Статья со списком Википедии
Это список формулы встречается в [gamma ijk = gamma jik частично на отношениях симметрии символов Кристоффеля первого рода. [Риманова геометрия]].
Символы Кристоффеля, ковариантная производная
В гладком карта координат, то Символы Кристоффеля первого рода даются
![Гамма _ {kij} = {frac {1} {2}} слева ({frac {partial} {partial x ^ {j}}} g_ {ki} + {frac {partial} {partial x ^ {i}}} g_ {kj} - {frac {partial} {partial x ^ {k}}} g_ {ij} ight) = {frac {1} {2}} влево (g_ {ki, j} + g_ {kj, i} -g_ {ij, k} ight) ,,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea446b24cf5ab9092a23c551264570b48d4b62c5)
и символы Кристоффеля второго типа
![{egin {align} Gamma ^ {m} {} _ {ij} & = g ^ {mk} Gamma _ {kij} & = {frac {1} {2}}, g ^ {mk} left ({frac {partial} {partial x ^ {j}}} g_ {ki} + {frac {partial} {partial x ^ {i}}} g_ {kj} - {frac {partial} {partial x ^ {k}}} g_ {ij} ight) = {frac {1} {2}}, g ^ {mk} left (g_ {ki, j} + g_ {kj, i} -g_ {ij, k} ight) ,. end { выровнен}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee13f8aeeae2235914d97657b3aba5ab2e043cdc)
Здесь
это обратная матрица к метрическому тензору
. Другими словами,
![дельта ^ {i} {} _ {j} = g ^ {ik} g_ {kj}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79cce42b3921781d8b4ebe0bd1bd606ca81ea4e)
и поэтому
![n = дельта ^ {i} {} _ {i} = g ^ {i} {} _ {i} = g ^ {ij} g_ {ij}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc4b0ab7c869c4547401420b80df3ca846e7578)
это размер многообразие.
Символы Кристоффеля удовлетворяют соотношениям симметрии
или, соответственно,
,
второй из которых эквивалентен непринужденности кручения Леви-Чивита связь.
Договорные отношения на символах Кристоффеля даны
![{displaystyle Gamma ^ {i} {} _ {ki} = {frac {1} {2}} g ^ {im} {frac {partial g_ {im}} {partial x ^ {k}}} = {frac { 1} {2g}} {frac {partial g} {partial x ^ {k}}} = {frac {partial log {sqrt {| g |}}} {partial x ^ {k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3f9c527aab76a2b96342745698e3023002a9bb)
и
![g ^ {kell} Гамма ^ {i} {} _ {kell} = {frac {-1} {sqrt {| g |}}}; {frac {partial left ({sqrt {| g |}}, g ^ {ik} ight)} {частичное x ^ {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3475d0f96aaea1f97ff0bb0c7308d6dce0b50169)
где |грамм| абсолютное значение детерминант метрического тензора
. Они полезны при работе с расходимостями и лапласианами (см. Ниже).
В ковариантная производная из векторное поле с компонентами
дан кем-то:
![v ^ {i} {} _ {; j} = (abla _ {j} v) ^ {i} = {frac {partial v ^ {i}} {partial x ^ {j}}} + Gamma ^ {i } {} _ {jk} v ^ {k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f987f8e9074f946814e0e4c0299129bd05e8762b)
и аналогично ковариантная производная
-тензорное поле с компонентами
дан кем-то:
![v_ {i; j} = (abla _ {j} v) _ {i} = {frac {partial v_ {i}} {partial x ^ {j}}} - Гамма ^ {k} {} _ {ij} v_ {k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ae0c4df5438695f8c7dc66ccf90e35ce4ab76f)
Для
-тензорное поле с компонентами
это становится
![v ^ {ij} {} _ {; k} = abla _ {k} v ^ {ij} = {frac {partial v ^ {ij}} {partial x ^ {k}}} + Gamma ^ {i} { } _ {kell} v ^ {ell j} + Gamma ^ {j} {} _ {kell} v ^ {iell}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09fa89dab4b73b2400a7d6e808dbf189e730b26)
то же самое для тензоров с большим количеством индексов.
Ковариантная производная функции (скаляр)
это просто его обычный дифференциал:
![abla _ {i} phi = phi _ {; i} = phi _ {, i} = {frac {частичный phi} {частичный x ^ {i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd2ddb286a182cbe3e519a508c739b7f8e79d97)
Поскольку Леви-Чивита связь метрично-совместима, ковариантные производные метрик обращаются в нуль,
![{displaystyle (abla _ {k} g) _ {ij} = 0, quad (abla _ {k} g) ^ {ij} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2604244502a216535f1891f57a1cd736eb1714b4)
а также ковариантные производные определителя метрики (и элемента объема)
![abla _ {k} {sqrt {| g |}} = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927e087252212a0fd8934e8d5b68ef9ee85da5c1)
В геодезический
начиная с начала координат с начальной скоростью
имеет расширение Тейлора в диаграмме:
![X (t) ^ {i} = tv ^ {i} - {frac {t ^ {2}} {2}} Гамма ^ {i} {} _ {jk} v ^ {j} v ^ {k} + О (т ^ {3})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99763576bc9f1f877b3a5d78a69a691274e30a9)
Тензоры кривизны
Определения
![{displaystyle {R_ {ijk}} ^ {l} = {frac {частичная гамма _ {ik} ^ {l}} {частичная x ^ {j}}} - {frac {частичная гамма _ {jk} ^ {l} } {частичное x ^ {i}}} + сумма _ {p = 1} ^ {n} {ig (} Gamma _ {ik} ^ {p} Gamma _ {jp} ^ {l} -Gamma _ {jk} ^ {p} Гамма _ {ip} ^ {l} {ig)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6267749a1571539b0753e18e2b29fc6e7ac92ec6)
![{displaystyle R (u, v) w = abla _ {v} abla _ {u} w-abla _ {u} abla _ {v} w-abla _ {[v, u]} w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b29cc983fd7fb9338f34379a51ac1b7172220a)
![{displaystyle R_ {ik} = сумма _ {j = 1} ^ {n} {R_ {ijk}} ^ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7fa25e6d5936ef3b61a2f64d8fc1d9eae2d2b7)
![{displaystyle operatorname {Ric} (u, v) = operatorname {tr} (vmapsto R (u, v) w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342958b81938272051df7ca1d09b3f1de8429517)
![{Displaystyle R = сумма _ {я = 1} ^ {n} сумма _ {k = 1} ^ {n} g ^ {ik} R_ {ik}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ff7156c58a4b8603565838833d794bc99d60ef)
![{displaystyle R = имя оператора {tr} _ {g} имя оператора {Ric}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6520945e066d36fc944c608c41c07554d0067514)
Бесследный тензор Риччи
![{displaystyle Q_ {ik} = R_ {ik} - {frac {1} {n}} Rg_ {ik}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3979393638d3ae0d685e676c32aa48cc1110cda1)
![{displaystyle Q (u, v) = имя оператора {Ric} (u, v) - {гидроразрыв {1} {n}} Rg (u, v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b982f3e53f2a8f50c3f5c047f2262fba7d54c08)
(4,0) Тензор кривизны Римана
![{displaystyle R_ {ijkl} = сумма _ {p = 1} ^ {n} {R_ {ijk}} ^ {p} g_ {pl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e03477f9d385c312d6a88898ed042ab8de9725e)
![{displaystyle operatorname {Rm} (u, v, w, x) = g {ig (} R (u, v) w, x {ig)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d697a4f0fdeea16ecd365b954ce09e38914f1cd6)
![{displaystyle W_ {ijkl} = R_ {ijkl} - {frac {1} {n (n-1)}} R {ig (} g_ {ik} g_ {jl} -g_ {il} g_ {jk} {ig )} - {frac {1} {n-2}} {ig (} Q_ {ik} g_ {jl} -Q_ {jk} g_ {il} -Q_ {il} g_ {jk} + Q_ {jl} g_ {ik} {ig)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9adb93754df4c6e9cc5b124611148637fe8fead2)
![{displaystyle W (u, v, w, x) = имя оператора {Rm} (u, v, w, x) - {frac {1} {n (n-1)}} R {ig (} g (u, w) g (v, x) -g (u, x) g (v, w) {ig)} - {frac {1} {n-2}} {ig (} Q (u, w) g (v , x) -Q (v, w) g (u, x) -Q (u, x) g (v, w) + Q (v, x) g (u, w) {ig)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa21919a039b2c6165d02b093abd0457b68104f8)
![{displaystyle G_ {ik} = R_ {ik} - {frac {1} {2}} Rg_ {ik}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4520157c8f1266c89dee81b06bc586b99bf4d0d)
![{displaystyle G (u, v) = имя оператора {Ric} (u, v) - {гидроразрыв {1} {2}} Rg (u, v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c256d9d56f42c6398a4aa8c44eb118785b14a831)
Идентичности
Видеть Доказательства с использованием символов Кристоффеля для некоторых доказательств
Основные симметрии
![{displaystyle {R_ {ijk}} ^ {l} = - {R_ {jik}} ^ {l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a690286043d55a0b1fc1d45cb99d82a483b2f455)
![{displaystyle R_ {ijkl} = - R_ {jikl} = - R_ {ijlk} = R_ {klij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1b9e36c7f032e863f216607ec5d4ed487628c2)
Тензор Вейля имеет те же основные симметрии, что и тензор Римана, но его «аналог» тензора Риччи равен нулю:
![{displaystyle W_ {ijkl} = - W_ {jikl} = W_ {ijlk} = W_ {klij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ab180013355531a47e776581fcfda9cc19fd08)
![{displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {l = 1} ^ {n} g ^ {il} W_ {ijkl} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/583c6da08992858c4f944dbe1ce541301eb27723)
Тензор Риччи, тензор Эйнштейна и бесследовый тензор Риччи являются симметричными 2-тензорами:
![{displaystyle R_ {jk} = R_ {kj}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e8bbd4d1e15989e116a895bb9082b61da879ca)
![{displaystyle G_ {jk} = G_ {kj}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7fda98b945d7a9239bde706a5e849032617a598)
![{displaystyle Q_ {jk} = Q_ {kj}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ddf4da94a0bde1e397711611901384bb85a3d2)
Первая личность Бьянки
![{displaystyle R_ {ijkl} + R_ {jkil} + R_ {kijl} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bd5d4fb8a18298cabcc8efe94e136333fc91da)
![{displaystyle W_ {ijkl} + W_ {jkil} + W_ {kijl} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b07df471913e1630ca3a5e6b99176371f84dcbf)
Вторая идентичность Бьянки
![{displaystyle abla _ {p} R_ {ijkl} + abla _ {i} R_ {jpkl} + abla _ {j} R_ {pikl} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a56c30c477f1ccf04a1b23659f07f460e2ff6e3)
![{displaystyle (abla _ {u} имя оператора {Rm}) (v, w, x, y) + (abla _ {v} имя оператора {Rm}) (w, u, x, y) + (abla _ {w} имя оператора {Rm}) (u, v, x, y) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb51554dc31801f9928c181bc4216890dfc8bc37)
Контрактная вторая личность Бьянки
![{displaystyle abla _ {j} R_ {pk} -abla _ {p} R_ {jk} = - abla ^ {l} R_ {jpkl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d301b4f50afe3c06a6e098226e289b033ece7a)
![{displaystyle (abla _ {u} имя оператора {Ric}) (v, w) - (abla _ {v} имя оператора {Ric}) (u, w) = - имя оператора {tr} _ {g} {ig (} ( x, y) mapsto (abla _ {x} имя оператора {Rm}) (u, v, w, y) {ig)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c925ce392a67ff27cf393110c2e89108e751b7ae)
Вторая идентичность Бьянки с двойным сокращением
![{displaystyle sum _ {p = 1} ^ {n} sum _ {q = 1} ^ {n} g ^ {pq} abla _ {p} R_ {qk} = {frac {1} {2}} abla _ {k} R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47456a324a20e9933fa1509dc218609b7eeffc0e)
![{displaystyle operatorname {div} _ {g} operatorname {Ric} = {frac {1} {2}} dR}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded9120fbb941a9d9476d0854f9e28dcd5b60d35)
Эквивалентно:
![{displaystyle sum _ {p = 1} ^ {n} sum _ {q = 1} ^ {n} g ^ {pq} abla _ {p} G_ {qk} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd32c5de740f0a3c1e9d2ba5dec0aa38ac31e0e)
![{displaystyle operatorname {div} _ {g} G = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd8b1f9a49f40eae37bae6342bddb0d67139648)
Личность Риччи
Если
является векторным полем, то
![{displaystyle abla _ {i} abla _ {j} X ^ {k} -abla _ {j} abla _ {i} X ^ {k} = - {R_ {ijp}} ^ {k} X ^ {p} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b9b1f0cb7e49505197e6d91894f98140dca7bf)
что и есть определение тензора Римана. Если
является одной формой, то
![{displaystyle abla _ {i} abla _ {j} omega _ {k} -abla _ {j} abla _ {i} omega _ {k} = {R_ {ijk}} ^ {p} omega _ {p}. }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730eb2523e734c3766ba6945c2ad812ed26ac0bc)
В более общем смысле, если
является (0, k) -тензорным полем, то
![{displaystyle abla _ {i} abla _ {j} T_ {l_ {1} cdots l_ {k}} - abla _ {j} abla _ {i} T_ {l_ {1} cdots l_ {k}} = {R_ {ijl_ {1}}} ^ {p} T_ {pl_ {2} cdots l_ {k}} + cdots + {R_ {ijl_ {k}}} ^ {p} T_ {l_ {1} cdots l_ {k- 1} p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b16b56ae281eb25411a709298e4919afd9587a)
Классический результат говорит, что
если и только если
локально конформно плоский, т.е. тогда и только тогда, когда
можно покрыть гладкими координатными картами, относительно которых метрический тензор имеет вид
для какой-то функции
на графике.
Градиент, дивергенция, оператор Лапласа – Бельтрами
В градиент функции
получается повышением индекса дифференциала
, компоненты которого определяются по формуле:
![abla ^ {i} phi = phi ^ {; i} = g ^ {ik} phi _ {; k} = g ^ {ik} phi _ {, k} = g ^ {ik} частичное _ {k} phi = g ^ {ik} {frac {частичное значение phi} {частичное значение x ^ {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939b9b2c9418ff9c21bd4a0e0b7bca245b004926)
В расхождение векторного поля с компонентами
является
![{displaystyle abla _ {m} V ^ {m} = {frac {partial V ^ {m}} {partial x ^ {m}}} + V ^ {k} {frac {partial log {sqrt {| g |}) }} {partial x ^ {k}}} = {frac {1} {sqrt {| g |}}} {frac {partial (V ^ {m} {sqrt {| g |}})} {частичное x ^ {m}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94995d7ec37ce2ee8778b2bafed298603623b0c)
В Оператор Лапласа – Бельтрами действующий на функцию
дается дивергенцией градиента:
![{egin {align} Delta f & = abla _ {i} abla ^ {i} f = {frac {1} {sqrt {| g |}}} {frac {partial} {partial x ^ {j}}} left ( g ^ {jk} {sqrt {| g |}} {frac {partial f} {partial x ^ {k}}} ight) & = g ^ {jk} {frac {partial ^ {2} f} {partial x ^ {j} частичный x ^ {k}}} + {frac {partial g ^ {jk}} {частичный x ^ {j}}} {frac {частичный f} {частичный x ^ {k}}} + { frac {1} {2}} g ^ {jk} g ^ {il} {frac {partial g_ {il}} {partial x ^ {j}}} {frac {partial f} {partial x ^ {k}} } = g ^ {jk} {frac {partial ^ {2} f} {partial x ^ {j} partial x ^ {k}}} - g ^ {jk} Gamma ^ {l} {} _ {jk} { frac {partial f} {partial x ^ {l}}} конец {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7028f2c1e27035bc3bc1d5a81f131720173c831c)
Дивергенция антисимметричный тензор поле типа
упрощает до
![{displaystyle abla _ {k} A ^ {ik} = {frac {1} {sqrt {| g |}}} {frac {partial (A ^ {ik} {sqrt {| g |}})} {partial x ^ {k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33c07e64f8b7c5ecfde7ee32e071711d2158a6c)
Гессен карты
дан кем-то
![left (abla left (dphi ight) ight) _ {ij} ^ {gamma} = {frac {partial ^ {2} phi ^ {gamma}} {частичный x ^ {i} частичный x ^ {j}}} - ^ {M} Гамма ^ {k} {} _ {ij} {frac {частичный фи ^ {гамма}} {частичный x ^ {k}}} + ^ {N} Гамма ^ {гамма} {} _ {альфа эта} {frac {частичный phi ^ {alpha}} {частичный x ^ {i}}} {frac {частичный phi ^ {eta}} {частичный x ^ {j}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2bfbc6257e5149d41a58c264d6614138be5fcc7)
Кулькарни – Номидзу
В Кулькарни – Номидзу является важным инструментом для построения новых тензоров из существующих тензоров на римановом многообразии. Позволять
и
- симметричные ковариантные 2-тензоры. В координатах,
![{displaystyle A_ {ij} = A_ {ji} qquad qquad B_ {ij} = B_ {ji}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010c2e493db4b4a1842716efff75fb25a2f917d8)
Затем мы можем умножить их в некотором смысле, чтобы получить новый ковариантный 4-тензор, который часто обозначают
. Определяющая формула:
![{displaystyle left (A {~ клин !!!!!! igcirc ~} Bight) _ {ijkl} = A_ {ik} B_ {jl} + A_ {jl} B_ {ik} -A_ {il} B_ {jk} -A_ {jk} B_ {il}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6804cb55ac393ced975f36c2f59a5392a141d2dc)
Ясно, что продукт удовлетворяет
![{displaystyle A {~ клин !!!!!! igcirc ~} B = B {~ клин !!!!!! igcirc ~} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3aea7119a5d8fa11f0d9f466a70e556609e1bb)
В инерциальной системе отсчета
Ортонормированный инерциальная система отсчета является координатной картой, в которой в начале координат выполняются соотношения
и
(но они могут не удерживаться в других точках кадра). Эти координаты также называются нормальными координатами. В такой системе координат выражение для нескольких операторов проще. Обратите внимание, что приведенные ниже формулы действительны. только в начале кадра.
![R_ {ikell m} = {frac {1} {2}} left ({frac {partial ^ {2} g_ {im}} {partial x ^ {k} partial x ^ {ell}}}} + {frac {partial ^ {2} g_ {kell}} {частичный x ^ {i} частичный x ^ {m}}} - {frac {partial ^ {2} g_ {iell}} {частичный x ^ {k} частичный x ^ {m }}} - {frac {partial ^ {2} g_ {km}} {partial x ^ {i} partial x ^ {ell}}} ight)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0750590e3c55fffa72d2bc72802b040716292607)
![{displaystyle R ^ {ell} {} _ {ijk} = {frac {partial} {partial x ^ {j}}} Гамма ^ {ell} {} _ {ik} - {frac {partial} {partial x ^ { k}}} Гамма ^ {ell} {} _ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce6868fd8b448cb1f2f3f7fa97223e897eda5587)
Конформное изменение ![{displaystyle {widetilde {g}} = e ^ {2varphi} g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aedc33293541c4cb010700d34ed15985c107079)
Позволять
- риманова или псевдориманова метрика на гладком многообразии
, и
гладкая вещественнозначная функция на
. потом
![{ilde {g}} = e ^ {2varphi} g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46a004a0ba7b2f871de262816defe6ba0f3adc1)
также является римановой метрикой на
. Мы говорим что
(поточечно) конформно
. Очевидно, конформность метрик - это отношение эквивалентности. Вот несколько формул для конформных изменений тензоров, связанных с метрикой. (Значения, отмеченные тильдой, будут связаны с
, а те, у кого такие отметки не отмечены, будут связаны с
.)
Леви-Чивита связь
![{displaystyle {widetilde {Gamma}} _ {ij} ^ {k} = Gamma _ {ij} ^ {k} + {frac {partial varphi} {partial x ^ {i}}} delta _ {j} ^ {k } + {frac {partial varphi} {partial x ^ {j}}} delta _ {i} ^ {k} - {frac {partial varphi} {partial x_ {k}}} g_ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3712d39fac9a51a02c26dbc8334c0398e8664294)
![{displaystyle {widetilde {abla}} _ {X} Y = abla _ {X} Y + dvarphi (X) Y + dvarphi (Y) X-g (X, Y) abla varphi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be0c297d9720c6a0540dc08124d339b09d0e27d)
(4,0) Тензор кривизны Римана
куда ![{displaystyle T_ {ij} = abla _ {i} abla _ {j} varphi -abla _ {i} varphi abla _ {j} varphi + {frac {1} {2}} | dvarphi | ^ {2} g_ { ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3fca970c089a3c59c92aa6f0d996274a8f62785)
С использованием Кулькарни – Номидзу:
![{displaystyle {widetilde {operatorname {Rm}}} = e ^ {2varphi} operatorname {Rm} -e ^ {2varphi} g {~ клин !!!!!! igcirc ~} left (имя оператора {Hess} varphi -dvarphi otimes dvarphi + {frac {1} {2}} | dvarphi | ^ {2} gight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24959c4f090a954d4a3438a1de5426f9af30629f)
Тензор Риччи
![{displaystyle {widetilde {R}} _ {ij} = R_ {ij} - (n-2) {ig (} abla _ {i} abla _ {j} varphi -abla _ {i} varphi abla _ {j} varphi {ig)} - {ig (} Delta varphi + (n-2) | dvarphi | ^ {2} {ig)} g_ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e17f91e534c89eff1e0ea737c1dc3c40585d8c)
![{displaystyle {widetilde {operatorname {Ric}}} = operatorname {Ric} - (n-2) {ig (} operatorname {Hess} varphi -dvarphi otimes dvarphi {ig)} - {ig (} Delta varphi + (n- 2) | дварфи | ^ {2} {ig)} g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84dae8f7fa2d4b997faf44c728a56a979383b3d7)
Скалярная кривизна
![{displaystyle {widetilde {R}} = e ^ {- 2varphi} R-2 (n-1) e ^ {- 2varphi} Delta varphi - (n-2) (n-1) e ^ {- 2varphi} | дварфи | ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f308e86c0282eafc7f1a0abefd41112fcb75ab13)
- если
это можно написать ![{ilde {R}} = e ^ {- 2varphi} left [R + {frac {4 (n-1)} {(n-2)}} e ^ {- (n-2) varphi / 2} угол влево ( e ^ {(n-2) varphi / 2} ight) ight]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3acb15c55f08afd53525ca15278248131a10fdf3)
Бесследный тензор Риччи
![{displaystyle {widetilde {R}} _ {ij} - {frac {1} {n}} {widetilde {R}} {widetilde {g}} _ {ij} = R_ {ij} - {frac {1} { n}} Rg_ {ij} - (n-2) {ig (} abla _ {i} abla _ {j} varphi -abla _ {i} varphi abla _ {j} varphi {ig)} - {frac {n -2} {n}} {ig (} Delta varphi + | dvarphi | ^ {2} {ig)} g_ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbd9609f1aa2249f19d1687221a87f8a4bf90d7)
![{displaystyle {widetilde {operatorname {Ric}}} - {frac {1} {n}} {widetilde {R}} {widetilde {g}} = operatorname {Ric} - {frac {1} {n}} Rg- (n-2) {ig (} имя оператора {Hess} varphi -dvarphi otimes dvarphi {ig)} - {frac {n-2} {n}} {ig (} Delta varphi + | dvarphi | ^ {2} {ig )}грамм}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8546032e2d5814a971e9d172dba6f27c2b0af0bb)
(3,1) Кривизна Вейля
![{displaystyle {{widetilde {W}} _ {ijk}} ^ {l} = {W_ {ijk}} ^ {l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364d363d1cb2d2013b04096765cf973b24b7ceff)
для любых векторных полей ![X, Y, Z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf4a8b48db1a32d24aabe164b07744069093225)
Форма объема
![{displaystyle {sqrt {det {widetilde {g}}}} = e ^ {nvarphi} {sqrt {det g}}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b337060266c26fb00e18d08b3df26454a86c3c22)
![{displaystyle dmu _ {widetilde {g}} = e ^ {nvarphi}, dmu _ {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b414b50e288378ea6e9afd390879b7b2d4aaf92)
Оператор Ходжа на p-формах
![{displaystyle {widetilde {ast}} _ {i_ {1} cdots i_ {np}} ^ {j_ {1} cdots j_ {p}} = e ^ {(n-2p) varphi} ast _ {i_ {1} компакт-диски i_ {np}} ^ {j_ {1} компакт-диски j_ {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbdb4b3521856d0240cddca11b1a30629b82ee5)
![{displaystyle {widetilde {ast}} = e ^ {(n-2p) varphi} ast}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7544324fda69bda62315dc5a62307e56f7e8bd)
Кодифференциал на p-формах
![{displaystyle {widetilde {d ^ {ast}}} _ {j_ {1} cdots j_ {p-1}} ^ {i_ {1} cdots i_ {p}} = e ^ {- 2varphi} (d ^ {ast }) _ {j_ {1} cdots j_ {p-1}} ^ {i_ {1} cdots i_ {p}} - (n-2p) e ^ {- 2varphi} abla ^ {i_ {1}} varphi delta _ {j_ {1}} ^ {i_ {2}} дельта cdots _ {j_ {p-1}} ^ {i_ {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493ede180d41b46877deebf9fbea1f446660fb67)
![{displaystyle {widetilde {d ^ {ast}}} = e ^ {- 2varphi} d ^ {ast} - (n-2p) e ^ {- 2varphi} iota _ {abla varphi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a3db8a16c2dbf58d8fcf6ef3a168efd9527bcf)
Лапласиан по функциям
![{displaystyle {widetilde {Delta ^ {d}}} Phi = e ^ {- 2varphi} {Big (} Delta ^ {d} Phi - (n-2) g (dvarphi, dPhi) {Big)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1287bbde860d9cbda64f8afac8360c08bd506455)
Лапласиан Ходжа на p-формах
![{displaystyle {widetilde {Delta ^ {d}}} omega = e ^ {- 2varphi} {Big (} Delta ^ {d} omega - (n-2p) dcirc iota _ {abla varphi} omega - (n-2p- 2) йота _ {абла варфи} сиркдомега +2 (п-2п) дварфи клин йота _ {абла варфи} омега -2 дварфи клин д ^ {аст} омега {большая)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2717d8f405f329f614dd869f4f64f9b133f29c7)
Вторая фундаментальная форма погружения
Предполагать
риманова и
- дважды дифференцируемое погружение. Напомним, что вторая фундаментальная форма для каждого
симметричное билинейное отображение
который ценится в
-ортогональное линейное подпространство к
потом
для всех ![{displaystyle u, vin T_ {p} M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2a891365f8c31138253b7ed5cf0b8fe7b73838)
Здесь
обозначает
-ортогональная проекция
на
-ортогональное линейное подпространство к ![{displaystyle dF_ {p} (T_ {p} Sigma) подмножество T_ {F (p)} M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7fad178eccf05c716a01c46298dd3e153212a9)
Средняя кривизна погружения
В той же настройке, что и выше, помните, что средняя кривизна для каждого
элемент
определяется как
-след второй фундаментальной формы. потом
![{displaystyle e ^ {2varphi} {widetilde {H}} = H-n (abla varphi) ^ {perp}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/483d03ac32e5ce3f3c764be6f1135054ba9c89e6)
Формулы вариации
Позволять
- гладкое многообразие и пусть
- однопараметрическое семейство римановых или псевдоримановых метрик. Предположим, что это дифференцируемое семейство в том смысле, что для любой гладкой координатной карты производные
существуют и сами по себе настолько различимы, насколько это необходимо для того, чтобы следующие выражения имели смысл. Обозначить
как однопараметрическое семейство симметричных 2-тензорных полей.
![{displaystyle {frac {partial} {partial t}} Gamma _ {ij} ^ {k} = {frac {1} {2}} sum _ {p = 1} ^ {n} g ^ {kp} {Big ( } abla _ {i} v_ {jp} + abla _ {j} v_ {ip} -abla _ {p} v_ {ij} {Big)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc95d7e363a3177ee410278058173fcefe591a32)
![{displaystyle {frac {partial} {partial t}} R_ {ijkl} = {frac {1} {2}} {Big (} abla _ {j} abla _ {k} v_ {il} + abla _ {i} abla _ {l} v_ {jk} -abla _ {i} abla _ {k} v_ {jl} -abla _ {j} abla _ {l} v_ {ik} {Big)} + sum _ {p = 1 } ^ {n} {R_ {ijk}} ^ {p} v_ {pl} -sum _ {p = 1} ^ {n} {R_ {ijl}} ^ {p} v_ {pk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef542eb7443461166f2166bde1312124b81d0ae3)
![{displaystyle {frac {partial} {partial t}} R_ {ik} = {frac {1} {2}} {Big (} sum _ {p = 1} ^ {n} abla ^ {p} abla _ {k } v_ {ip} + abla _ {i} (имя оператора {div} v) _ {k} -abla _ {i} abla _ {k} (имя оператора {tr} _ {g} v) -Delta v_ {ik} {Big)} - сумма _ {p = 1} ^ {n} R_ {i} ^ {p} v_ {pk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a858859226792dd1d0aff0992fcdf2ffbc5f0e3f)
![{displaystyle {frac {partial} {partial t}} R = Delta (имя оператора {tr} _ {g} v) + имя оператора {div} _ {g} имя оператора {div} _ {g} v-langle v, имя оператора { Ric} angle _ {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d729631f2759a53f710110c69fcf9848edb365d)
![{displaystyle {frac {partial} {partial t}} dmu _ {g} = - {frac {1} {2}} sum _ {p = 1} ^ {n} sum _ {q = 1} ^ {n} g ^ {pq} v_ {pq}, dmu _ {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a3f04bc0bffbf646890001fab5eb77fa726ec2)
![{displaystyle {frac {partial} {partial t}} abla _ {i} abla _ {j} Phi = abla _ {i} abla _ {j} {frac {partial Phi} {partial t}} - {frac {1 } {2}} сумма _ {p = 1} ^ {n} g ^ {kp} {Big (} abla _ {i} v_ {jp} + abla _ {j} v_ {ip} -abla _ {p} v_ {ij} {большой)} {frac {частичный Phi} {частичный x ^ {k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9cacad09bc3b5313039720954c5230e1f74190b)
![{displaystyle {frac {partial} {partial t}} Delta Phi = -langle v, operatorname {Hess} Phi angle _ {g} -g {Big (} operatorname {div} v- {frac {1} {2}} d (имя оператора {tr} _ {g} v), dPhi {Big)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfca13e2881d71ed319c4803405df455dfb0fc7)
Главный символ
Вычисленные выше вычисления вариационной формулы определяют главный символ отображения, которое посылает псевдориманову метрику ее тензору Римана, тензору Риччи или скалярной кривизне.
- Главный символ карты
присваивает каждому
отображение из пространства симметричных (0,2) -тензоров на
в пространство (0,4) -тензоров на
данный
![{displaystyle vmapsto {frac {xi _ {j} xi _ {k} v_ {il} + xi _ {i} xi _ {l} v_ {jk} -xi _ {i} xi _ {k} v_ {jl} -xi _ {j} xi _ {l} v_ {ik}} {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1692256b704a32e1e7d20081f725b9329c1c14af)
- Главный символ карты
присваивает каждому
эндоморфизм пространства симметричных 2-тензоров на
данный
![{displaystyle vmapsto v (xi ^ {sharp}, cdot) otimes xi + xi otimes v (xi ^ {sharp}, cdot) - (имя оператора {tr} _ {g_ {p}} v) xi otimes xi - | xi | _ {g} ^ {2} v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/418e6549959029683a3355b85f3bbbf5c343f932)
- Главный символ карты
присваивает каждому
элемент сопряженного пространства к векторному пространству симметричных 2-тензоров на
к
![{displaystyle vmapsto | xi | _ {g} ^ {2} имя оператора {tr} _ {g} v + v (xi ^ {sharp}, xi ^ {sharp}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbac7f6d930f2d9e7744c00c872a672b2960805c)
Смотрите также
Рекомендации
- Артур Л. Бесс. «Многообразия Эйнштейна». Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 10. Springer-Verlag, Berlin, 1987. xii + 510 с. ISBN 3-540-15279-2