ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ быть элементами в ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ минимальное простое число над ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subsetneq {\mathfrak {p}}}$ простой идеал такой, что строго между ними нет простого. Замена ${\displaystyle A}$ по локализации ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ мы можем предположить ${\displaystyle (A,{\mathfrak {p}})}$ - локальное кольцо; обратите внимание, что тогда мы имеем ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {(x_{1},\dots ,x_{n})}}}$. По минимальности ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ не может содержать все ${\displaystyle x_{i}}$; переименовать индексы, скажем, ${\displaystyle x_{1}\not \in {\mathfrak {q}}}$. Поскольку каждый простой идеал, содержащий ${\displaystyle {\mathfrak {q}}+(x_{1})}$ между ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {q}}+(x_{1})}}={\mathfrak {p}}}$ и поэтому мы можем написать для каждого ${\displaystyle i\geq 2}$,

${\displaystyle x_{i}^{r_{i}}=y_{i}+a_{i}x_{1}}$

с ${\displaystyle y_{i}\in {\mathfrak {q}}}$ и ${\displaystyle a_{i}\in A}$. Теперь рассмотрим кольцо ${\displaystyle {\overline {A}}=A/(y_{2},\dots ,y_{n})}$ и соответствующая цепочка ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {q}}}\subset {\overline {\mathfrak {p}}}}$ в этом. Если ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {r}}}}$ является минимальным простым числом над ${\displaystyle {\overline {x_{1}}}}$, тогда ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ содержит ${\displaystyle x_{1},x_{2}^{r_{2}},\dots ,x_{n}^{r_{n}}}$ и поэтому ${\displaystyle {\mathfrak {r}}={\mathfrak {p}}}$; то есть, ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {p}}}}$ является минимальным простым числом над ${\displaystyle {\overline {x_{1}}}}$ и поэтому, согласно теореме об основном идеале Крулля, ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {q}}}}$ - минимальное простое число (над нулем); ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ является минимальным простым числом над ${\displaystyle (y_{2},\dots ,y_{n})}$. По индуктивному предположению ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})\leq n-1}$ и поэтому ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})\leq n}$. ${\displaystyle \square }$

Рекомендации

1. Эйзенбуд, Следствие 10.5. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEisenbud (помощь)

• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии. Тексты для выпускников по математике. 150. Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN  0-387-94268-8.
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра, Нью-Йорк: Бенджамин, см., в частности, раздел (12.I), с. 77
• http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/615W10/supDim.pdf