Многообразие Фреше - Fréchet manifold - Wikipedia

В математика, в частности в нелинейный анализ, а Многообразие Фреше это топологическое пространство по образцу Fréchet space во многом так же, как многообразие построен по образцу Евклидово пространство.

Более точно, многообразие Фреше состоит из Пространство Хаусдорфа Икс с атласом координатных карт над пространствами Фреше, переходы которых гладкие отображения. Таким образом Икс имеет открытая крышка {U_α}_{α ε I}, и сборник гомеоморфизмы φ_α : U_α → F_α на их изображения, где F_α - пространства Фреше, такие что

${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }:=\phi _{\alpha }\circ \phi _{\beta }^{-1}|_{\phi _{\beta }(U_{\beta }\cap U_{\alpha })}}$ гладко для всех пар индексов α, β.

Классификация с точностью до гомеоморфизма

Ни в коем случае нельзя утверждать, что конечномерное многообразие размерности п является глобально гомеоморфен р^п, или даже открытое подмножество р^п. Однако в бесконечномерном окружении можно классифицировать «хорошо воспитанный Многообразия Фреше с точностью до гомеоморфизма довольно красиво. Теорема Дэвида Хендерсона 1969 года утверждает, что каждая бесконечномерная отделяемый, метрика Многообразие Фреше Икс возможно встроенный как открытое подмножество бесконечномерного, отделимого Гильбертово пространство, ЧАС (с точностью до линейного изоморфизма такое пространство только одно).

Гомеоморфизм вложения можно использовать как глобальную карту для Икс. Таким образом, в бесконечномерном сепарабельном метрическом случае с точностью до гомеоморфизма «единственные» топологические многообразия Фреше являются открытыми подмножествами сепарабельного бесконечномерного гильбертова пространства. Но в случае дифференцируемый или же гладкий Многообразия Фреше (с точностью до соответствующего понятия диффеоморфизма) это не выполняется.^{[нужна цитата ]}.

Смотрите также

• Банахово многообразие, из которых многообразие Фреше является обобщением
• Многообразия отображений

Рекомендации

• Гамильтон, Ричард С. (1982). "Теорема об обратной функции Нэша и Мозера". Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 7 (1): 65–222. Дои:10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2. ISSN  0273-0979. МИСТЕР656198
• Хендерсон, Дэвид В. (1969). «Бесконечномерные многообразия - это открытые подмножества гильбертова пространства». Бык. Амер. Математика. Soc. 75 (4): 759–762. Дои:10.1090 / S0002-9904-1969-12276-7. МИСТЕР0247634